§2电容和电容器 、孤立导体的电容 定义 静电平衡时,狐立导体表面电荷分布由其几何形状唯一确定,带一定电量q的孤立 导体其外部空间的电场E、电势U导亦完全确定。据电势叠加原理,当其电量增加若干 倍时,则U也将增加若干倍,即 或C q U 此比例系数C即孤立导体的电容量 C反映了该导体在给定U下储存电量能力的大小,其物理意义为:使导体电势U升 高一个单位(由零开始)所需电量。C与q、U无关,取决于几何结构 在SI制中,电容的单位为:法拉(F) 1法拉=1 IF=1 1F(微法)=10-°F,1PF(皮法)=10-12F。 法拉与库仑一样,单位较大。 3、例一一孤立导体球 半径为R的导体球,设其带电Q,则U=Q,由定义知 4TEoR Q 4IEo R C仅由R确定。具体地选取地球进行计算:R=64×10°m,故 7.1×10-4法 二、电容器及电容 1、电容器 当带电导体A周围存在其它导体或带电体B时,U不仅与qA有关,而且与周围导 体(无论带电与否)有关,或曰:其它带电体情况的改变,会改变导体A之电势U4
2－2－1 §2 电容和电容器 一、孤立导体的电容 1、定义 静电平衡时，孤立导体表面电荷分布由其几何形状唯一确定，带一定电量 q 的孤立 导体其外部空间的电场 E 、电势 U导 亦完全确定。据电势叠加原理，当其电量增加若干 倍时，则 U导 也将增加若干倍，即 q = CU ， 或 U q C = 此比例系数 C 即孤立导体的电容量。 C 反映了该导体在给定 U 下储存电量能力的大小,其物理意义为:使导体电势 U 升 高一个单位（由零开始）所需电量。C 与 q 、U 无关，取决于几何结构。 2、单位 在 SI 制中，电容的单位为：法拉（ F ）。 伏 1 法拉 = 1库 , V 1F = 1C ； F F 6 1 ( ) 10− 微法 = ， PF F 12 1 ( ) 10− 皮法 = 。 法拉与库仑一样，单位较大。 3、例——孤立导体球 半径为 R 的导体球，设其带电 Q，则 R Q U 4 0 = ，由定义知 R U Q C = = 4 0 C 仅由 R 确定。具体地选取地球进行计算： R m 6 = 6.410 ，故 C地球 = 7.110−4法 二、电容器及电容 1、电容器 当带电导体 A 周围存在其它导体或带电体 B 时， UA 不仅与 A q 有关，而且与周围导 体（无论带电与否）有关，或曰：其它带电体情况的改变，会改变导体 A 之电势 UA
如图2-10(a,故非孤立导体A的q1与U不成正比,关系C=94不再成立。 图2-10(a) 图2-10(b) 采取措施—一静电屏蔽的办法:一个导体腔B包围导体A能保证两导体A、B之间 的电势差U,-Un与电量q,间的正比关系不受周围其它导体或带电体的影响。这样的特 殊结构导体组叫申容器。 如图2-10(b,C、D不影响U4-Ug,且U4-UB正比于qA,比值不变 2、电容 对于导体组A、B,若A带电q,则由静电感应,导体B在其内表面上有-q电量 UA-UB正比于qA,二者之比恒值,反映导体组的属性,称之为电容器的申容(量): q 两导体各称一极,C定义为一极板带电量(正)除以两极板之电势差,C是一个正的量
2－2－2 如图 2-10(a)，故非孤立导体 A 的 A q 与 UA 不成正比，关系 A A U q C = 不再成立。 图 2-10 (a) 图 2-10 (b) 采取措施——静电屏蔽的办法：一个导体腔 B 包围导体 A 能保证两导体 A、B 之间 的电势差 UA −UB 与电量 A q 间的正比关系不受周围其它导体或带电体的影响。这样的特 殊结构导体组叫电容器。 如图 2-10(b)，C、D 不影响 UA −UB ，且 UA −UB 正比于 A q ，比值不变。 2、电容 对于导体组 A、B，若 A 带电 q ，则由静电感应，导体 B 在其内表面上有- q 电量， UA −UB 正比于 qA ，二者之比恒值，反映导体组的属性，称之为电容器的电容（量）： A B A U U q C − = 两导体各称一极，C 定义为一极板带电量（正）除以两极板之电势差，C 是一个正的量。 A qA B A B Q C D
