由(O)(O)={v()ov(), 由ih,(O)=By(),功边(v()=Bv(O 有-024( 若力学量O不显含时间 d H 那么O,应的不确定关系为 OH h2(d 4 dt AOmE≥d 与MAE≥比较, =△OO M的物理意义是力学量O的平均值变化一个标准方差△O所需的时间。显然,Mt与力学量O 有关 例:在能量本征态(),v(t)=Ew(),△E=0 hy()=Bv()2=Ey(),()=ev(o), 任意力学量平均值 (o)()={y()ov(), 若O不显含时间, O)()=v(O)ov(0)=()O), 说明在能量本征态,任意不含时间的力学量的平均值与时间无关 O)=0,△t=△O/O)→ dt 1
( ) ( )2 2 ∆ = E Hˆ − E ， ( )2 ∆ = t ? 由 ( ) ( ) ( ) O Oˆ t t = ψ ψ t ， 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ d O O Oˆ ˆO dt t t t t t t t t ψ ψ ψ ψ ψ ψ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ t ∂ ∂ 由 ( ) ( ) ˆ i t H t ψ ψ ∂ = ∂ h t ， ( ) ( ) ˆ - t i t ψ ψ H ∂ = ∂ h t ， 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ 1 O 1 O ˆ ˆ ˆ ˆ d t HO t t t t OH t dt i t i ψ ψ ψ ψ ψ ψ ∂ = − + + h h ∂ ˆ 1 O ˆ ˆ O H, i t ∂ ⎡ ⎤ + ⎣ ⎦ h ∂ = 若力学量Oˆ 不显含时间， 1 O , ˆ ˆ d O H dt i ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ h = ， 那么Oˆ ， Hˆ 的不确定关系为 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ , 2 4 d O E O H O i d ⎛ ⎞ ⎛ ∆ ∆ ≥ ⎜ ⎟ ⎡ ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ h t ⎞ ⎟ ⎠ ， 2 d O E O dt ∆ ∆ ≥ h ， 与 2 ∆ ∆t E ≥ h 比较， 有 = / d t O O dt ∆ ∆ 。 ∆t 的物理意义是力学量O的平均值变化一个标准方差∆O 所需的时间。显然， 与力学量O 有关。 ∆t 例： 在能量本征态 ψ (t) ， ( ) ( ) ˆH ψ ψ t = E t ，∆E = 0 ( ) ( ) ( ) ˆ i t H t E t ψ ψ ψ ∂ = = ∂ h t ， ( ) ( ) - e 0 i E t ψ ψ t = h ， 任意力学量平均值 ( ) ( ) ( ) O Oˆ t t = ψ ψ t ， 若Oˆ 不显含时间， ( ) ( ) ( ) O 0 Oˆ t O = = ψ ψ 0 (0)， 说明在能量本征态，任意不含时间的力学量的平均值与时间无关， O 0 d dt = ， = O/ O d t dt ∆ ∆ → ∞ 。 1
11两个力学量同时有确定值的条件 由不确定关系,只说明当量力学量算符对易时,可能在某一个态两个力学量同时有确定 值。那么同时取确定值的条件是什么呢? 定理:若A,B有完备的共同本征函数系,则A,B对易。 证明:设完备的共同本征函数系为 n=a, n), Bn)=bn 在任意态|v)=∑|n)nlv) (B-B1)w)∑(B-B)mm)=∑(-aBm)=∑(haah)(m)=0 )是任意态,故1,B=0 逆定理:若A,B对易,则A,B可以有完备的共同本征函数系 证明:设A|m)=an|n), [.B]=0,B1=B1(n=a,Bm 说明Bn)也是A的属于本征值an的本征态。若A无简并,则Bn)与|n)是同一个态,只能相差 个常数: 故n)也是B的本征态,即A,B有共同的完备本征函数系。 若A有简并,则可以用施密特方法来证明有同样的结果 结论:多个力学量相互对易时,它们可以有共同的本征函数系。当体系处于这些共同本征 态时,它们同时有确定的值。 例如:若=P,「B1=0,户与有共同的本征函数系|)。在共同的本征函数系p), 2m 戶与H同时有确定值。 注意,LAB=0,[BC」=0,只说明A,B可以同时有确定值,已,C可以同时有确定值。 但A,C不一定同时有确定值,例如:对于轨道角动量,L=F×p,[,[1, 2,]≠0。说明E,L可以同时有确定值,E,可以同时有确定值,但L,L不可能同
