4两个角动量耦合 自旋角动量与轨道运动产生的磁场之间的相互作用: 要求解定态方程,必须求解两个角动量的耦合LS的本征方程 对于任意两个独立角动量元, 3]0 J×J1=流J1,J2×/2 令 容易证明 故J仍是一个角动量算符,称为总角动量。 则 求JJ2的本征值问题,归结为求解总角动量J的本征值问题。 的本征值:J2=(j+1)h2 问题:j,2给定时,怎样由j,m1,2,m2的值得到j 1)两个表象 方与相互独立(对易),故,,,2有共同本征失mm2)=mx》m),构 成无耦合表象,总的矢量空间是两个独立子空间的直积。 列引m2m)=(A+1)h21mm),:mm2)=mmm J2Jjim,j2 m =j2(2+1)h jam2), J:Ji,m j2m2 =m,h), m,j2 m2
4.两个角动量耦合 自旋角动量与轨道运动产生的磁场之间的相互作用： ˆ ˆ V L S G G ∼ i ， 要求解定态方程，必须求解两个角动量的耦合 ˆ ˆ L S G G i 的本征方程。 对于任意两个独立角动量 1 ： ˆ ˆ J , J G G 2 2 2 2 ˆ 1 2 1 1 1 2 2 ˆ ˆ , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , J J J J i J J J i J ⎧ ⎡ ⎤ = ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎨ ⎪ ⎩ × = × = G G G G G G G G = = 令 1 ˆ ˆ ˆ J J = + J G G G ， 容易证明： ˆ ˆ ˆ ,i j ijk k ⎡ ⎤ J J = i ε J ⎣ ⎦ = ， ， ˆ ˆ ˆ J J × = i J G G G = 故 仍是一个角动量算符，称为总角动量。 ˆ J G 222 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ J J = + J + 2J J G G G G G i ， 则 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 J J J = − J + J G G G G G i ， 求 1 2的本征值问题，归结为求解总角动量 ˆ ˆ J J G G i ˆ 2 J G 的本征值问题。 ˆ 2 J G 的本征值： J j 2 = + ( ) j 1 , = = 2 Jz = m 。 问题： j 1, j2给定时，怎样由 j m 1 1 , , j2 , m2的值得到 。 ˆ z j, m 1）两个表象 1 ˆ J G 与 2 相互独立（对易），故 有共同本征矢 ˆ J G 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ , , , z J J J J G G 1 1 2 2 1 1 2 2 j m j m = j m j m ，构 成无耦合表象，总的矢量空间是两个独立子空间的直积。 ( ) 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ˆ J j m j m = + j j 1 j m j m G = ， 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ˆ z J j m j m = m = j m j m ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ˆ J j m j m = + j j 1 j m j m G = ， 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ˆ z J j m j m = m = j m j m 1 1 1 2 2 m j = − , , " " j , m = − j , , 2j 1
由于在无耦合表象,「j,≠0.「,21≠0,故户不是对角阵,不利于求解户本征值 由于 [[[2匀[ J,J22有共同本征矢|m),构成耦合表象 Mm)=(1+1)22m),J22m)=2(2+1)h2|2m) m)=j(+1)h22m),J:|1m)=mhm) 在耦合表象,j2,J是对角阵,本征值就是对角元。由于已知的是元2元=,2,2的本 征值和本征矢,为了用它们来表示总角动量J2,J的本征值,必须联系两个表象,即进行 表象变换 由无耦合表象的完备性条件 ∑|mm2)mm1=1, 有表象变换: im)=∑|mm2)(mm22m) 有耦合表象基矢两,m2 m1J2m2 J1J2Ji m,m表象变化矩阵元, Clebsch- Gordon系数无耦合表象基矢 2)糈合表象的本征值(j,m) 将上式用J作用, |im)=∑(mmm)(:+2=)mm), mh∑{mm1|1m)1mm2)-∑(m+m)h(mm12m)mm)=0 在无耦合表象中,基矢|jmn1m2)是相互独立的,故上式存立的条件是每个基矢前的系数都 必须等于零。即要么CG系数=0,要么认为m是m,m2的函数, 我们要求的就是不等于零的CG系数,因此取m=m+m2
由于在无耦合表象，⎢ ⎥ 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , 0, , z J J J J ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ≠ 0 z ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ≠ G G ˆ 2 ，故 J G 不是对角阵，不利于求解 2 本征值。 ˆ J G 由于 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,,, , , z z z J J J J J J J J J J J J ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = = = = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ G G G G G G G G G = 0， 2 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , z J J J J G G G 有共同本征矢 1 2 j j jm ，构成耦合表象： ( ) 2 2 1 1 2 1 1 1 2 ˆ J j j jm = + j j 1 j j jm G = ， ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ˆ J j j jm = + j j 1 j j jm G = ( ) 2 2 1 2 1 2 ˆ J j j jm = + j j 1 j j jm G = ， 1 2 1 2 ˆ z J j j jm = m= j j jm 在耦合表象， 是对角阵，本征值就是对角元。