[说明 (1)电容C与电容器带电情况无关,与周围其它导体和带电体无关,完全由电容器 几何形状、结构决定 (2)实用中,电容器对屏蔽要求并不如上述完全封闭那么高 (3)若不封闭,则公式中的Q指两极等势时需从一极板至另一极板所迁移的电量 以后常写成 q U 注意理解公式中q与U的含义。 3、几种常见电容器的电容量 (1)平行板电容器 如图2-11所示平行板电容器因d<√s,略边缘效应,令A相对B的面上带电+q, 则另极板带电-q,两板之间的场和电势差分别为 E≈G UR=Ed= ya E Es EoS CoS 可见,C与q无关,仅由s、d确定。 +g d A 图2-11
2－2－3 [说明] (1) 电容 C 与电容器带电情况无关，与周围其它导体和带电体无关，完全由电容器 几何形状、结构决定； (2) 实用中，电容器对屏蔽要求并不如上述完全封闭那么高； (3) 若不封闭,则公式中的 Q 指两极等势时需从一极板至另一极板所迁移的电量。 以后常写成： U q C = 注意理解公式中 q 与 U 的含义。 3、几种常见电容器的电容量 (1) 平行板电容器 如图 2-11 所示平行板电容器。因 d s ，略边缘效应，令 A 相对 B 的面上带电+ q ， 则另极板带电- q ，两板之间的场和电势差分别为 s s q q E 0 0 0 = = = ， s qd U A UB Ed 0 − = = ∴ d s U U q C A B 0 = − = 可见，C 与 q 无关，仅由 s、d 确定。 图 2-11 ＋q －q d s A B
(2)同心球形电容器 如图2-12同心球形电容器。令内球带电Q,则外球内表面带电一Q,其间的电场和电 势差分别为 E (R,>(RB-RA),可视为无限长圆柱面。设内、外 导体筒带电线密度分别为±λ,则其间电场和电势差分别为 E 2Ta
2－2－4 (2) 同心球形电容器 如图 2-12 同心球形电容器。令内球带电 Q，则外球内表面带电-Q，其间的电场和电 势差分别为 = r r Q E 2 4 0 ，（ A RB R r ） A B B A A B R R R R Q R R R R Q U E dr B A 0 4 0 ( ) ) 1 1 ( 4 − = = − = ∴ B A A B A B R R R R U U q C − = − = 0 4 [讨论] 当 RA 、 RB → ，而保持 RB − RA = d ，则 RARB ～ 2 RA ～ 2 2 RB = R ，上式化成 d s d R C 0 2 4 0 = 2 s = 4R 为球面面积，结果与平行板电容器相一致。 图 2-12 图 2-13 (3) 同轴圆柱电容器 如图 2-13 同轴圆柱电容器。由于 ( ) L RB − RA ，可视为无限长圆柱面。设内、外 导体筒带电线密度分别为 ，则其间电场和电势差分别为 r E 2 0 = A B R R A B R R U U Edr B A ln 2 0 − = = B RB 0 A 0 RA B A RA RB L
考虑一段长L,q=A,故 2丌EL R 4、电容的计算方法 (1)定义法 设两板带电±Q→E→U0(∝Q)→C=,结果与Q无关 (2)串、并联法 已知各分电容的电容量C;,据串联、并联规律得总电容量,见以下内容 三、电容器的串并联 实际电容器的性能主要以两指标/电容量C来衡量。使用中,主要考虑以下方面 耐压Um (1)电容值一一有时用个别电容器不能满足所需电容量,可通过几个电容器串、并 联的方法来实现改变总C值 (2)耐压性—一为确保电容器不被破坏(击穿),加在其上电压不允许超过耐压Un 为改善电容器工作中的性能,常采取: 在电容器极板间充有介质一一某种绝缘材料(见以后); 几只电容器适当联接(串、并联),构成电容器组 、并联 电路联接方式如图2-14所示。 Q=Q1+Q2+…+Qn=∑Q, 其中各电容电量为 Q=CU, 2=CU,.,0,=C,L 图2-14 2-2-5
