3.一维束缚态问题 若粒子只能在有限空间运动,即imv(F,)→0,称态v(F)为束缚态。 1)若v(x)v2(x)是属于同一能量E的两个态,则 2m v+n(E-F(x)v=0,v2+n(E-(x)2=0 v2-v2v1”=0 即 (vv2-V2V)=0, V1v2-v2v=const 对于東缚态, v(x→∞)→>0, v2-v2v1=0。 在v(x)≠0的区间,有 y1 y 即 In W=0, In yi=InC, v,(x)=Cv2(x) 说明:1)一维東缚态无简并; 2)当(-x)=V(x),一维東缚态有确定宇称。 2)波函数的连续性 定态方程 (x)=(E-F(x)9(x) a)若V(x)连续,则o",q,连续。 )若V(x)不连续,则φ"不连续。在不连续点a附近的邻域积分:
3.一维束缚态问题 若粒子只能在有限空间运动，即lim ( , ) 0 r ψ r t →∞ → r ，称态ψ (r t, ) r 为束缚态。 1）若ψ1 ( x),ψ 2 ( x)是属于同一能量 E 的两个态，则 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 0, 0 m m E V x E V x ψ ψ ψ ψ 2 ′′+ − = ′′ + − h h = 有 1 2 2 1 ψ ψ ψ ′′ − = ψ′′ 0， 即 ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 ψ ψ ψ ψ 0, ψ ψ ψ ψ const. ′ ′ ′ − = ′ − ′ = 对于束缚态， ψ ( x → ∞) → 0， 有 ' ' 1 2 2 1 ψ ψ ψ− = ψ 0。 在ψ ( ) x ≠ 0的区间，有 1 2 1 2 ψ ψ ψ ψ ′ ′ = ， 即 1 2 ln 0 ψ ψ ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ， 1 2 ln lnC ψ ψ = ，ψ1 2 ( ) x = C x ψ ( ) 说明：1）一维束缚态无简并； 2）当V x ( ) − =V ( x) ，一维束缚态有确定宇称。 2）波函数的连续性 定态方程： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2m ϕ ϕ ′′ x = − E V− x x h ， a) 若V ( x) 连续，则ϕ′′ ′ , , ϕ ϕ 连续。 b) 若V ( x) 不连续，则ϕ′′不连续。在不连续点a附近的邻域积分： 1
(E-(x)(x)x 若2-有限,则积分→0,和均连续。 若2-%→∞,q不连续,积分为 ∫(E-(x)(x)a q不连续; 有限连续 3)δ势阱 (x)=-16(x)=V(-x) 空间反演不变,東缚定态有确定宇称。 在x=0处,→∞,ΔV→∞,四'不连续,而φ可能连续,可能不连续。 尝试φ连续的束缚定态解 2me m=0, 0 考虑E0 要求q(x→±)是有限,故 x0,为東缚态(这就是取E0时无東缚定态解)。 由于V(-x)=V(x),一维東缚态有确定宇称,即 偶宇称态 9(-x)=9(x) <0 或奇宇称态
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a a m a a E V x x ε ε ϕ ε ϕ ε ϕ + − ′ ′ + − − = − − ∫ h dx 若 V2 −V1 有限，则积分→ 0，ϕ′ 和ϕ 均连续。 若 2 1 V V− → ∞, ϕ ' 不连续，积分为： ( ) ( ) ( ) a a E V x x dx ε ε ϕ ϕ ϕ + − ⎧∞ − = ⎨ ⎩ ∫ 不连续； 有限 连续. 3）δ 势阱 V x( ) = −γδ ( ) x =V (−x) ， 空间反演不变，束缚定态有确定宇称。 在 x V = → 0 , 处 , ∞ ∆V → ∞, ϕ′不连续，而ϕ 可能连续，可能不连续。 尝试ϕ 连续的束缚定态解： 2 2 0, 0 mE ϕ ϕ ′′ + = x h ≠ 考虑 E . 要求ϕ ( x → ±∞) 是有限，故 ( ) 0 0 kx kx Ae x x C e x ϕ − ⎧ ， 此时ϕ ( x → ±∞) → 0 ，为束缚态（这就是取 E 0 时无束缚定态解）。 由于V x ( ) − =V ( x) ，一维束缚态有确定宇称，即 ) 偶宇称态 ϕs ( ) − = x ϕs ( x ， ( ) 0 0 kx s kx Ae x x Ae x ϕ − ⎧ ， 或奇宇称态 2
q(-x)=-9(x),q2(x) x0 由于qn(x)在x=0不连续,故不存在奇宇称态解 而q(x)在x=0满足连续性,由 21 q=-2(E-(x),得 n(0)-n(b0(E+()()=2m2 2m 则 2k=_2m 只有一个束缚定态解 4)一维方势阱 a 2mE 2 2m(E h h 要求x→土∞时,有限,有 P(x) Be+b'e <