11.两个力学量同时有确定值的条件 由不确定关系，只说明当量力学量算符对易时，可能在某一个态两个力学量同时有确定 值。那么同时取确定值的条件是什么呢？ 定理：若 Aˆ ， Bˆ 有完备的共同本征函数系，则 Aˆ ， Bˆ 对易。 证明：设完备的共同本征函数系为 n ˆ A n n = a n ， ˆ B n n b = n 在任意态 n ψ = ∑ n n ψ 。 ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 n n n n n n n n n AB − − BA ψ ψ =∑ ∑ AB BA n n = b A− a B n n ψ = ∑ b a − a b n n ψ = ψ 是任意态，故 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A B ˆ, 0 ˆ = 。 逆定理：若 Aˆ ， Bˆ 对易，则 Aˆ ， Bˆ 可以有完备的共同本征函数系。 证明： 设 ˆ A n n =a n ， ˆ ˆ ⎡ ⎤ A B, 0 = ⎣ ⎦ ， ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AB n n = = BA n a B n 。 说明 Bˆ n 也是 Aˆ 的属于本征值an 的本征态。若 Aˆ 无简并，则 Bˆ n 与 n 是同一个态，只能相差 一个常数： Bˆ = n n b n 故 n 也是 Bˆ 的本征态，即 Aˆ ， Bˆ 有共同的完备本征函数系。 若 Aˆ 有简并，则可以用施密特方法来证明有同样的结果。 结论：多个力学量相互对易时，它们可以有共同的本征函数系。当体系处于这些共同本征 态时，它们同时有确定的值。 例如：若 2 ˆ ˆ 2 p H m = ，⎡ ⎣ p Hˆ, ˆ ⎤ ⎦ = 0，pˆ 与 Hˆ 有共同的本征函数系 p 。在共同的本征函数系 p ， pˆ 与 Hˆ 同时有确定值。 注意， ， ，只说明 A，B 可以同时有确定值，B，C 可以同时有确定值。 但 A，C 不一定同时有确定值。例如：对于轨道角动量， ˆ ˆ ⎢ ⎥ A B, 0 = ⎣ ⎦ ˆ ˆ ⎢ ⎥ B C, = ⎣ ⎦ 0 L = r × p r r r ， ˆ2 ˆ L L, x =0 ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ r ， ˆ2 ˆ L L, y = ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎦⎥ 0 r ， ⎡ ⎣ L L ˆ ˆ x y , ⎤ ⎦ ≠ 0。说明 ˆ2 L r ， Lˆ x 可以同时有确定值， ˆ2 L r ， Lˆ y 可以同时有确定值，但 Lˆ x ， Lˆ y 不可能同 2
时有确定值(L=0时除外)。 第三章坐标表象的 Schrodinger方程 一般形式的 Schrodinger方程 ay()=iy(),分=P +(F,1) 进入坐标表象 ih(v()=(x-h(x() 即 i。v(x,) 推广到3维空间,有: ihy (F, 1)=H,-invy(, t) 1定态 Schrodinger方程 若H不显含时间t,即 2m ( 尝试将态函数分离变量: v(F,)=9()f(), ihep()f(=Hp(f( 要使左右两边相等,只能等于一个不依赖于F和t的常数E Ef, Ho=E 故 Schrodinger方程的特解为 v(P,1)=9(F)f(O,H()=E(),f()=Ce
时有确定值（ Lˆ z =0 时除外）。 第三章 坐标表象的 Schrödinger 方程 一般形式的 Schrödinger 方程 ( ) ( ) 2 ˆ ˆ ˆ , ( , ) 2 p i t H t H V r t m ψ ψ ∂ = = + ∂ t r h 进入坐标表象 ( ) ( ) ˆ i x t H x, i x t t x ψ ψ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ h h ， 即 ( ) ( ˆ i x, , t H x i x t x ψ ψ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ h h ,t) ， 推广到 3 维空间，有： ( ) ( ) ( ) ˆ i r, , t H r i r t ψ ψ ∂ = − ∇ ∂ r r r h h ,t r 1.定态 Schrödinger 方程 若 Hˆ 不显含时间t ，即 ( ) 2 2 ˆ 2 H V m = − ∇ + h r r r ) ， 尝试将态函数分离变量： ψ ( ) r t, =ϕ (r) f (t r r ， 则： ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ 1 1 ˆ i r f t H r f t t df i H f dt ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ = ∂ = r r h h 要使左右两边相等，只能等于一个不依赖于r r 和t 的常数 E： ˆ , df i Ef H dt h = = ϕ Eϕ 故 Schrödinger 方程的特解为 ( ) ( ) ( ) ˆ ( , ) ( ) ( ), , i Et ψ r t ϕ ϕ r f t H r Eϕ r f t Ce − = = = h r r r r ， 3
