第五章对称性 对称性是一个体系最重要的性质。前面求解 Schrodinger方程时,我们看到,利用体系 的左右对称性就可以大大简化方程的求解。 1.守恒量 力学量的平均值不随时间变化 (F〉 则称F为守恒量 由(F)={y|Fyv) 和 Schrodinger方程h,v)=Hvy),有 [F厅 故对于不显含时间t的力学量F,若与H对易,则为守恒量 例如:a)自由粒子H= 2n, 动量p不显含时间t ∥=0,有动量守恒 b)一般情形分。立+(),[成≠0,动量不守恒; 0)中心场2m+()=D( b)+2m+(),轨道角动量算符,L均 不显含时间t 且[E,月[月]=0,有轨道角动量及其任意分量守但 d)若厅不显含时间t,[月厅]=0,有能量守恒。 问题:若H显含时间1,是否还为守恒量? 守恒量的性质: a)在任一态的平均值与时间无关(定义); b)在任一态的取值几率与时间无关 证明:[户,]=0,F,合有共同完备本征矢m), Fn=FIn), Hn)=E In) 1
第五章 对称性 对称性是一个体系最重要的性质。前面求解 Schrod inger 方程时，我们看到，利用体系 的左右对称性就可以大大简化方程的求解。 1.守恒量 力学量的平均值不随时间变化 0 d F dt = ， 则称 F 为守恒量。 由 F F = ψ ψˆ 和 Schrodinger 方程 ˆ i H t ψ ψ ∂ = ∂ = ，有 ˆ 1 ˆ ˆ , d F F F H dt t i ∂ = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ = ， 故对于不显含时间t 的力学量 Fˆ ，若与 Hˆ 对易，则为守恒量。 例如：a）自由粒子 2 ˆ ˆ 2 p H m = ，动量 pˆ 不显含时间t ，且⎡ ⎣ p Hˆ, ˆ ⎤ ⎦ = 0，有动量守恒； b）一般情形 ( ) 2 ˆ ˆ 2 p H V x m = + ˆ ⎡ p Hˆ, ⎤ ≠ 0 ，⎣ ⎦ ，动量不守恒； c）中心场 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 2 p L H V r r V m mr r r mr ∂ ∂ ⎛ ⎞ = + = − ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ⎝ ⎠ r K K = ，轨道角动量算符 ˆ2 L K ， 均 不显含时间 ，且 ，有轨道角动量及其任意分量守恒； ˆ Li t ˆ2 ˆ ˆ ˆ , , ⎡ ⎤ L H = ⎡Li H ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ K = 0 d）若 Hˆ 不显含时间t ，⎡ ⎣ H H ˆ ˆ , ⎤ ⎦ = 0，有能量守恒。 问题：若 Hˆ 显含时间t ，是否还为守恒量？ 守恒量的性质： a）在任一态的平均值与时间无关（定义）； b）在任一态的取值几率与时间无关 证明：⎡ ⎣ F Hˆ ˆ , ⎤ ⎦ = 0， Fˆ ， Hˆ 有共同完备本征矢 n ， ˆ F n Fn = n ， ˆH n En = n 1
对于任一态(1)=∑C()),F取值为F的几率为cno,Cn()=(nvu() 因为4cA0="b(o)=(w)=p=气 C,(O 故C(1)=Cn(0)e C、O)2=(C(0)与时间无关。 推论:a)若体系初始时处于守恒量的本征态,则恒处于该本征态; b)若体系初始时不处于守恒量的本征态,则恒不处于该守恒量的本征态; c)量子力学中习惯用描述力学量本征值的量子数来标志状态,例如中心场中的状态 nlm)用能量,角动量,角动量分量的量子数描述。但非守恒量的量子数不适合描述状态, 因为即使初始状态是这些力学量的本征态,可用这些量子数来描述,但演化以后的状态不再 是这些力学量的本征态,不能再用这些量子数来描述。只有守恒量的量子数才是描述状态的 好量子数:当体系初始时处于守恒量的本征态,则恒处于该本征态。 注意:守恒量在任一态中的平均值及取值几率不随时间变化,而任意力学量在定态中的平均 值及取值几率不随时间变化。 2对称性与守恒量 对于变换S S 由非相对论量子力学的几率守恒要求 (yly)=yly) yS*Sy)=vlv 故 变换必为么正变换。 体系的性质由H决定, H 由左作用不含时间t的变换S ih= v)=SH v)=SHS-S v
对于任一态 ( ) ( ) n n ψ t = ∑C t n ， Fˆ 取值为 Fn 的几率为 2 ( ) C t n ， ( ) ( ) C t n = n ψ t 。 因为 1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n d E E C t n t n H t n t C t dt t i i i ψ ψ ψ ∂ = = = = ∂ = = = ， 故 ( ) (0) n i E t C t n n C e − = = ， 2 ( ) (0) C t n = Cn 2 与时间无关。 推论：a）若体系初始时处于守恒量的本征态，则恒处于该本征态； b）若体系初始时不处于守恒量的本征态，则恒不处于该守恒量的本征态； c）量子力学中习惯用描述力学量本征值的量子数来标志状态，例如中心场中的状态 nlm 用能量，角动量，角动量分量的量子数描述。