ϕa ( ) − = x −ϕa ( x) ， ( ) 0 0 kx a kx Ae x x Ae x ϕ − ⎧ . 由于ϕa ( x)在 x = 0不连续，故不存在奇宇称态解。 而ϕs ( x) 在 x = 0满足连续性，由 ( ) ( ) 2 2 s s m ϕ′′ = − E V− x ϕ h 得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 2 2 0 0 s s s s m m ϕ ϕ E x γδ ϕ x dx γϕ + − + − ′ ′ − = − + = − ∫ h h 0 ， 则 2 2 2 m − = kA − γ A h ， 2 2 2 m E γ = − h ， 只有一个束缚定态解。 4）一维方势阱 ( ) 0 0 x a V x V x ⎧ > ⎪ = ⎨ ⎪− ′ ⎩ a − ， ( 0 ) 2 2 2 2 2 2 , mE m E V k k + = − ′ = h h 要求 x → ±∞ 时，ϕ 有限，有 ( ) kx ik x ik x kx Ae x a x Be B e x a C e x a ϕ ′ ′ − − ⎧ ⎩ 3
此时mg(x)=0,为束缚态 由于(-x)=V(x),且一维東缚态无简并,故φ(x)应具有确定宇称: 偶宇称态 9(x)={B(e“+e“)=2 BCosk'x a 由于在x=-a,a处势的变化有限,,连续。由g,,在x=-a处的连续性,有 Ae -kd= 2 BCosk'a Ake如=2 Bk' Sink 注:x=a处的连续性条件给出相同的方程,故 ∫k2gk=k→分离能量谱En 2B= Ae-kSeck'a x分离能谱E A x<-a Qa(x)=-Ae-ucsck'aSink'x xl<a ∫(x)
.此时 lim ( ) 0, x ϕ x →±∞ = 为束缚态。 由于V x ( ) − =V ( x) ，且一维束缚态无简并，故ϕ ( x) 应具有确定宇称: 偶宇称态 ( ) ( ) 2 kx ik x ik x s kx Ae x a x B e e BCosk x x a Ae x ϕ ′ ′ − − ⎧ a ⎩ ⎩ ⎩ 归一化条件 ( ) 2 1 s ϕ x dx A ∞ −∞ ∫ = → . 类似，由 , ϕa ϕa ′ 在 x = −a处的连续性条件，有 a n k c′ ′ tgk a = −k → 分离能谱E ( ) kx ka a kx Ae x a x Ae Csck aSink x x a Ae x a ϕ − − ⎧ ⎩ , ( ) 2 1 a ϕ x dx A ∞ −∞ ∫ = → 4
4.一维散射问题 般散射问题 散射球面波 入射平面波 6散射角 Vr)·靶 束缚态问题:约束条件q(r→∞)=0→分离能谱。 弹性散射问题:已知入射能量(入射频率),在散射过程中保持不变,求散射到d(r→∞,0,) 方向的几率。 维散射问题:6=0,丌,求反射几率R和透射几率T,R+T=1 入射 反射 透射 平面波平面波 平面波 1)δ势阱 2me x≠0 取E>0,则 Aekr+ae-ikr x<0 2mE h2 当入射波从左至右入射时,C"=0。 由在x=0的连续性条件,得 A+A=C 由p在x=0满足的方程
4.一维散射问题 一般散射问题： 束缚态问题：约束条件ϕ (r → ∞) = 0 → 分离能谱。 弹性散射问题：已知入射能量（入射频率），在散射过程中保持不变，求散射到d r Φ →( ∞,θ ,ϕ) 方向的几率。 一维散射问题：θ = 0,π ，求反射几率 R 和透射几率 T，R＋T＝1。 1）δ 势阱 ( ) ( ) 2 2 0, 0 V x x mE x γδ ϕ ϕ = − ′′ + = h ≠ 取 E > 0，则 ( ) 0 0 ikx ikx ikx ikx Ae A e x x Ce C e x ϕ − − ⎧ + ′ ， 2 2 2mE k = h 。 当入射波从左至右入射时，C′ = 0 。 由ϕ 在 x = 0的连续性条件，得 A A + ′ = C ； 由ϕ′ 在 x = 0满足的方程 5
2m i(C-4+41)=-n27(4+4 解得 A A, C 1-iB I-iB A, B=my 方2k 反射几率:R=反射几率流=4=B2, 入射几率流|21+ 透射几率:T 透射几率流_c 入射几率流411+P 几率守恒:R+T=1 6
( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 m ϕ ϕ γϕ + − ′ ′ − = − h 0 ， 即 ( ) ( ) 2 2m ik C − + A A′ ′ = − γ A+ A h . 解得： 2 1 1 i i A A C A i i m k β β γ β β β ′ = = − − h ， ， = 反射几率： 2 2 2 2 1 A R A β β ′ = = = + 反射几率流 入射几率流 ， 透射几率： 2 2 2 1 1 C T A β = = = + 透射几率流 入射几率流 几率守恒： R +T = 1。 6