由于已知的是 的本 征值和本征矢，为了用它们来表示总角动量 ˆ 2 ˆ , z J J G 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ , , , z z J J J J G G ˆ ˆ 2 ˆ , z J J G 的本征值，必须联系两个表象，即进行 表象变换。 由无耦合表象的完备性条件 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1 m m ∑ j m j m j m j m = ， 有表象变换： 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 , 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 , Clebsch Gordon m m m m j j jm j m j m j m j m j j jm j m j m j j jm j m j m − = = ∑ ∑ 有耦合表象基矢 表象变化矩阵元， 系数 无耦合表象基矢 2）耦合表象的本征值( ) j,m 将上式用 J ˆ z 作用， ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , ˆ ˆ z z m m ˆ z J j j jm = + ∑ j m j m j j jm J J j m j m ， ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 , , 0 m m m m m= = ∑ ∑ j m j m j j jm j m j m − + m m j m j m j j jm j m j m = 在无耦合表象中，基矢 1 1 2 2 j m j m 是相互独立的，故上式存立的条件是每个基矢前的系数都 必须等于零。即要么 CG 系数=0，要么认为m 是m1,m2 的函数， 2 m m= +1 2 m ， 我们要求的就是不等于零的 CG 系数，因此取m m= +1 m 。一一一 2
再考虑j的取值。设 ≤j≤ max,+ 由无耦合表象维数 D=(2+1)(22+1), 与耦合表象维数 由于两表象维数必须相等, (2+1)(22+1)=(+1)2-2=+2(+z)+1, m=(-2),Jm= 故当元,给定时,总角动量2,的取值: J=j(+1)h,j=一 =m m, +m2 在耦合表象中, 的取值为 m=(一元到m=2(41)-1(+)-(4+Mm 3)糈合表象的本征态m) 关键是如何求CG系数。不做一般讨论,有专门表可查。以L·S耦合为例来说明求法。 十 糯合表象基矢1m),无合表象基矢mn}m) 在自旋子空间中耦合表象的基失和力学量 yu 10 OL 方 L+=+hl J-=L+S+2L.s hL +-h--hl
再考虑 j 的取值。设 min max j j ≤ ≤ j ， max max ( ) 1 max ( 2 )max 1 2 j = = m m + m = j + j ) +1 +1 。 由无耦合表象维数 ( ) 1 ( 2 D j = + 2 1 2 j +1 ， 与耦合表象维数 ( ) max min 2 2 max min max 2 1 2 j j j D j j j j = = + ∑ = − + ， 由于两表象维数必须相等， ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 min 1 2 2 1 j j + + 2 1 = j + j − j + 2 j + j ， ( )2 2 min 1 2 j j = − j ， min 1 2 j = − j j 。 故当 j 1, j2给定时，总角动量 2 的取值： ˆ ˆ , z J J G ( ) 2 2 1 2 1 J j = +j 1 = " , j = j − j , , j + 2j J m z = = =, m m1 2 + m 在耦合表象中， 1 2的取值为： ˆ ˆ J J G G i ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 J J j j jm = − J J − J j j jm G G G G G i ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 = + j j − j j + − j j + j j jm = 。 3）耦合表象的本征态 1 2 j j jm 关键是如何求CG 系数。不做一般讨论，有专门表可查。以 ˆ ˆ L S G G i 耦合为例来说明求法。 ˆ ˆ ˆ J L = + S G G G 耦合表象基矢 1 2 j l jm ， 无耦合表象基矢 1 2 l S lm m 。 在自旋子空间中耦合表象的基失和力学量： 1/ 2 1/ 2 1 2 j l jm ψ ψ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠⎟， ， 2 2 1 0 ˆ 0 1 L L ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G ˆ 0 2 ˆ 0 2 z z z z z L J L S L ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = = ， 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 3 ˆ ˆ 4 2 ˆ 3 ˆ ˆ 4 z z L L L J L S L S L L − + ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ = + + = + − ⎝ ⎠ G = = = G G G G G i G = = =L 。 3
L为轨道角动量上升、下降算符, 由 有 v12)=l(1+)2|vn2) Elu2)=1(1+1)h2|-m2) 由 LV2)=( 川v2)=mn) 有 w)=(2+8)1)(吗+)=0+w 比较D与L的方程,知W12)与vm2)均是D和L的本征态, v mI 这就是两个表象之间的变换,但a,b=? 又由 jm)=f(+1)h21m 代人子的矩阵形式和1m,)的矩阵形式,有 方2+h2(+)2m)+bm+1)=0 有 m(M+时m+少 (+m+1b8m m)(—m+1+(+1)+2-(m+1)|-(+1)b}m+ 1(+1)+27+m-f(+1)a+y-m)(+m+1b=0 b 1+m)({-m+1)+1(+1)+2-(m+1)|-(+1)
