4)可以证明:厄米算符的本征矢满足完备性条件, ∑|)(l=1 或∫d)(|=1 或∑1+」d1f=1 构成H语ert空间的一组正交归一的基矢。 5.两组基矢之间的变换(表象变换) 正如在3维空间中可选择直角坐标系,也可以选择球坐标系、柱坐标系一样。在 Hilbert空 间中,也可以选择不同的基矢(表象),不同基矢组之间的变换称为表象变换。 设有两组基矢 1表象:| M表象:|m) 表象变换就是矢量和运算算符的变换 1)矢量的变换 1表象:|a)=∑1)(la), (a)是态|a)在|方向的分量,或称|a)在|表象的表示。 M表象:|a)=∑|m)mla ma)是态|a)在|m)方向的分量,或称|a)在M表象的表示 先考虑基矢的变换 1)=∑|m)(ml) 定义基矢(表象)变换矩阵为S, 对任意矢量|a),在M表象的分量 (ma)=∑m1)(a)=∑Sm(a), 或者 1
4）可以证明：厄米算符的本征矢满足完备性条件， 1, 1 1 i i i i df f f i i df f f = = + = ∑ ∫ ∑ ∫ 或 或 构成 H ilbert空间的一组正交归一的基矢。 5. 两组基矢之间的变换（表象变换） 正如在 3 维空间中可选择直角坐标系，也可以选择球坐标系、柱坐标系一样。在 Hilbert 空 间中，也可以选择不同的基矢（表象），不同基矢组之间的变换称为表象变换。 设有两组基矢： I 表象： i M 表象： m 表象变换就是矢量和运算算符的变换。 1）矢量的变换 I 表象： i = α α ∑ i i ， i α 是态 α 在 i 方向的分量，或称 α 在 I 表象的表示。 M 表象： m α α = ∑ m m m α 是态 α 在 m 方向的分量，或称 α 在 M 表象的表示。 先考虑基矢的变换 m i m = ∑ m i 定义基矢（表象）变换矩阵为 S， mi S = m i ， 对任意矢量 α ，在 M 表象的分量 mi i i m m α α = ∑ i i = ∑S i α ， 或者 1
S 2)算符的变换 表象:T=(T, M表象:Tm=(m7T|n) ∑ml)(7)(m ∑(m)r)(n STS 写成矩阵形式: TE STS 以下证明表象变换矩阵S的两个性质。 3)表象变换矩阵是幺正矩阵 (sS)=∑SSm=∑SSn=∑m)(m1)=∑(lm)(ml1)=(= SS=l 同理可证:SS 故 表象变换矩阵为幺正矩阵。 注意S不是厄米矩阵,S+≠S。 4)表象变换不改变算符的本征值,这是物理要求。 设7(),=4|a) T|a)=S7SS|a)=STSS|a)=S7|a),=S2|a),=S|a)=a) 说明:在M表象,本征值仍为λ。 6.态与力学量 1)比较量子力学中态的线性叠加原理与 Hilbert空间中矢量的线性叠加, 基本假设:量子力学系统的态v可由 Hillbert空间中的矢量v)表示 2)回顾坐标与动量的平均值
M I α α = S 2）算符的变换 I 表象： = ˆ T i ij T j ， M 表象： = ˆ T m mn T n , * , , ˆ = ˆ = = i j i j mi ij jn i j m i i T j j n m i i T j n j S T S + ∑ ∑ ∑ 写成矩阵形式： T S M TI S + = 。 以下证明表象变换矩阵 S 的两个性质。 3）表象变换矩阵是幺正矩阵 ( ) * * im mj mi mj ij ij m m m m S S S S S S m i m j i m m j i j δ + + = = ∑ ∑ = ∑ =∑ = = S S S+ =1， 同理可证： SS + = 1， 故 1 S S + − = 表象变换矩阵为幺正矩阵。 注意S不是厄米矩阵，S + ≠ 。 4）表象变换不改变算符的本征值，这是物理要求。 设 ˆ I I I I T α λ = α ， 则 1 ˆ ˆ ˆ ˆ M M I I I I I I I I T α STS S α STS S α ST α Sλ α λ S α λ α + − = = = = = = M 说明： 在M 表象，本征值仍为λI 。 6. 态与力学量 1）比较量子力学中态的线性叠加原理与 Hilbert 空间中矢量的线性叠加， 基本假设：量子力学系统的态ψ 可由 Hilbert 空间中的矢量 ψ 表示。 2）回顾坐标与动量的平均值 2
d'r Flw( d'=d'ry'(, trw(,0) (p)=d'ry'(, )inV)y(, t) 在经典力学中,F和p是基本力学量,任意力学量O可由它们表示O(F,p)。在量子力学中,任 意力学量O的平均值可写为: (o)=drv'(,DO(,-inV)y(,) 基本假设:量子力学的力学量可用 Hilbert空间中的算符表示。 →r(=F p→p=(-ihV) O→0=O(,p 由于 (O)=∫dv(,OG,-w(F, did'ry'(,1)(-F")O( -inV y(", D) -∫ddF'lw)olF)(Fy) jd戒 FyF)(FoF)Fly) 力学量平均值的一般形式 3)由于力学量的平均值必为实数,必须有 voy)=(voy)=(c)vn=vOw=vow1=(yo) 由于|v)是任意态,上式存立的条件:O=0,故力学量算符必为厄米算符 4)力学量的测量值 在任意态v),力学量O只有确定的平均值: o=(yov) 取值分布的方差 (△O)=u|0-0)1)0