由De- Brogile关系式,常数E就是能量本征值。特解就是能量有确定值的态,称为定态, H(F)=E()称为定态 Schroedinger方程,即能量本征方程。 注意:H不显含时间t的 Schrodinger方程的通解是定态的线性叠加 v(,)=∑Cwn(F,1)=∑C9,(7)e 已不再是定态,不再是能量的本征态。 2定态的性质 1)几率密度p(F:)=/(1)=19()=p(F,0) 几率流密度(,)=j(7,0)(请自己证明),均与时间无关。 任意不显含时间t的力学量O的平均值 ()=(()ov()=jd'v()x)(xOx(x1v() a(0(21(-y(经两次分部分ay((-2y( ∫a((x-b2)( 与时间无关。这也是为什么称能量本征态为定态的原因 2)若势V()具有空间反演不变形V(-)=V(),则 v2+(F)|()=E(F) 方ⅴ2+V(G)l(-)=Eo(-) 说明q()和p(-)是定态方程属于同一能量E的两个解。 若定态不简并 0(-F)=C(F), 将→一,得到 0()=Cq(-f)=Co(F),C2=1,C=±l 0()=q(-),系统处于偶字称态, q()=-(-),系统处于奇字称态 说明:当(-F)=V()时,无简并定态具有确定的字称,或为偶字称态,或为奇宇称态
由 De-Brogile 关系式，常数 E 就是能量本征值。特解就是能量有确定值的态，称为定态， H r ˆϕ ( ) = Eϕ (r) 称为定态 Schroedinger 方程，即能量本征方程。 r r 注意： Hˆ 不显含时间t 的 Schrödinger 方程的通解是定态的线性叠加： ( ) , , ( ) ( ) n i E t n n n n n n ψ r t C ψ ϕ r t C r e − = = ∑ ∑ h r r r ， 已不再是定态，不再是能量的本征态。 2.定态的性质 1）几率密度 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 ρ ψ r t, , = = r t ϕ r = ρ r r r r r ,0) ,0) ， 几率流密度 j ( ) r t, = j (r r r r r （请自己证明），均与时间无关。 任意不显含时间t 的力学量O的平均值： ( ) ( ) ( ) ( ) O ˆ ˆ = = ψ ψ t O t dxdx′ ′ ψ t x x O x x ψ t ∫ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * ˆ ˆ dxdx x, , t O x i x x x ,t dx x,t O x, i x t x x ψ δ ψ ψ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = − ′ ′ ⎜ ⎟ − ′ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫ ∫ h h 经两次分部积分 ( ) ψ , ( ) * ˆ dx x O x, i x x ϕ ϕ ⎛ ∂ ⎞ = ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫ h 与时间无关。这也是为什么称能量本征态为定态的原因。 2）若势V r( ) 具有空间反演不变形 r V r ( ) − =V (r) r r ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , 2 2 V r r E r V r r E r m m ϕ ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ∇ + = ⎜ ⎟ − ∇ + − = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ h h r r r r r r r r 说明ϕ (r) 和 ) 是定态方程属于同一能量 r ϕ (−r r E 的两个解。 若定态不简并， ϕ ϕ ( ) − = r C (r r r) r r ， 将r → − ，得到 r r ( ) ( ) 2 ϕ ϕ r C= −r C= ϕ(r) r r ， 2 C =1，C = ±1。 当 ϕ ϕ ( ) r = (− ) r rr r ) ，系统处于偶宇称态， ϕ ( ) r = −ϕ (− ) r r ，系统处于奇宇称态。 说明：当V r ( ) − =V (r 时，无简并定态具有确定的宇称，或为偶宇称态，或为奇宇称态。 r r 4