2－2－5 考虑一段长 L，q = L ，故 A A B B R R L U U L C ln 2 0 = − = 4、电容的计算方法 (1) 定义法 设两板带电 AB AB U Q Q → E →U ( Q) → C = ，结果与 Q 无关。 (2) 串、并联法 已知各分电容的电容量 Ci ，据串联、并联规律得总电容量，见以下内容。 三、电容器的串并联 实际电容器的性能主要以两指标 Um C 耐压 电容量 来衡量。使用中，主要考虑以下方面： (1)电容值——有时用个别电容器不能满足所需电容量，可通过几个电容器串、并 联的方法来实现改变总 C 值。 (2)耐压性——为确保电容器不被破坏（击穿），加在其上电压不允许超过耐压 Um ， 即 U外 Um。 为改善电容器工作中的性能，常采取： 在电容器极板间充有介质——某种绝缘材料（见以后）； 几只电容器适当联接（串、并联），构成电容器组。 1、并联 电路联接方式如图 2-14 所示。 特点：U1 = U2 == Un = U ， = = + + + = n i Q Q Q Qn Qi 1 1 2 ， 其中各电容电量为 Q1 = C1U ，Q2 = C2U ，… ，Qn = CnU 。 图 2-14 C1 C2 Cn U
结论,(1、9=2g ∑C,类似电阻串联规律 若C1=C2=…=Cn=C0,则C=nCo (2)耐压Un=mm{m} 可见并联时,总电容增加,但耐压未提高。 (3)每电容电量与其自身电容成正比 0: Q Qn=C1:C2:…:Cn 反映了并联电容电路中电荷的分配律。 2、串联 电路联接方式如图2-15所示,n个电容器串联于电压U上。设C1左极板带电+Q 则依次极板感应电荷:-Q,+Q, Q 图2-15 特点:各极板电量绝对值相等,均为Q 各分电容器上电压依次为:to0,…,Un= 总电压等于各分电压之和:U=U1+U2+…+Un=∑U 结论:(1)总电容的倒数等于各分电容的倒数之和1=∑ U=20=>c
2－2－6 结论：(1) = = = i i C U Q U Q C ，类似电阻串联规律。 若 C1 = C2 == Cn = C0 ，则 C = nC0 (2) 耐压 Um = min Umi。 可见并联时，总电容增加，但耐压未提高。 (3) 每电容电量与其自身电容成正比 Q1：Q2： ：Qn = C1：C2： ：Cn 反映了并联电容电路中电荷的分配律。 2、串联 电路联接方式如图 2-15 所示，n 个电容器串联于电压 U 上。设 C1 左极板带电 + Q , 则依次极板感应电荷: − Q，+ Q ， ，− Q 。 图 2-15 特点: 各极板电量绝对值相等,均为 Q ； 各分电容器上电压依次为: 1 1 C Q U = ， ， 2 2 C Q U = ， n n C Q U = ； 总电压等于各分电压之和: = = + + + = n i U U U Un Ui 1 1 2 。 结论: (1) 总电容的倒数等于各分电容的倒数之和 = C Ci 1 1 。 ∵ = = i i C U U Q 1 ， U C1 C2 Cn
若C=C2=…=Cn=Cn,则=n,即:C 表明,串联电容器中总电容小于每一分电容值。 (2)串联电容器组耐压提高。 设电容器C储荷本领最小:Qnmn=Qm=CUm,即整个串联电容 器组以此电量作为标准带电,则电容器组耐压为 C, U U.=U+ 可见:Um串>Um,相比耐压最小的电容,整体耐压有所提高 (3)电压分配律 表明,电压分配与其电容成反比关系 [注]实用中不多用串联,因其中之一击穿(耐压最小者),则会产生“雪崩式”击穿 四、电容器储能及电场能量密度 电容器的一个重要功能是储能。这里从带电体系的静电能讲起,对静电能给予综述 性讲授 1、带电体系的静电能 (1)点电荷系的相互作用能 ①一个点电荷q在外场E中受电力作用:P初→>Q(未),电场力做功为 qE·d=q(Up-U)=-(Wo-W)=-△W 其中ΔW为电势能的(形式)增量。即若电场力做正功,则体系电势能将减少。设场源 不变,则此能量减少的去处一一应转化为q之动能的增加 To -Tp=qUp -Uo
