同学们好 FIGURE 14-11 This piano tuner adjusts the natural frequencies of the strings by changing their tensions
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大学物理 上讲: 判据1F=-kx 运动方程判据2 2+O2x=0 简谐振动 判据3x=Acos(Ot+q0) 特征量A,aq 2 A=1|xa+-0=1x2+ Po arcto OxD÷/在 旋转矢量法描述 第2页共32页
大学物理 第2页 共32页 上讲： 简谐振动 特征量 运动方程 cos( ) = +0 x A t 判据1 判据2 判据3 F = −kx 0 d d 2 2 2 + x = t x 旋转矢量法描述 A, , 0 2 2 2 2 2 2 0 0 v x v A = x + = + arctg( ) 0 0 0 x v = − m k =
大学物理 四、孤立谐振动系统的能量 不计振动传播带来的能量损失—辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗—摩擦阻尼 水平放置的弹簧振子 以平衡位置为坐标原点 x=Acos(@t+o) v=-A@sin(ot +o) Ep=kx=o kA cos (at+po) k -nny mAo-sin(ot+o/ 2 Sin(ot+Oo E=En+E=kP=恒量 孤立谐振动系统机械能守恒 第3页共32页
大学物理 第3页 共32页 四、孤立谐振动系统的能量 sin ( ) 2 1 sin ( ) 2 1 2 1 0 2 2 0 2 2 2 2 Ek = m v = m A t + = k A t + = p + k = 2 = 恒 量 2 1 E E E k A 孤立谐振动系统机械能守恒 ➢水平放置的弹簧振子 { sin( ) cos( ) 0 0 = − + = + v A t x A t 以平衡位置为坐标原点 不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼 孤立 cos ( ) 2 1 2 1 0 2 2 2 Εp = k x = k A t +
大学物理 E-t曲线 Ex曲线 E E A2 1 kx E 1t,2 k k E,E变化频率为x的2倍 谐振动量曲线 E,E彼此变化步调相反 AE、E、E=E+E 停 A圖 第4页共32页
大学物理 第4页 共32页 E–t 曲线 Ek , Ep 变化频率为x的2倍 Ek , Ep 彼此变化步调相反 E –x 曲线 -A A Ep E Ek x E O
竖直悬挂的弹簧振子 大学物理 以平衡位置为坐标原点 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 E 2 k ED=0 En=k(x+xo)2-mg(x+x k(x+xo) 2kx(x+x mg-ko=0 2 2 2 E=Ep+Ek=(kx2+mv2)-kx=k4-kx2=恒量 第5页共32页
大学物理 第5页 共32页 ➢ 竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 ( ) ( ) 2 1 0) 2 p 0 E = k x + x − mg x + x ( ) ( ) 2 1 0 0 2 0 = k x + x − kx x + x 2 0 2 2 1 2 1 = kx − kx 2 0 2 2 P K 2 1 ) 2 1 2 1 E = E + E = ( k x + mv − k x = 2 − 0 2 = 恒量 2 1 2 1 kA kx k m EP =0 x0 mg-kx0 =0 x O x 2 K 2 1 E = mv
大学物理 E=kA24kx=恒量 2 恰当选择零势点,可去掉第二项。如何选? 以平衡位置为坐标原点和势能零点 E,=k(x+x)2-kx81-mgn k 0 P =k(x+xo)=kxo-kox X 2 ng-ho=0 kx E=Ek+ED=omy+ kx=o ka 第6页共32页
大学物理 第6页 共32页 恰当选择零势点，可去掉第二项。 2 2 2 k p 2 1 2 1 2 1 E = E + E = m v + k x = k A = 2 − 0 2 = 恒量 2 1 2 1 E kA kx 以平衡位置为坐标原点和势能零点 如何选？ k m x0 mg-kx0 =0 x O x k x x kx kx x0 2 0 2 0 2 1 ( ) 2 1 = + − − 2 2 1 = kx E k x x kx − mgx = + − 2 0 2 p 0 2 1 ( ) 2 1 EP =0 EP =0
大学物理 注意: 只要以平衡位置为坐标原点和零势点 准弹性势能: 2 (包括重力势能、弹性势能) E=kA2振动系统总能量 2 第7页共32页
大学物理 第7页 共32页 注意： 只要以平衡位置为坐标原点和零势点 2 p 2 1 E = kx 准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能） 2 2 1 E = kA 振动系统总能量
大学物理 五、简谐振动的合成 关于叠加原理的一般概念 物理量满足叠加原理的条件是该物理量遵从线性 微分方程: d +p1 dx d"+…+pny=0(x) 特点:若V,y2是方程的解 则y=Cy+C2y2也是方程的解 线性微分方程的这个性质表明方程的解符合叠加原理 例如: +O2x=0 dt 第8页共32页
大学物理 第8页 共32页 五、简谐振动的合成 例如: 0 d d 2 2 2 + x = t x 一、关于叠加原理的一般概念 物理量满足叠加原理的条件是该物理量遵从线性 微分方程: ( ) d d d d 1 1 1 p y x x y p x y n n n n n + + + = − − 特点： 若 是方程的解 则 也是方程的解 1 2 y , y 1 1 2 2 y =C y +C y 线性微分方程的这个性质表明方程的解符合叠加原理
大学物理 dx+aD2x=0若x(1)x(O)是方程的解 dt !x=cx(t)+c2x2(t)也是方程的解 表明方程的解x符合叠加原理 简谐振动遵从叠加原理 合成:矢量合成的平行四边形法则 分解:傅立叶级数展开 注意: 自然界中存在大量用非线性方程描述的物理现象: 强振动,非线性波,激光等均不遵从叠加原理。 第9页共32页
大学物理 第9页 共32页 简谐振动遵从叠加原理 合成：矢量合成的平行四边形法则 分解：傅立叶级数展开 若x（1 t), x2 (t)是方程的解 则x = c1 x1 (t) + c2 x2 (t)也是方程的解 自然界中存在大量用非线性方程描述的物理现象： 强振动，非线性波，激光等均不遵从叠加原理。 注意： 0 d d 2 2 2 + x = t x 表明方程的解 x 符合叠加原理
同一直线上谐振动的合成 大学物理 1.同频率x1=A1cos(ot+1)x2=A2cos(ot+q2) A=A+A2 lll 合振动仍为该直线上同 频率的谐振动 O x=x,+x AcoS(@t+o) A=√4++2A4((92-) A sin , A sin o=arct A, COS,+A, coS P2 第10页共32页
大学物理 第10页共32页 二、同一直线上谐振动的合成 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A − 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin arctg A A A A + + = A1 A2 1 2 x O 1. 同频率 cos( ) 1 = 1 +1 x A t cos( ) 2 = 2 +2 x A t A A A1 A2 = + cos( ) 1 2 = + = + A t x x x 合振动仍为该直线上同 一频率的谐振动 x1 x2 x