3.自旋 由角动量J的一般理论分析与计算,存在不同于轨道角动量L的新角动量,其量子数 可以为半整数。 )实验分析: Sen- Gelach实验:基态原子射线在磁场中分裂为两条。 S 分析:·分裂是由于粒子磁矩与磁场相互作用引起的, 势V=-MB,力F=-V=V(M.B ·磁矩与角动量相关,M=yJ。 基态无轨道角动量,无轨道磁矩,必存在内禀磁矩Ms,内禀角动量S,称 为自旋角动量。 ●射线分为两束→S在任意方向的投影只有两个值。由上节理论推导的角动量 一般性质,粒子自旋量子数s ●由射线强度分析,有M、=-§(注意:对于轨道角动量,M L)。 2 2)自旋角动量S的性质 无经典对应 与空间运动无关,是粒子内部自由度。微观粒子内部自由度还有宇称、同位旋、色 味等等。 相对论效应,自洽处理在相对论量子力学中, Dirac方程。 对易关系:[5.SJ=enS,SxS=s
3.自旋 由角动量 J 的一般理论分析与计算，存在不同于轨道角动量 G L G 的新角动量，其量子数 可以为半整数。 j 1）实验分析： Stern −Gelach实验：基态原子射线在磁场中分裂为两条。 分析： ●分裂是由于粒子磁矩与磁场相互作用引起的， 势V = −M B, 力 。 G G i F V = −∇ = ∇( ) M G G G G G iB ●磁矩与角动量相关，M = γ J G G 。 ●基态无轨道角动量，无轨道磁矩，必存在内禀磁矩 MS G ，内禀角动量 S G ，称 为自旋角动量。 ●射线分为两束→ 在任意方向的投影只有两个值。由上节理论推导的角动量 一般性质，粒子自旋量子数 S G 1 2 s = 。 ●由射线强度分析，有 S e M S µ = − G G （注意：对于轨道角动量， 2 L e M L µ = − G G ）。 2)自旋角动量 S 的性质： G 无经典对应 与空间运动无关，是粒子内部自由度。微观粒子内部自由度还有宇称、同位旋、色、 味等等。 相对论效应，自洽处理在相对论量子力学中， Dirac方程。 对易关系： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , i j ijk k ⎡ ⎤ S S = × i ε S S S i S ⎣ ⎦ = G G G = = 。 1
引入Ph矩阵,S=29,[,]=2m0 本征值:S,S,S=± 方2 =±1 注意:1)上一节考虑J2与J2的共同本征值的方法同样可用于求J2与Jx,或J2与J的 共同本征值,结果不变。故J,J,J的本征值相同。2)只有一个本征值的算符如同一个经 典量。 反对易关系:00,+G01=(GG:-00,)0,+0,(0:-00) G62+6 )=n 0+0.)=0 定义{=1B+B 则{G,0}=2。 在S()表象的矩阵形式:0.(100,=(0/ 3)自旋态 引入自旋后,粒子的3个自由度产→4个自由度F,S, Hilbert空间是坐标(连续)空 间与自旋空间(D=2)的直积。 中心场力学量完备组{, }→(B22S,态WG1→s; 在自旋空间中,波函数为2维矢量:W(,S;t)= n2(F;) V2(:)为:=±,位置在F的几率,(:)+2(F:)为位置在的几率, dm2(F,)为S:=的几率 归一化条件为:∫d(w2()+()21 任意力学量G的平均值 /rv(:s)Gw(,:,)=(n(元二空,Gwa 21G23八v-m2(F:)
引入 Pauli 矩阵σˆ ，G ˆ ˆ 2 S = σ G = G ， ˆ ˆ , 2 ˆ i j ijk k ⎡ ⎤ σ σ = iε σ ⎣ ⎦ 本征值： , , 2 x y z S S S = ± = ，σ σx y , ,σ z = ±1， 2 2 2 2 4 x y z S S = = S = = ， 2 2 2 1 σ σ x y = =σ z = 注意：1）上一节考虑 J 2 与 的共同本征值的方法同样可用于求 G z J 2 J G 与 Jx ，或 J 2 与G y J 的 共同本征值，结果不变。故 , , x y z J J J 的本征值相同。2）只有一个本征值的算符如同一个经 典量。 反对易关系： ( ) ( ) 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 x y y x y z z y y y y z z y i i σ σ + = σ σ σ σ −σ σ σ + σ σ σ −σ σ ( ) ( ) 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 2 2 z y y z z z i i = −σ σ +σ σ = −σ +σ = 定义 { } ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A, , B = + AB BAˆ 则 {σ σ ˆ ˆ i j , 2 } i = δ j ) ⎞ ⎟ ⎠ 。 在 Sz (σ z 表象的矩阵形式： 0 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 1 x y z i i σ σ σ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − 。 