64变分法 非微扰近似方法。 n)=EIn 对于任意态 )=∑cn|n), 能量平均值 (E)={lv)=∑cc、m)=∑ccE,Bm=∑kEn≥E0(基态能量)。 n,m 变分方法思想: 取不同的态v),计算(E)=mv),其中最小的(E)最接近Eo,可近似看成基态能E 方法 由物理性质猜测含参量的尝试波函数(x),不同的几对应不同的(x),计算 (E)(4)={(4)Bw(x), 由 0 >0 d d2 得到对于最小值(E)(4)的4,则基态能 E=(E)(4)。 例:氦原子基态 B=-h2 22 2 (已近似认为原子核固定不动) 对于,基态v(,,S1,S2)=v,(元,)x(S1,S2), (,)=0(vm(),W10(F) e,z=2。 1
6.4 变分法 非微扰近似方法。 ˆH n En = n ， 对于任意态 n n ψ = ∑c n ， 能量平均值 2 * * 0 , , ˆ ˆ m n m n n mn n n n m n m n E H = = ψ ψ ∑c c m H n = ∑ ∑ c c E δ = c E ≥ E （基态能量）。 变分方法思想： 取不同的态 ψ ，计算 E = ψ Hˆ ψ ，其中最小的 E 最接近 E0 ，可近似看成基态能 E0 。 方法： 由物理性质猜测含参量λ 的尝试波函数 ψ (λ ) ，不同的λ 对应不同的 ψ (λ ) ，计算 ( ) ( ) ( ) E H λ = ψ λ ˆ ψ λ ， 由 ( ) 0 d E d λ λ = ， ( ) 2 2 0 d E d λ λ > 得到对于最小值 E (λ0 ) 的λ0 ，则基态能 E E 0 0 (λ )。 例：氦原子基态 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ˆ ˆ 2 2 e e e e H H µ µ r r r r r r = − ∇ − ∇ − − + = + − − = = K K 2 2 K K K K （已近似认为原子核固定不动） 对于 ( ) 0 Hˆ ，基态 ( ) 1 2 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 , , , , , z z z z ψ ψ r r S S = + − r r χ S S ) K K K K ， ( ) 1 2 100 ( 1 ) 100 ( 2 ψ ψ + r r, = r ψ r ) K K K K ， ( ) 0 3/ 2 100 0 1 Z r Z a r e a ψ π − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ K ，Z = 2 。 1
注意:由m()和vm()不能组成反对称空间态,而由其他vm()组成的反对称空间 态的能量比上边基态的能量高。 对于H,考虑两电子间相互作用后,两电子的屏蔽使得有效电荷Z≠2。取Z为参数, v(,2,2)x(S:,S2)为H的尝试波函数, (E)(2)=v(,,2),,2), 由于H与自旋无关,上面积分中已考虑自旋波函数的正交归 (E)(z)=|-2z2+z 由 a(B(2)=0,4(B)(2)0 基态能E0=(E(Z0)=-285, 而实验值为-2904°。 与E6对应的基态波函数为v+(1,20)。 也可用微扰论的方法来求解基态能量修正: 基态不简并,用非简并微扰论,得 Eg=d'rid'Ev,( 2) 5e (行,) 4 Eo 可见,变分的结果更好。 65强耦合 Shrodinger方程 1999年,李政道等提出了一种求解强耦合 Shrodinger方程的方法,以下用汤川势为例
注意：由ψ100 (r 1 ) K 和ψ100 (r2 ) K 不能组成反对称空间态，而由其他ψ nlm (r) K 组成的反对称空间 态的能量比上边基态的能量高。 对于 Hˆ ，考虑两电子间相互作用后，两电子的屏蔽使得有效电荷 Z ≠ 2。取Z 为参数， ψ χ + ( ) r r 1 2 , ,Z − (S1z , S2z ) K K 为 Hˆ 的尝试波函数， ( ) ( ) ( ) * 3 1 2 1 2 1 2 ˆ , , , , 3 E Z ψ ψ r r Z H r r Z d r d r = ∫ + + K K K K K K ， 由于 Hˆ 与自旋无关，上面积分中已考虑自旋波函数的正交归一。 ( ) 2 2 27 2 4 2 e E Z Z Z a ⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ， 由 ( ) 0 d E Z dZ = ， ( ) 2 2 0 d E Z dZ > 得 0 27 16 Z = ， 基态能 ( ) 2 0 0 0 2.85 e E E Z a = − ， 而实验值为 2 0 2.904 e a − 。 