但非守恒量的量子数不适合描述状态， 因为即使初始状态是这些力学量的本征态，可用这些量子数来描述，但演化以后的状态不再 是这些力学量的本征态，不能再用这些量子数来描述。只有守恒量的量子数才是描述状态的 好量子数：当体系初始时处于守恒量的本征态，则恒处于该本征态。 注意：守恒量在任一态中的平均值及取值几率不随时间变化，而任意力学量在定态中的平均 值及取值几率不随时间变化。 2.对称性与守恒量 对于变换 S ˆ ： ˆ ψ ψ → = ′ S ψ 由非相对论量子力学的几率守恒要求 ψ ψ′ ′ = ψ ψ ， 即 ˆ ˆ ψ ψ S S ψ ψ + = ， 故 S ˆ + = S ˆ −1 ， 变换必为么正变换。 体系的性质由 Hˆ 决定， ˆ i H t ψ ψ ∂ = ∂ = ， 由左作用不含时间t 的变换 S ˆ ： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ i S SH SHS S t ψ ψ ψ ∂ − = = ∂ = ， 2
i H 其中H=SH 若H在变换前后保持不变 = SS-=,「s,=0 则|v)与v)满足相同的运动方程,称体系在变换S下具有不变性,或对称性。 对称性[S厅]=0意味着:若S=S,力学量§为守恒量:若S≠S,但S由某一力学 量户=户生成,S(F),则[S=0意味着[户,厅=0,F为守恒量 对称性→守恒量 1)空间平移不变性与动量守恒 F→7=F+bF,v(P)→v(F)=Sv(F) y(x),w'(x) y(x),y(r) O delta x y(F)=y()=Sy(P)=Sy(+Sr) Sv(F)=v(F-67)=v()-0Vv()+(8V)v()+…=e”W(厅), 2 空间平移算符 由动量生成。 若体系具有空间平移不变性,[S月]=0,则[,月]=0,动量守恒 2)时间平移不变性与能量守恒
即 ˆ i H t ψ ψ ∂ ′ = ′ ∂ = ′ ， 其中 H S ˆ ′ = ˆ ˆ HˆS −1 。 若 Hˆ 在变换前后保持不变 Hˆ Hˆ ′ = ， 即 SHˆ ˆ ˆ ˆ S −1 = H ， ⎡ ⎣ S Hˆ, 0 ˆ ⎤ ⎦ = ， 则 ψ′ 与 ψ 满足相同的运动方程，称体系在变换 S ˆ 下具有不变性，或对称性。 对称性 意味着：若 ，力学量 为守恒量；若 ，但 由某一力学 量 生成， ，则 意味着 ， 为守恒量。 ˆ ˆ ⎡S H, ⎤ = ⎣ ⎦ 0 0 ⎡F H ⎤ = ⎣ ⎦ F r K r ˆ ˆ S S + = ˆ S ˆ ˆ S S + ≠ ˆ S Fˆ Fˆ + = ˆ ˆ S F( ) ˆ ˆ ⎡S H, ⎤ = ⎣ ⎦ ˆ ˆ , 0 对称性→守恒量 1）空间平移不变性与动量守恒 r r → =′ r +δ K K K ， ( ) ( ) ( ) ˆ ψ ψ r r → = ′ Sψ K K K ψ ψ (x), '(x x ) ψ ( )' ,ψ '(x ') ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ψ ψ r = = ′ ′r S r ψ ′ = S r ψ +δ r K KKK ∵ K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ˆ 2 ∴ = S r ψ ψ r −δ r =ψ r −δ r •∇ψ r + δ r •∇ ψ r + K K K K K K K K K K " ( ) ˆ i r p e r δ ψ − • = K K = K ， 空间平移算符 ˆ ˆ i r p S e− • δ = K K = 由动量生成。 若体系具有空间平移不变性，⎡ ⎣ S Hˆ, 0 ˆ ⎤ ⎦ = ，则⎡ ⎣ p Hˆ, ˆ ⎤ ⎦ = 0，动量守恒。 2）时间平移不变性与能量守恒 3
1→t=t+ot,w(t)→v()=Su(t) y(=y((=Sy((=Sy((+St) Sy(t=v(t-St=e ay(=eh y(r 时间平移算符 由H生成。 若体系具有时间平移不变性,[S厅]=0,则[厅=0,能量守恒。 3)空间旋转不变性与角动量守恒(略) 4)空间反演不变性与宇称守恒 ,v(F)→v(F)=v(F) y(F)=v(7)=l()=l(-F) y 对于任一态v)和|,有 v(1l)=drv()()=Jav()9(-)=Jdv(-)9(F)=d7(wy()9()=(w1) 所以Ⅰ为厄米算符,表示一力学量,称为宇称。 由vy(F)=v(-f),2v()=v(-F)=v(F), 2的本征值为1,宇称/的本征值为 本征态为vy() v(F) 本征方程为v,(F)=v,(F)和 Iv(F)=-vn(F)。 若体系具有空间反演不变性,[7厅]=0,则 a)宇称守恒; b)宇称与H有共同本征态。 例如 a)若V(-)=V(),即=,故宇称守恒,宇称与有共同本征态。对于一维束缚 态问题,无简并,故H的所有本征态就是/的本征态