Lˆ ± 为轨道角动量上升、下降算符。 由 ( ) ˆ2 2 1 1 1 2 2 L j j l jm = + l l l jm G = ， 有 ( ) ( ) 2 2 1/ 2 1/ 2 2 2 1/ 2 1/ 2 ˆ 1 ˆ 1 L l l L l l ψ ψ ψ ψ − − ⎧ ⎪ = + ⎨ ⎪ = + ⎩ G = G = ， 由 1 1 ˆ 2 2 z j j J l jm = m = l jmj ， z J L ˆ ˆ z z = + S ˆ ， 有 ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ( 1) 2 z z z j l z z z j l L J S m m L J S m m ψ ψ ψ ψ ψ ψ − − ψ − ⎧ ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ − ≡ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ + = + ⎪⎩ ⎝ ⎠ = = = = ψ − 比较 ˆ2 L G 与 Lˆ z 的方程，知 ψ1/ 2 与 ψ −1/ 2 均是 ˆ2 L G 和 Lˆ z 的本征态， 1/ 2 1/ 2 1 , 2 , 1 l j l a l m l jm b l m ψ ψ − ⎛ ⎞ ⎛ = = ⎜ ⎟ ⎜ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ， 这就是两个表象之间的变换，但a b, ? = 又由 ( ) 2 2 1 1 1 2 2 j j J l jm = + j j l jm G = ， 代人 2 的矩阵形式和 ˆ J G 1 2 j l jm 的矩阵形式，有 有 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ˆ 3 ˆ ˆ 1 , , 1 4 ˆ 3 ˆ ˆ , 1 4 z l l z a L L j j l m b L l m a L l m b L L j j l m − + ⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ + + − + + + = ⎢ ⎥ ⎪ ⎣⎝ ⎠ ⎦ ⎨ ⎪ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ − − + + ⎪ ⎢ ⎥ ⎩ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ G = = = = G = = = = 0 , 1 0 l l = 即 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 , 4 3 1 1 1 1 , 1 4 l l l l l l l l l m j j a l m l m b l m l m l m a l l m j j b l m ⎧ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ⎨ ⎜ ⎟ + + + − + + − + + ⎬ = ⎢ ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎭ ⎨ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎨ ⎬ + − + + ⎜ ⎟ + + − + − + + = ⎪ ⎢ ⎥ ⎩⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 0 0 l 即 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 0 4 , 3 1 1 1 1 0 4 l l l l l l l l m j j a l m l m b a b l m l m a l l m j j b ⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ + + + − + + − + + = ⎢ ⎥ ⎪ ⎣⎝ ⎠ ⎦ ⎨ → ⎪ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + − + + ⎜ ⎟ + + − + − + = ⎪ ⎢ ⎥ ⎩ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 4
可能取值:=_1,1 1+共两个值。 当j=1+时, 卩+m2+1 ,|Vm)=b1-m my my 1,m+1 归一化后 m+11,m +m,+L\, mi\o 0 2m)1+1(-m1m+1)V21+1 m 有耦合表象 ++m)212)+元题比m+D12-12) 土+m1212,二m已m+192-12 无耦合表象 无耦合表象 同理,当j=1-时, 2V2/+1 1,m,1/21/2 2l+1 1,m+1/2,-1/2)
j 可能取值： 1 1 , 2 2 j l = − l + 共两个值。 当 1 2 j l = + 时， 1 l l a l m b l m + + = − ， 1 1 , 2 , 1 l l j l l l m l m l jm b l m l m ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ， 归一化后： 1 1 1 , 1 1 0 , , 2 2 2 1 , 1 1 0 1 l l l l j l l l l l m l m l m l m l jm l m l m l l l l m l m ⎛ ⎞ + + + + ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + − + + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 有耦合表象 1 2 1 + 1 , 1/ 2,1/ 2 , 1 1/ 2, 1/ 2 2 1 2 1 l l l l l m l m l m l m l l + + − = + + − + + 1 , ,1/ 2,1/ 2 , 1,1/ 2, 1/ 2 2 1 2 1 l l l l CG CG l m l m l m l m l l + + − = + + + + 无耦合表象 无耦合表象 − 。 同理，当 1 2 j l = − 时， 1 1 , ,1/ 2,1/ 2 , 1,1/ 2, 1/ 2 2 2 1 2 1 l l j l l l m l m l jm l m l m l l − − + = − + + − + + 。 5