2 3 3 * r d r (, r ψ ψ r t) = d r ( , r t)r (r, ) ∞ ∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ G G G G G G G G ψ t ， 3 * p d rψ ψ ( , r t)( i ) (r,t) ∞ −∞ = − ∇ ∫ G G G G G = 在经典力学中，r 和 G p G 是基本力学量，任意力学量 O 可由它们表示O r( , p) G G 。在量子力学中，任 意力学量 O 的平均值可写为： 3 * O ˆ d rψ ψ (r t, )O(r i ) (r t, ) ∞ −∞ = − ∇ ∫ G G G G G ， = 基本假设：量子力学的力学量可用 Hilbert 空间中的算符表示。 ˆ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ( , ) r r r p p i O O O r p → = → = − ∇ → = G G G G G G = G G 由于 3 * 3 3 * * 3 3 3 3 O ˆ ( , )O( ) ( , ) ˆ = ' ( , ) ( ')O( ) ( ', ) ˆ = ' O ' ' ˆ = ' O ' ' ˆ = O d r r t r i r t d rd r r t r r r i r t d rd r r r r r d rd r r r r r ψ ψ ψ δ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ∞ −∞ = − ∇ − − ∇ ∫ ∫ ∫ ∫ G G G G G = G G G G G G G G = G G G G G G G G G G G G ， ， 力学量平均值的一般形式： O = ψ Oˆ ψ 。 3）由于力学量的平均值必为实数，必须有 ( ) * * * * + 1 1 1 1 1 1 O O ˆ ˆ Oˆ ψ ψ ψ ψ ψ i i O O j ψ j ψ i ji ψ j ψ j Oji ψ i ψ ψ + + + + + = = = = = 由于 ψ 是任意态，上式存立的条件：Oˆ +=Oˆ ，故力学量算符必为厄米算符。 4）力学量的测量值 在任意态 ψ ，力学量 O 只有确定的平均值： O = ψ Oˆ ψ 。 取值分布的方差 ( ) ( )2 2 ∆ ≡ O 0 ψ ψ O O ˆ − ≠ 。 3
如果力学量O在某一态|@)有确定值,则取值分布为6函数,确定值即为平均值,方差为零, ((-()1)-0 ((0(O)(0(o)l)=0 O(O)是厄米算符, 故方差为零的条件是 0(o))=0,0)=(O)) 故只有当体系处于力学量O的本征态时,O才有确定值,即O的本征值 在任意态{vy),每次测量O时有一个确定值。这些确定值=?既然测量后,O有确定值, 则由上面结论,测量后态为O的本征态,确定值就是相应的本征值。 基本假设:在任意态)对力学量O进行测量,则使得)妍塌到O的一个本征态|n),力 学量的测量值就是相应的本征值On。 问题:O有一系列本征态,本征值,测量时态从v)塌缩到其中一个具体的本征态,测 量之前能否知道塌缩到某一本征态的几率? 5)力学量的测量几率 本征方程O|m)=O) 由于厄米算符本征矢的完备性,可由任意力学量o的本征矢构成Hbe空间的一组基矢, 即表隶O
如果力学量 O 在某一态 φ 有确定值，则取值分布为δ 函数，确定值即为平均值，方差为零， ( )2 ˆ φ φ O O − = 0。 即 ( )( ) φ φ O- ˆ ˆ O O- O = 0， ∵O- ˆ O 是厄米算符， ( ) ( ) ( ) φ φ O- ˆ ˆ O O O + ∴ = − ， 故方差为零的条件是 ( ) O- ˆ O φ = 0， Oˆ φ φ = O ， 故只有当体系处于力学量Oˆ 的本征态时，O才有确定值，即Oˆ 的本征值。 在任意态 ψ ，每次测量 O 时有一个确定值。这些确定值＝？既然测量后，O 有确定值， 则由上面结论，测量后态为 O 的本征态，确定值就是相应的本征值。 基本假设：在任意态 ψ 对力学量 O 进行测量，则使得 ψ 坍塌到 O 的一个本征态 n ，力 学量的测量值就是相应的本征值On。 问题：O 有一系列本征态，本征值，测量时态从 ψ 塌缩到其中一个具体的本征态，测 量之前能否知道塌缩到某一本征态的几率？ 5）力学量的测量几率 本征方程 ˆO n On = n 由于厄米算符本征矢的完备性，可由任意力学量 O 的本征矢构成 Hilbert 空间的一组基矢， 即表象 O。 4
基矢|m),正交归-(m)=bm 在任意态Vy),平均值(O)=vov) 进入表象O (O)=∑wn、nom)mv)=wn)onnm)my)=Enlv)(nv)O,=2Onnv (nv)是态v)在基矢n)方向的分量,又称v)在O表象的表示。 基本假设:在任意恋)测量力学量O,测量值为O的几率为(v)
基矢 n ，正交归一 m n mn = δ 在任意态 ψ ，平均值 O = ψ Oˆ ψ ， 进入表象 O： * 2 , , O Oˆ Om n O O m n m n n n n n m m n n m m n n n = = ∑ ∑ ψ ψ ψ ψ =∑ ψ ψ = ∑ n ψ n ψ 是态 ψ 在基矢 n 方向的分量，又称 ψ 在 O 表象的表示。 基本假设：在任意态 ψ 测量力学量 O，测量值为On的几率为 2 n ψ 。 5