3.定态方程的积分形式 用 Green函数方法求解 Schroedinger方程 定态方程 (F)ly(F)=Ey( 2UE U()=2V(F), (2+k2)v(r)=U(F)y(F) 有 ∫drb(F-fU(v( 表明连续源U(F)是点源δ(F-P)的积分。 先求解点源δ(F-F)对应的定态方程 (V+k2)G(F门=8(-门), 解为 Green函数 2+k2)v()=jdrU(r)w)(+k2)G(,r 因为 (V2+)Jd'rU()y()G(, r) 所以定态方程的一个特解为 w(r)=drU()w()G(r,r) 由于定态方程对应的齐次方程(无源方程) (v2+k2)y(F)=0 的解可取为 yo(F)=Ae 故定态方程(非齐次方程)的通解为 ()=A+∫dr()w(r)G(,r 这是一个关于v(F)的积分方程, Lippman- Schwinger方程,与定态方程的微分形式完全等 价 1
3. 定态方程的积分形式 用 Green 函数方法求解 Schroedinger 方程 定态方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 V r ψ r Eψ r µ ⎛ ⎞ ⎜− ∇ + ⎟ = ⎝ ⎠ = K K K K ， 令 2 2 2 E k µ = = ， ( ) ( ) 2 2 U r V r µ = K K = ， 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 k r U r r d r r r U r r ψ ψ δ ψ ∇ + = = − ′ ′ ′ ∫ K K K K ′ K K K K K 表明连续源U r( ) 是点源 的积分。 G δ (r − r G G ') ') ) 先求解点源δ (r r − 对应的定态方程 G G ( ) ()( 2 2 , r ∇ + k G r r′ ′ = δ r − r K K K K K ， 解为 Green 函数 ( ) 1 , 4 ik r r e G r r π r r − ′ ′ = − − ′ K K K K K K 。 因为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 3 , , r r k r d r U r r k G r r k d r U r r G r r ψ ψ ψ ∇ + = ′ ′ ′ ∇ + ′ = ∇ + ′ ′ ′ ′ ∫ ∫ K K K K K K K K K K K K K K ， 所以定态方程的一个特解为 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ψ ψ r d = r′ ′ U r r′ G r,r′ ∫ K K K K K K 。 由于定态方程对应的齐次方程（无源方程） ( ) ( ) 2 2 (0) ∇ + k r ψ = 0 K K 的解可取为 ( ) (0) ik r ψ r Ae ⋅ = G G K ， 故定态方程（非齐次方程）的通解为 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 , ik r ψ ψ r Ae d r U r r G r r ⋅ = + ′ ′ ′ ′ ∫ G G K K K K K K 。 这是一个关于ψ (r) K 的积分方程，Lippman－Schwinger 方程，与定态方程的微分形式完全等 价。 1
积分方程有其优点: 1)边界条件已包含在方程中 2)可用迭代法求解。 4.一级Bon近似 若势能V(F)是一个弱势,积分方程零阶解可取为 y)(r)=Ae" 级近似v"(F)=4c“"+d比U(可y()G(F,F) 由于势能V()的有效区域有限,当r→∞时,有 (7)r→Ae-A dre 4丌 注意:相位中一F保留到一级近似,分母中|-P只保持到零级。 与标准渐进解 y(r)=Ae+Af(8,)- 比较,得f(9)=-4 d'r'e TU() k=k 则 f(0,04JrU()。 q=k'-k
积分方程有其优点： 1）边界条件已包含在方程中； 2）可用迭代法求解。 4. 一级 Born 近似 若势能V r( ) 是一个弱势，积分方程零阶解可取为 K ( ) ( ) 0 ik r ψ r Ae ⋅ = G G K ， 一级近似 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 3 , ik r ψ ψ r Ae d r U r r G r r ⋅ = + ′ ′ ′ ′ ∫ G G K K K K K K 由于势能V r( ′) 的有效区域有限，当 时，有 K r → ∞ r r ′ K K ， ( ) ( ) 1/ 2 2 1/ 2 2 2 2 2 1 2 r r r r r r r r r r r r r r r r ⎛ ⎞ • • ′ ′ − =′ ′ − = + ′ − • ′ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ K K K K K K K K K K ( ) ( ) ( ) 1 1 3 ' 4 ikr r r ik ik r ik r r e r r Ae A d r e U r e r ψ π • ′ − ⋅ ⋅ → ∞ − ′ ′ ∫ K K G G G G K K K 注意：相位中 r − r ' G G 保留到一级近似，分母中 r − r ' G G 只保持到零级。 与标准渐进解 ( ) ( , ) ikr ik r e r Ae Af r ψ θ ϕ ⋅ = + G G K 比较，得 ( ) ( ) 1 3 ' , 4 r r ik ik r r f θ ϕ d r e U r e π • ′ − ⋅ = − ′ ′ ∫ K K G G K K 令 r k k r ′ = K K ， 则 ( ) ( ) ( ) 1 3 , 4 i k k r f θ ϕ d r e U r π − • ′ ′ = − ′ ′ ∫ K K K K K 。 k q k 'k k 'k r r Θ 2