2－2－7 ∴ = = Q i Ci U C 1 1 。 若 C1 = C2 == Cn = C0 ，则 0 1 C n C = 总 ，即: n C C 0 = 。 表明，串联电容器中总电容小于每一分电容值。 (2) 串联电容器组耐压提高。 设电容器 Cj 储荷本领最小: Qmin = Qmj = CjUmj ，即整个串联电容 器组以此电量作为标准带电,则电容器组耐压为 mj n i i j i j mj mj n i i j i m mj U C C U U C Q U U = + = + ( ) ( ) min 可见: U m串 Umj ，相比耐压最小的电容，整体耐压有所提高。 (3) 电压分配律 n n C C C U U U 1 1 1 1 2 1 ： 2 ： ： = ： ： ： 表明，电压分配与其电容成反比关系。 [注] 实用中不多用串联，因其中之一击穿（耐压最小者）,则会产生“雪崩式”击穿。 四、电容器储能及电场能量密度 电容器的一个重要功能是储能。这里从带电体系的静电能讲起，对静电能给予综述 性讲授。 1、带电体系的静电能 (1) 点电荷系的相互作用能 ① 一个点电荷 q 在外场 E 中受电力作用： P(初) → Q(末) ，电场力做功为 A qE dl q UP UQ WQ WP W Q P = = − = − − = − ( ) ( ) 场力 其中 W 为电势能的（形式）增量。即若电场力做正功，则体系电势能将减少。设场源 不变，则此能量减少的去处——应转化为 q 之动能的增加 ( ) TQ −TP = q UP −UQ
Tp+qUp=To+q 此式为电荷q在外场中运动的能量守恒关系。其中动能 2mp(低速) c2-mnc2=W-H(高速,表示相对论总能) 若选定电势零点参考,则电荷q在外场E中的电势能为 注意:此处U不含q本身之贡献,W也是电荷间的相互作用能,此式是计算点电荷系等 相互作用能的基础 ②点电荷系之H表式:W=29 设有n个点电荷q,q2,…,qn,把它们逐个引入场中指定位置,考虑体系最终 所具有的电势能,这种引入与次序无关 q1引入:W=0…… 场中无荷; q2引入:W2=92U 41q2 …场中已有q1 4z q3引入:W3=q(U13+U23)… 场中已有q、q2 最后引入qn:W=qn(U1n+U2n+…+Un-1,n) 每一新的电荷引入(如第i电荷),相互作用能通式为 W qi 其中U1y为第j点电荷在第点电荷处之电势。故总相互作用能为
2－2－8 或 TP + qUP = TQ + qUQ 此式为电荷 q 在外场中运动的能量守恒关系。其中动能 − = − − = ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 0 2 0 2 2 0 2 高速， 表示相对论总能 低速 m c W W W c v m c mv T 若选定电势零点参考，则电荷 q 在外场 E 中的电势能为 W = qU 注意：此处 U 不含 q 本身之贡献,W 也是电荷间的相互作用能,此式是计算点电荷系等 相互作用能的基础。 ② 点电荷系之 W 表式： = = n i W qiUi 2 1 1 设有 n 个点电荷 1 q ， 2 q ， ， n q ，把它们逐个引入场中指定位置，考虑体系最终 所具有的电势能，这种引入与次序无关： 1 q 引入： W1 = 0 …………………………………… 场中无荷； 2 q 引入： 2 12 1 2 0 2 2 12 4 1 r q q W q U = = ………………… 场中已有 1 q ； 3 q 引入： ( ) W3 = q3 U13 +U23 …………………………场中已有 1 q 、 2 q ； 最后引入 n q ： ( ) Wn = qn U1n +U2n ++Un−1, n 。 每一新的电荷引入（如第 i 电荷），相互作用能通式为 − = = 1 1 i j Wi qi U ji 其中 ji j ji r q U 4 0 1 = 为第 j 点电荷在第 i 点电荷处之电势。故总相互作用能为