与 E0 对应的基态波函数为 ( ) 1 2 0 ψ + r r, ,Z K K 。 也可用微扰论的方法来求解基态能量修正： ( ) 2 1 1 2 ˆ e H r r = −K K ， 基态不简并，用非简并微扰论，得 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 3 * 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 5 , , 4 e e E d r d r r r r r r r a = = ψ ψ + + − ∫ K K K K K K K K ， 2 2 0 0 0 5 4 2.75 4 e e e E a a a − + = − 2 0 。 可见，变分的结果更好。 6.5 强耦合Shrodin ger 方程 1999 年，李政道等提出了一种求解强耦合Shrodin ger 方程的方法，以下用汤川势为例 2
来简单介绍。 汤川势 (r) 对于强耦合g 能量本征方程 2 令h=1,以简化计算过程。 基态波函数与角度无关,令 将本征值E和本征态的指数函数S(r)用1/g2来展开: E=8E0+g2E1+E2 S=g So+s,+8 S,+ 代入定态 Shrodinger方程,并比较g的相同幂次,得到 (ⅴS) VS.VS=-V2S VS.VS2=-5VS, )+3VS,-mE2 零级方程的解 S0(r)=√-2mE0 开方只取正号是考虑了无穷远处波函数v(r)为零的约東条件。 将S(r)代入一级方程 2m TEO -mE, 要求在r=0处非奇异,有
来简单介绍。 汤川势 ( ) 2 r e V r g r −α = − ， 对于强耦合 g >1。 能量本征方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 V r ψ r Eψ r µ ⎛ ⎞ ⎜− ∇ + ⎟ = ⎝ ⎠ = K K K ， 令= = 1，以简化计算过程。 基态波函数与角度无关，令 ( ) S r( ) ψ r e− = 。 将本征值 E 和本征态的指数函数S r( ) 用1/ g 2 来展开： 4 2 E g E0 1 2 = + g E + E +"， 2 2 0 1 2 S g S S g S − = + + +" 代入定态Shrodin ger 方程，并比较 g 的相同幂次，得到 ( )2 0 0 ∇ = S m −2 K E 2 0 1 0 1 1 2 r e S S S m E r −α ⎛ ⎞ ∇ •∇ = ∇ − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ K K K ( )2 2 0 2 1 1 1 1 2 2 ∇ • S S ∇ = − ∇S + ∇ S − mE K K K K 2 …… 零级方程的解 S r 0 0 ( ) = −2mE r ， 开方只取正号是考虑了无穷远处波函数ψ (r)为零的约束条件。 将S0 (r) 代入一级方程 ( ) 1 0 0 1 2 2 dS r mE mE me mE dr r −α − = − − − 1， 要求 1 dS dr 在r = 0处非奇异，有 3
lim-v-2mEo-me-ar 有限, 故 So(r) =nI S=0(- 代入二级方程,要求在r=0处非奇异,有 Er 如此逐级求解,基态能 E g tag Ba a 若取α=0,汤川势退化为库仑势,此时 E y(r) 与氢原子问题的严格解完全相同。 第七章散射 上面讨论的微扰方法主要适用于東缚态,即分离谱的情形。如何求解连续谱的问题? 连续谱对应的物理问题就是散射 1.一般描述 求在g方向单位立体角内发现一个粒子的几率G(O,)。 d(6,g)与相互作用、靶的性质相关,用来了解靶粒子的内部结构和发现新粒子 散射分为弹性散射和非弹性散射 弹性散射:散射前后粒子的性质不改变,不激发,不产生新粒子,只改变粒子运动的方向。 非弹性散射:散射后粒子被激发,后者产生新粒子 我们只考虑弹性散射
0 0 2 lim r r mE me r −α → − − 有限， 故 ( ) ( ) 0 0 1 1 0 / 2, , 1 1 r r E m S r mr S dr e E r −α ′ = − = ⎛ ⎞ = − ′⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ′ ∫ − 。 代入二级方程，要求 2 dS dr 在r = 0处非奇异，有 E1 =α 。 如此逐级求解，基态能 2 2 4 2 2 2 3 2 4 2 m E g g g m m α α α − = − + − + +"。 若取α = 0 ，汤川势退化为库仑势，此时 ( ) ( ) 2 2 0 4 2 g S r mg r m E g ψ r e e − − ⎧ = − ⎪ ⎨ ⎪ = = ⎩ ， 与氢原子问题的严格解完全相同。 第七章 散射 上面讨论的微扰方法主要适用于束缚态，即分离谱的情形。如何求解连续谱的问题？ 连续谱对应的物理问题就是散射。 1. 一般描述 求在Ω 方向单位立体角内发现一个粒子的几率σ θ( ) ,ϕ 。 σ θ( ,ϕ ) 与相互作用、靶的性质相关，用来了解靶粒子的内部结构和发现新粒子。 散射分为弹性散射和非弹性散射： 弹性散射：散射前后粒子的性质不改变，不激发，不产生新粒子，只改变粒子运动的方向。 非弹性散射：散射后粒子被激发，后者产生新粒子。 我们只考虑弹性散射。 4