3）自旋态 引入自旋后，粒子的 3 个自由度r →G 4 个自由度 , z r S G ，Hilbert 空间是坐标（连续）空 间与自旋空间（ D = 2）的直积。 中心场力学量完备组{ } { } ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ , , ,,, H L Lz z H L L z → S G G ，态ψ ψ ( ) r t; , → (r Sz;t) G G 。 在自旋空间中，波函数为 2 维矢量： ( ) ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 ; , ; ; z r t r S t r t ψ ψ ψ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G ( ) 2 1/ 2 ψ r t; ± G 为 2 z S = ± = ，位置在r G 的几率， ( ) ( ) 2 2 1/ 2 1/ 2 ψ r t; ψ r t + − ; G G 为位置在r 的几率， G ( ) 2 3 1/ 2 d r ψ r;t ∫ ± G G 为 2 z S = ± = 的几率。 归一化条件为： ( ( ) ( ) ) 2 2 3 1/ 2 1/ 2 d r ψ ψ r t; ; r t ∫ + = − G G G 1。 任意力学量Gˆ 的平均值 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 * * 11 12 1/ 2 1/ 2 1/ 2 21 23 1/ 2 ; ˆ , ; , ; ; , ; ; z z G G r t G d r r s t G r s t d r r t r t G G r t ψ ψ ψ ψ ψ ψ + − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫ ∫ G G G G G G G G 2
4)筒单zemm效应 中心场中电子的运动 B,=2V+(),B,m)=Em,y()=(m=凡)m(列 简并度g=2l+1 特例:库伦势V(r)- =n o 考虑磁相互作用:1)轨道磁矩和自旋磁矩与外磁场作用:V=-MB,2)自旋磁矩与轨 道运动产生的磁场相互作用:V~L§。 对于强外磁场,内部磁场可以忽略,即L·S可忽略。选外磁场方向为z轴: =-(0+航(1+)=+(1+3 在自旋空间:B)=E,p)=(wn),,E与自旋无关,在自旋空间为单位 矩阵 10 L 0 0-12 (+)|W2)=Ew2) 能量本征方程为 -)w)-Ew) HonIm) =En,nIm),L: nIm)=mh/nlm 定态方程的解为 nIm E E m+1) nlm)
4）简单 Zeeman效应 中心场中电子的运动： ( ) 2 2 0 0 ˆ ˆ , 2 H V nl r H nlm E nlm µ = − ∇ + = = G ， ψ nlm ( ) r r = = nlm Rnl ( ) r Ylm (θ, , ϕ ) G G 简并度 g = 2l +1。 特例：库伦势 ( ) 1 V r r ∼ ， 2 , En g = n 。 考虑磁相互作用：1)轨道磁矩和自旋磁矩与外磁场作用：V = −M B G G i ，2)自旋磁矩与轨 道运动产生的磁场相互作用: 。 ˆ ˆ V L S G G ∼ i 对于强外磁场，内部磁场可以忽略，即 ˆ ˆ L S G G i 可忽略。选外磁场方向为 z 轴： 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 L S Lz z S z z eB H H M M B H M M B H L S B µ = − + = − + = + + G G G i 在自旋空间： 1/ 2 1/ 2 ˆH E , ψ ψ ψ ψ ψ − ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 与自旋无关，在自旋空间为单位 矩阵 0 ˆ ˆ , H Lz 0 0 1 0 1 0 1 0 ˆ ˆ , , , 0 1 0 1 0 1 2 H H Lz z L z S ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ = 能量本征方程为 ( ) ( ) 0 1/ 2 0 1/ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 z z eB H L E eB H L E ψ ψ µ ψ ψ µ − − ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ + + = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪⎛ ⎞ + − = ⎜ ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ = = 1/ 2 1/ 2 0 ˆ ˆ , H nl z ∵ = nlm = = E nlm L nlm m nlm ， ∴ 定态方程的解为 ( ) 1/ 2 1/ 2 1/ 2 , 0, 0 1 2 z nlms nl nlm nlm eB E E m ψ ψ ψ µ − = ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ = = = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ = + + ⎪ ⎩ = 和 ( ) 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 , 0, 1 2 z nlms nl nlm nlm eB E E m ψ ψ ψ µ − =− ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ = = = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ = + − ⎪ ⎩ = 3
结论:有外磁场时,能级发生分裂,与轨道角动量和自旋角动量有关: E,→E 在基态,n=1,1=0,m=0,自旋使得能级分裂E0→ 02这就是Sten B Gelach实验的结果。 5) Larmor进动 电子自旋磁矩:M=-§ 外磁场:B,考虑均匀磁场,并选择外场方向为z方向,对于静止电子, H=-M.B=-BS 定态 Schrodinger方程 ehB = E ehb(1 0c HI)=El), n. 0-1 ehB E ehB c1=1,c2=0 ehB C1=0,c2 解为 0)-E e 般态:v)=a|q)+bq), 由归一化, 取 C 则一般态:y) 自旋S的平均值:(S)=《yS;|vy), 代入矩阵形式,有
结论：有外磁场时，能级发生分裂，与轨道角动量和自旋角动量有关： z E E nl → nlms 在基态，n l = = 1, 0, m = 0，自旋使得能级分裂 10 10 10 2 2 eB E E eB E µ µ + → − = = ，这就是 Stern －Gelach 实验的结果。 5） Larmor 进动 电子自旋磁矩： ˆ ˆ S e M S µ = − G G 外磁场： B G ，考虑均匀磁场，并选择外场方向为 z 方向，对于静止电子， ˆ ˆ S z e H M B BS µ = − = G G i 定态 Schrödinger 方程 Hˆ ϕ ϕ = E ， 1 1 2 2 1 0 2 0 1 e B c c E µ c c ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ， 1 1 2 2 2 , 2 e B c Ec e B c Ec µ µ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪− = ⎪⎩ = = 解为 1 2 , 1, 0 2 1 0 i E t e B E c c e µ ϕ + + − + ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ = ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ = = = ， 和 1 2 , 0, 1 2 0 1 i E t e B E c e µ ϕ − − − − ⎧ = − = = ⎪ ⎪ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ = ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ = = c 。 一般态： ψ ϕ a b ϕ , = + + − 由归一化， a b 2 2 + = 1， 取 , 2 2 a Cos b Sin α α = = ， 则一般态： 2 2 i E t i E t Cos e Sin e α ψ α + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = 。 自旋S ˆ i的平均值： ˆ i i S = ψ S ψ ， 代入矩阵形式，有 4
cos-e (S: )=cos e' h/20 方 0一/2 在垂直于磁场方向的频率O=-B,称为 Larmor频率,运动形态称为 Larmor进动。 S
cos / 2 0 2 cos sin cos 2 2 0 / 2 2 sin 2 i E t i i E t E t z i E t e S e e e α α α α α + + − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = = = = = 2 2 x y e S Sin Cos e S Sin Sin α Bt Bt µ α µ = = = = 在垂直于磁场方向的频率 e ω B µ = ，称为 Larmor 频率，运动形态称为 Larmor 进动。 5