t t → =′ t +δt ， ( ) ( ) (t) ˆ ψ ψ t t → = ′ Sψ ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ∵ψ ψ t = = ′ ′t S t ψ ′ = S t ψ +δt ， ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ i t tH t S t t t e r e r δ δ ψ ψ δ ψ ψ ∂ − ∴ = ∂ − = = = K K 时间平移算符 ˆ ˆ i tH S e δ = = ， 由 Hˆ 生成。 若体系具有时间平移不变性，⎡ ⎣ S Hˆ, 0 ˆ ⎤ ⎦ = ，则⎡ ⎣ H H ˆ ˆ , ⎤ ⎦ = 0，能量守恒。 r K r 3）空间旋转不变性与角动量守恒（略） 4）空间反演不变性与宇称守恒 r r → =′ − K K ， ( ) ( ) ( ) ˆ ψ ψ r r → = ′ Iψ K K K r K ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ψ ψ r r = = ′ ′ Iψ r′ = Iψ − K K K ∵ ， ( ) ( ) ˆ ∴ = Iψ ψ r r − K K 。 对于任一态 ψ 和 ϕ ，有 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 3 * 3 * 3 * 3 ˆ ˆ ˆ I d r r I r d r r r d r r r d r I r r I ψ ϕ = = ψ ϕ ψ ϕ − = ψ − ϕ = ψ ϕ = ψ ˆ ϕ ∫ ∫∫∫ K K K K K K K K K K K K ， 所以 ˆ I 为厄米算符，表示一力学量，称为宇称。 由 ( ) ( ) ˆ Iψ ψ r r = − K K ， ( ) ( ) ( ) 2 ˆ ˆ I ψ ψ r I = −r =ψ r K K K ， 2 ˆ I 的本征值为 1，宇称 ˆ I 的本征值为 1 和 -1， 本征态为 ψ s (r) K 和 ψ a (r) K ， 本征方程为 ( ) ( ) ˆ s s Iψ r =ψ r K K 和 ( ) ( ) ˆ a a Iψ r r = −ψ K K 。 若体系具有空间反演不变性， ⎡ ⎣ I Hˆ ˆ , ⎤ ⎦ = 0，则 a）宇称守恒； b）宇称 ˆ I 与 Hˆ 有共同本征态。 例如： a）若V r ( ) − =V (r) ，即 K K 1 ˆ ˆ ˆ ˆ IHI H − = ，故宇称守恒，宇称与 Hˆ 有共同本征态。对于一维束缚 态问题，无简并，故 Hˆ 的所有本征态就是 ˆ I 的本征态。 4
b)b,b=,计=材×标一2,[ =0,,2|=0 故与D2,L有共同本征态。 Ym(e,)=N pla (cos 0)limp d)4 (cos 0)=ar(1 cOS d cos e(cos e-) 在Ⅰ变换F→-F下, r→r,日→丌-6,q→丌+q,cos6→-cos6, P(co)→(-)p(cos),em→(-1)"e甲=(-)e, 故 in(.g)=(-1)yn(0,g)=(-1)ln(,q), 1与E,L2的共同本征态就是球谐函数n(日,g),的本征值为=(-1)。 问题:为什么在经典力学中无宇称这一力学量? 回答:在经典力学中无突变,不能从产突变到一F
b） ˆ L ˆ = ×r p K K K ， p i ˆ = − ∇ K K = ， ˆ 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ILI IrI IpI r p L − − − = × = × = K K K K K K ˆ ˆ I L, 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， K ，⎡I L ˆ, 0 ˆ2 ⎤ = ， ⎢⎣ ⎦⎥ K 故 ˆ I 与 ˆ2 L K ， Lˆ z 有共同本征态。 ( ) , c( os ) m im Y N lm lm Pl e ϕ ∵ θ ϕ = θ ， ( ) ( ) ( ) | | | |/ 2 1 2 2 cos 1 cos cos 1 2 ! cos l m m l m l l d P l d θ θ θ + ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ θ 在 ˆ I 变换r → − 下， K r K r r → ，θ π → −θ ，ϕ → + π ϕ ，cosθ θ → −cos ， ( ) cos ( 1) ( ) cos m m l m P P l l θ θ + ∴ → − ， ( ) ( )| | 1 1 im m m im im e e e ϕ ϕ → − ϕ = − ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2| | ˆ , 1 , 1 , l m l lm lm lm IY θ ϕ Y θ ϕ Y θ ϕ + = − = − ， ˆ I 与 ˆ2 L K ， Lˆ z 的共同本征态就是球谐函数 ( ) , Ylm θ ϕ ， ˆ I 的本征值为 I = −( 1) l 。 问题：为什么在经典力学中无宇称这一力学量？ 回答：在经典力学中无突变，不能从r K 突变到−r K 。 5