4)空间反演不变性与宇称守恒 若体系具有空间反演不变性,[,]=0,则 a)宇称守恒 b)宇称Ⅰ与H有共同本征态。 例如: a)若V(-)=V(),m=,宇称守恒,宇称与有共同本征态。对于一维東缚态问题, H无简并,故H的所有本征态就是1的本征态。 b)L=F×,亢=-ih,立= p 0 故与D,L有共同本征态。 Ym(,)=Nm pl(cos 0)e mgp I+ml PlP(cos0)=1 d cos e 在Ⅰ变换F→-F下, r→r,日→丌-6,q→丌+q,cosb→-cos6, P(cos)→(-)p(cos),e→(-1)"e=(-1)e, 故 m(,9)=(-1)mn(6,q)=(-1)n(,q), 1与E,L的共同本征态就是球谐函数Vn(,q),的本征值为=(-1)y。 问题:为什么在经典力学中无宇称这一力学量? 回答:在经典力学中无突变,不能从F突变到-F。 3全同粒子对称性 全同粒子:内禀性质(质量,电荷,自旋等)完全相同的粒子。由于经典力学中物理量 的连续性,两粒子的性质可以无限接近,但不会全同,总是可以区分的。故在经典力学中无 全同粒子的概念。量子力学中物理量的取值可以是分离值,要么完全相同,要么完全不同。 因此具有全同粒子的问题。 那么怎么区分全同粒子呢?
4）空间反演不变性与宇称守恒 若体系具有空间反演不变性， ⎡ ⎣ I Hˆ ˆ , ⎤ ⎦ = 0，则 a）宇称守恒； b）宇称 ˆ I 与 Hˆ 有共同本征态。 例如： a）若V r ( ) − =V (r) ， K K 1 ˆ ˆ ˆ ˆ IHI H − = ，宇称守恒，宇称与 Hˆ 有共同本征态。对于一维束缚态问题， Hˆ 无简并，故 Hˆ 的所有本征态就是 ˆ I 的本征态。 b） ˆ L ˆ = ×r p K K K ， p i ˆ = − ∇ K K = ， ˆ 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ILI IrI IpI r p L − − − = × = × = K K K K K K ˆ ˆ I L, 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， K ，⎡I L ˆ, 0 ˆ2 ⎤ = ， ⎢⎣ ⎦⎥ K 故 ˆ I 与 ˆ2 L K ， Lˆ z 有共同本征态。 ( ) , c( os ) m im Y N lm lm Pl e ϕ ∵ θ ϕ = θ ， ( ) ( ) ( ) | | | |/ 2 1 2 2 cos 1 cos cos 1 2 ! cos l m m l m l l d P l d θ θ θ + ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ θ 在 ˆ I 变换r → − 下， K r K r r → ，θ π → −θ ，ϕ → + π ϕ ，cosθ θ → −cos ， ( ) cos ( 1) ( ) cos m m l m P P l l θ θ + ∴ → − ， ( ) ( )| | 1 1 im m m im im e e e ϕ ϕ → − ϕ = − ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2| | ˆ , 1 , 1 , l m l lm lm lm IY θ ϕ Y θ ϕ Y θ ϕ + = − = − ， ˆ I 与 ˆ2 L K ， Lˆ z 的共同本征态就是球谐函数 ( ) , Ylm θ ϕ ， ˆ I 的本征值为 I = −( 1) l 。 问题：为什么在经典力学中无宇称这一力学量？ 回答：在经典力学中无突变，不能从r K 突变到−r K 。 3.全同粒子对称性 全同粒子：内禀性质（质量，电荷，自旋等）完全相同的粒子。由于经典力学中物理量 的连续性，两粒子的性质可以无限接近，但不会全同，总是可以区分的。故在经典力学中无 全同粒子的概念。量子力学中物理量的取值可以是分离值，要么完全相同，要么完全不同。 因此具有全同粒子的问题。 那么怎么区分全同粒子呢？ 1
1)全同性原理 在经典力学中即使有“全同”粒子,可以通过轨道区分“全同”粒子。但在量子力学中,无 轨道,状态用波函数描述。 设单粒子状态为vn(x) 两全同粒子的波函数不重叠时, 可区分全同粒子 若在重叠区内发现一个粒子,不能区分它是第 个还是第二个粒子,即波函数重叠时不可区 v,(x) 分全同粒子。 故vn(x1)vn(x2)与vn(x2)vn(x)描述的是同一状态。→ 全同性原理:交换两个全同粒子不改变体系的状态。 问题:这一原理对态有有什么限制呢? 2)波函数的交换对称性 态v(q…q…q…q),其中q包含一个粒子的全部坐标q={F,S}。 定义算符P: ,w q ayla 第二个等式用到了全同性原理 因为 bv(q,…q…q…q)=Pv(,…,q灬…q,…q)=v(q1…q,…q…,q) 所以P的本征值为1,P的本征值=士1 Pv(q…,q…q…,q)=y(④…,…q…,q) 交换对称性:全同粒子体系的波函数在交换任意两个粒子时必须是对称或者是反对称的