W=W=X qi 9 q 4丌 又因为=r、qq1=q,q,故q,U=qUy,即 qU=(qu+qui 可将W表成对称累和形式 ∑ 4.q =l(1≠)j=l Un=8丌601()=1 其中U=∑9为除之外所有电荷在q之处电势之叠加 (2)带电体系总静电能 设体系由A、B两导体组成,则体系A、B的总静电能为 W=W+W互=(+WB)+W 其中每一项的计算均以上述内容为基础 对于连续电荷分布情况,体系总能量为 W 该式形式上虽从上述点电荷系借鉴,但意义已变,因d无限小,此W已含自能+互能而 成为总能。 2、电容器储能 电容器储能即带电导体组的静电能。现从功能关系出发讨论电容器储能。 如图2-16所示,电源给电容器C充电,最终达到,,而起初是电容器上9=0 任一时刻=9,其中n、q小写均指为t的函数。 现考虑电源把(-如q)电量从电容器正极板→负极板(或+如电量从负极→正极), 电源做功
2－2－9 = − = = = − = = = = n i i j ji i j n i n i i j i i ji r q q W W q U 1 1 1 1 0 1 1 1 4 1 又因为 ij ji qi q j q j qi r = r 、 = ，故 qi U ji = q jUij ，即 ( ) 2 1 qiU ji = qiU ji + q jUij 可将 W 表成对称累和形式 = = = = = = = = n i i j n j n i i j n j n i i i i j i j i j i q U r q q W q U 1( ) 1 0 1( ) 1 2 1 1 8 1 2 1 其中 为 除 i之外所有电荷在 i之处电势之叠加 n j j i i i q q r q U = = 4 0 1 1 。 (2) 带电体系总静电能 设体系由 A、B 两导体组成，则体系 A、B 的总静电能为 W =W自 +W互 = (WA自 +WB自) +W互 其中每一项的计算均以上述内容为基础。 对于连续电荷分布情况, 体系总能量为 W = Udq 2 1 该式形式上虽从上述点电荷系借鉴,但意义已变,因 dq 无限小,此 W 已含自能 + 互能而 成为总能。 2、电容器储能 电容器储能即带电导体组的静电能。现从功能关系出发讨论电容器储能。 如图 2-16 所示，电源给电容器 C 充电，最终达到 U Q ，而起初是电容器上 = = 0 0 u q ， 任一时刻 c q u = ，其中 u 、q 小写均指为 t 的函数。 现考虑电源把（− dq ）电量从电容器正极板 → 负极板（或 + dq 电量从负极 → 正极）， 电源做功 dA = udq
A= dA d q=o l d 图2-16 对于电容C而言,电源相当于外动力,电源做正功,则电荷电势能增加。依据功能关系, 应有 此能量储于电容器内。利用Q=CU,可将上式用Q、C、U中任两个物理量表出 2C 该式对于中间过程的某瞬时值也成立 3、电场能量密度 综上可见,静电势能、电容器储能均为静电相互作用能,简称为静申能。这些能量 分布于何处?并非有电荷处才有能量,而是静电能分布于电场中。 现以平行板电容器特例进行分析,其结论可推广至一般: ·U=Ed,C=53,体积V=S W I EoS (Ed)=Eo(SaE=EEV 电场能量密度则为 W EoE 2-2-10
2－2－10 ∴ 2 0 0 2 1 Q C dq C q A dA Q Q = = = 图 2-16 对于电容 C 而言，电源相当于外动力，电源做正功，则电荷电势能增加。依据功能关系， 应有 2 2 1 Q C W = 此能量储于电容器内。利用 Q = CU ，可将上式用 Q、C、U 中任两个物理量表出 C Q W CU QU 2 2 1 2 1 2 2 = = = 该式对于中间过程的某瞬时值也成立。 3、电场能量密度 综上可见，静电势能、电容器储能均为静电相互作用能，简称为静电能。这些能量 分布于何处？并非有电荷处才有能量，而是静电能分布于电场中。 现以平行板电容器特例进行分析，其结论可推广至一般： ∵ U = Ed ， d S C 0 = ，体积 V = Sd ∴ Ed Sd E E V d S W CU 2 0 2 0 2 0 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 = = = = 电场能量密度则为 2 0 2 1 E V W we = = dq dq + U u(t) + － － C