对于极低能散射,入射波矢k很小,相位在有效相互作用范围内可看成一个常数,提到 积分号外,对σ无贡献, (0.o)=-1ar() 例题:低能散射势(r) n,≤a ()=-1()=-∫47=-4xn, 0(e.9)=1/(6.)=(2wlsa' 3h2 总截面on=o(0,g)d.7/21n) 3h2 对于高能散射,如果为中心势场 V(F)=(r), f(09)=-n 4 drr2U(r d8 sin fo dge -i ddr(r)singr'=-2la5odr'v("),singr 其中q是的函数 6 0=y2k(1-cos 0)=1 4k sin=2k o 微分散截面 注意:使用Bomn近似的条件是弱势散射, 5Bon级数 Lippman- Schwinger方程 w()=yo()+drG( r)U(w() 零级近似:yO(F) 一级近似:p"()=y"VG)+JdrG(,U(rm(r
对于极低能散射，入射波矢 k 很小，相位在有效相互作用范围内可看成一个常数，提到 积分号外，对σ 无贡献， ( ) ( ) 1 3 , 4 f θ ϕ d r U r π = − ′ ′ ∫ K K 。 a 例题：低能散射势 0 , ( ) 0, V r V r r a ⎧ ≤ = ⎨ ⎩ > ( ) ( ) 3 0 0 3 2 2 1 4 , 4 2 2 r a V V 3 3 f d rU r d r a µ µ θ ϕ π π π π ≤ = − = − = − ∫ ∫ K K G = = ， 2 3 2 0 2 2 ( , ) ( , ) 3 V a f µ σ θ ϕ θ ϕ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 总截面 2 3 0 2 2 ( , ) 4 3 tot V a d µ σ σ θ ϕ π ⎛ ⎞ = Ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ = 。 对于高能散射，如果为中心势场 V r( ) =V r( ) ， K ( ) ( ) 2 2 c 0 0 0 1 , ' sin 4 iqr f dr r U r d d π π θ θ ϕ θ θ ϕ π ∞ − ′ ′ = − ′ ′ ′ ′ ′ ∫ ∫ ∫ os e ( ) ( ) 2 0 0 1 2 dr U r' s r in qr dr V r' s r in qr q q ∞ ∞ µ = − ′ ′ ′ = − ′ ′ ∫ ∫ = ′， 其中q 是θ 的函数 ( ) 2 2 2 2 2 2 cos 2 1 cos 4 sin 2 sin 2 2 q k k k k kk k k k θ θ = − ′ ′ = + − ′ θ θ = − = = K K 。 微分散截面 ( ) ( ) 2 σ θ = f θ 。 注意：使用 Born 近似的条件是弱势散射。 5. Born 级数 Lippman－Schwinger 方程 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 3 ψ ψ r r = + ( ) d r′ ′ G r,r U r′ψ r ∫ K K G K K K ′ K 。 零级近似： (0) ψ (r) G 一级近似： ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (0) 3 (0) ψ ψ r r = + ( ) d r′ ′ G r,r U r′ψ r ∫ K K G K K K ′ K 3
y2)()=y()+drG( P)U(w"() 二级近似: yG)+jdrG(U(o)+Jdr"o(;F)U(F"y"() y/o()+]drG(, r)U(wo)(r) ∫drdF"G(,rU(G(F:FU(F"y"(”) 上面级数展开可以用下面的图形来表示, G G Green函数是传播函数
二级近似： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) (0) 3 (1) (0) 3 (0) 3 (0) (0) 3 (0) 3 3 ( ) , ( ) , ( ') " ', " " " ( ) , " , ', r r d r G r r U r r r d r G r r U r r d r G r r U r r r d r G r r U r r d r d r G r r U r G r ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = + ′ ′ ′ ′ = + ′ ′ ′ ⎡ + ψ ⎤ ⎣ ⎦ = + ′ ′ ′ ′ + ′ ′ ′ ∫ ∫ ∫ ∫ K K G K K K K G G K K K K K K K K K G K K K K K K K K K K K ( ) ( ) ( ) (0) r U" " r ψ r " ∫ K K K 上面级数展开可以用下面的图形来表示， Ψ Ψ0 Ψ0 Ψ0 V V V G G G ...... Green 函数是传播函数。 4