散射球面波 "θ散射角 入射平面波 耙 设入射平面波为 7(F)=Ae 入射粒子几率流密度(单位时间内穿过单位面积的几率)为 i(0v-v、02 ayi_hk A4, 入射粒子在单位时间内散射到d9方向的几率为 dN =j. o(8, )dQ2 分析G的量纲 ]=L,面积量纲,故称a(,g)为微分散射截面。 2计算()的一般方法 当r→∞,V(F)→0,w(P)包含两部分:没受相互作用影响沿z方向传播的入射波 v(F)=Ae.和沿F方向传播的散射球面波v2(F)=4(,q) 注意:1)球面波与日,q有关,可调节∫(6,q)使得v2与v有相同常数A,f(6,q)的 具体形式有相互作用决定
设入射平面波为 1 ( ) ikz ψ r = Ae K ， 入射粒子几率流密度（单位时间内穿过单位面积的几率）为 * 2 1 1 * 1 1 2 z i k J A z z ψ ψ ψ ψ µ µ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∂ ∂ = = ， 入射粒子在单位时间内散射到dΩ方向的几率为 ( ) , z dN = Ω J σ θ ϕ d 。 分析σ 的量纲： [ ] 1 dN T ∵ = ， [ ] 2 1 z J L T = ， [dΩ =] 1， [ ] 2 ∴ σ = L ，面积量纲，故称σ θ( ,ϕ ) 为微分散射截面。 2.计算σ θ( ,ϕ )的一般方法 当 r → ∞ ，V r( ) → 0， K ψ (r) K 包含两部分：没受相互作用影响沿 z 方向传播的入射波 1 ( ) ikz ψ r = Ae K 和沿r 方向传播的散射球面波 K 2 ( ) ( , ) ikr e r Af r ψ = θ ϕ K 。 注意：1）球面波与θ ，ϕ 有关，可调节 f (θ,ϕ )使得ψ 2与ψ 1有相同常数 A ， f ( ) θ,ϕ 的 具体形式有相互作用决定。 5
2)弹性散射,能量不变,k大小不变,但方向变化。 故r→∞时渐进解为 v(F)r→∞v(F)+v2(F)=Ae.+4f(0,q) 散射粒子几率流密度 J=n w, w-w dw2)=hk w v (e. p-1/(8. p)P 单位时间内散射到d9内的几率为 dN=J, dS=J,/dQ2=J/r(e, p)dQ 与微分散射截面的定义式 dN=Jo(0,)dQ2 比较,得 a()=/(a9), f(,g)可称为散射振幅。 结论:计算o(6,9)的一般方法 )求解具体的 Shrodinger方程得到v(厅F); 2)将其渐进解(r→∞)与一般渐进解v(r→∞)=Ae"+4/(6.q)比较,得到f(a) 3)a(g)=|(,g)。 6
2）弹性散射，能量不变，k 大小不变，但方向变化。 故r → ∞ 时渐进解为 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( , ) ikr ikz e r r r r Ae Af r ψ ψ → ∞ +ψ = + θ ϕ K K K ， 散射粒子几率流密度 ( ) ( ) 2 2 * 2 2 2 * 2 2 2 2 , , 2 r z f f i k J A r r r r θ J ψ ψ ϕ θ ϕ ψ ψ µ µ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ ∂ ∂ = = ， 单位时间内散射到dΩ内的几率为 ( ) 2 2 , r r z dN = = J dS J r dΩ = J f θ ϕ dΩ ， 与微分散射截面的定义式 ( ) , z dN = Ω J σ θ ϕ d 比较，得 ( ) ( ) 2 σ θ, , ϕ = f θ ϕ ， f (θ,ϕ )可称为散射振幅。 结论：计算σ θ( ,ϕ ) 的一般方法： 1）求解具体的 Shrod inger 方程得到ψ (r) K ； 2）将其渐进解(r → ∞) 与一般渐进解 ( ) ( , ) ikr ikz e r Ae Af r ψ → ∞ = + θ ϕ 比较，得到 f ( ) θ,ϕ ； 3） ( ) ( ) 2 σ θ, , ϕ = f θ ϕ 。 6