1）全同性原理 在经典力学中即使有“全同”粒子，可以通过轨道区分“全同”粒子。但在量子力学中，无 轨道，状态用波函数描述。 设单粒子状态为ψ n ( x) 两全同粒子的波函数不重叠时， 可区分全同粒子 若在重叠区内发现一个粒子，不能区分它是第 一个还是第二个粒子，即波函数重叠时不可区 分全同粒子。 故ψ ψ n m ( ) x1 2 ( x ) 与ψ ψ n m ( ) x2 1 ( x ) 描述的是同一状态。 → 全同性原理：交换两个全同粒子不改变体系的状态。 问题：这一原理对态有有什么限制呢？ 2）波函数的交换对称性 态ψ (q q 1, , " "i j , q ,", qN ) ，其中q 包含一个粒子的全部坐标q r = { , Sz} K 。 定义算符 Pˆ ij ： ( ) 1 1 ( ) ( 1 ˆ , , , , , , , , , , , , , , , P q ij i j N j i N i j N ψ ψ " "q q " q = = q " q "q " q λψ q " "q q " q ) ) ， 第二个等式用到了全同性原理。 因为 P q ˆ ˆ ij 2 ψ ψ ( ) 1 1 , , " "qi , qj ,",qN = Pij ( ) q ,",qj ,"qi , , " qN =ψ ( ) q1, , " "qi , qj ,", qN ， 所以 Pˆ ij 2 的本征值为 1， Pˆ ij 的本征值λ = ±1。 即 P q ˆ ijψ ( ) 1 1 , , " "qi , qj ,", qN = ±ψ (q ,", qi ,"qj , , " qN 。 交换对称性：全同粒子体系的波函数在交换任意两个粒子时必须是对称或者是反对称的。 2
问题:全同粒子体系的波函数可不可以一会儿处于对称态,一会儿处于反对称态呢? 若体系的H满足交换对称性,即 BH(q…q1…q,…q)=(q…q…q…q), 例如对于 2+()+2r(1-q) 0 由于 1J(-.J)=(,1-x)=(,11→)=(J-)儿-J-), 所以P是守恒力学量。若体系在初始时处于P的某个本征态(对称态或者反对称态),则恒 处于该本征态。即全同粒子体系波函数的对称性不随时间改变。 实验表明,交换对称性由自旋决定:对于玻色子(自旋为整数的粒子)组成的全同粒子 系统,状态是交换对称的,对于费米子(自旋为半整数的粒子)组成的全同粒子系统,状态 是交换反对称的。 问题:全同粒子系统的状态一方面要满足交换对称性,另一方面要满足 Schroedinger 方程,怎样构造满足二者的态? 3)两全同粒子的态 设H(q,q2)(q1,q2)=Ev(q1,q2) Qu H(92, q1)y (q2, 91)=Ey ( 42, q1) 若H(q,q2)=H(q2q), A H(,q2)(q2, q1)=Ey (q2, q,) 所以,v(q12q2)与v(q2q1)都是属于H的同一本征值E的本征态。 若v(qn,q2)不满足交换对称性,即v(q2,q1)≠土v(q12q2),可以构造对称波函数: 玻色子系统:W(q192)=v(9,92)+v(q2q), 费米子系统:v-(q,q2)=v(q,q2)-(q291) 它们仍然是系统H的属于本征值E的本征态 Hv:(q1,q2)=Ev1(q,q2)
问题：全同粒子体系的波函数可不可以一会儿处于对称态，一会儿处于反对称态呢？ 若体系的 Hˆ 满足交换对称性，即 ( ) ( 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , , , , , PijH i j N ij i j N q q q q P H q q q q − " " " = " " " ) ， 例如对于 ( ) ( ) 2 2 1 ˆ 2 N N k k i k i j H V q V = < µ ⎛ ⎞ = −⎜ ∇ + ⎟ + − ⎝ ⎠ ∑ ∑ = K j q q ， 则 ˆ ˆ , 0 P Hij ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 。 由于 ( ) ( ) ˆ ˆ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ij ij i j P i j i === j j i j i i j i j P i j , ， 所以 是守恒力学量。若体系在初始时处于 的某个本征态（对称态或者反对称态），则恒 处于该本征态。即全同粒子体系波函数的对称性不随时间改变。 ˆ Pij ˆ Pij 实验表明，交换对称性由自旋决定：对于玻色子（自旋为整数的粒子）组成的全同粒子 系统，状态是交换对称的，对于费米子（自旋为半整数的粒子）组成的全同粒子系统，状态 是交换反对称的。 问题：全同粒子系统的状态一方面要满足交换对称性，另一方面要满足 Schroedinger 方程，怎样构造满足二者的态？ 3）两全同粒子的态 设 Hqq ˆ ( ) 1 2 , , ψ ( ) q1 q2 = Eψ ( ) q q 1, 2 ， 则 H q ˆ ( ) 2 1 , , q ψ ( ) q2 1 q = Eψ ( ) q2 ,q1 ， 若 Hqq ˆ ( ) 1 2 , , = Hˆ ( ) q2 q1 ， 有 Hqq ˆ ( ) 1 2 , , ψ ( ) q2 q1 = Eψ ( ) q2 q1 。 所以， ( ) 1 2 ψ q q, 与 ( 2 1 ψ q q, ) 都是属于 Hˆ 的同一本征值 E 的本征态。 若 ( 1 2 ψ q q, ) 不满足交换对称性，即 ( ) 2 1 ( 1 2 ψ q q, ≠ ±ψ q ,q ) ，可以构造对称波函数： 玻色子系统： ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 1 ψ ψ q q,,, q q ψ q q + = + ， 费米子系统： ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 1 ψ ψ − q q, , = − q q ψ q ,q ) 。 它们仍然是系统 Hˆ 的属于本征值 E 的本征态： ( ) 1 2 ( ) 1 2 ˆH q ψ , , q Eψ q q ± ± = 。 3
例如:若不考虑两粒子的相互作用 (q12q2)=H0(q)+H0(q2) op =E, ( q) E=E v(gu, 92)= (u)%m(q2) (q1,42)一般不满足交换对称性。为达到交换对称性要求,我们如下构造态函数 坡色子系统:(7(+,m P, (u)m ( q2) 费米子系统:v(q192) 9()(9)-9(91(9)=1()( 2p()m(a2) 对于费米子系统,若两粒子处于同一状态(具有相同量子数)时,n=m,v.(q1q2)=0.→ Pa不相容原理:两个全同费米子不能处于同一状态。 以上关于波函数对称性的讨论,可推广到个全同粒子体系 次量子化,量子场论 4)全同性原理的观察效应 例1:两个全同自由粒子的空间波函数 )不考虑换对称性 v(F,)=以(k,)(k2,) 引入质心坐标:R=(F+F),相对坐标:F=F-F, 总动量:R=+k,相对动量:k=(-k), 波函数为v(RF)= 在以一个粒子为中心,半径为r的球壳内找到另一个粒子的几率为 P()-∫w(R)di=4 b)对称波函数 v()=一(v(G,)+v(G,)
例如：若不考虑两粒子的相互作用 ( ) 1 2 0 ( 1 ) 0 ( 2 ˆ ˆ ˆ Hqq, = + H q H q ) ) ) ， 0 ( ) ( ) ˆH q n n n ϕ ε = ϕ q ， ( ) 1 2 ( 1 ) ( 2 , n m n m E q q q q ε ε ψ ϕ ϕ ⎧ = + ⎨ = ⎩ ， ( 1 2 ψ q q, 一般不满足交换对称性。为达到交换对称性要求，我们如下构造态函数： 玻色子系统： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 , , 2 n m n m n m q q q q n q q q q n m ϕ ϕ ϕ ϕ m ψ ϕ ϕ + ⎧ ⎪ + ≠ = ⎨ ⎪ = ⎩ 费米子系统： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 , 2 2 n n n m n m m m q q q q q q q q q q ϕ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − = − = 。 对于费米子系统，若两粒子处于同一状态（具有相同量子数）时，n = m ， ( ) 1 2 ψ q q, 0, − = → Pauli 不相容原理：两个全同费米子不能处于同一状态。 以上关于波函数对称性的讨论，可推广到个全同粒子体系 → 二次量子化，量子场论 4）全同性原理的观察效应 例 1：两个全同自由粒子的空间波函数 a）不考虑换对称性： ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 3 1 , ( , ) ( , ) 2 i k r k r ψ ϕ r r k r ϕ k r e π • + • = = K K G G K K K K G G = ， 引入质心坐标： ( 1 2 1 2 R = r + r ) K K K ， 相对坐标： 1 r r = − r K K K ， 总动量： K 1 2 = + k k K K K ， 相对动量： ( ) 1 2 1 2 k k = − k K K K ， 波函数为 ( ) ( )3 1 , 2 iK R ik r ψ R r e e π • • = K K K K K K = 。 在以一个粒子为中心，半径为r 的球壳内找到另一个粒子的几率为 ( ) ( ) 2 3 2 2 P R r , = Ω ψ r d Rr d ∫ K G K = Ar 。 b）对称波函数 ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( 2 1 ) 1 , , 2 ψ ψ r r r r ψ r ,r + = + K K K K K K ， 4
y(R)=n0(“+e)=④3而 e“√2cos(k·f) P(r)=Jv(,2)d'Rrd2=Ar in 2k 2kr )反对称波函数 (万)=五)(压), (5m(,:(-m3) P/A 说明:对称空间波函数→两粒子靠近的几率大, 反对称空间波函数→两粒子靠近的几率小, 似乎在全同粒子间存在一种作用力,对于全同玻色子,是吸引力,费米子是排斥力。这种力 称为交换力,它不是一种真正意义上的力,无施力者,在r→∞时,交换力消失。 例2:两粒子体系的力学量平均值 设力学量F(-1), 不考虑交换对称性,(F)=v()(一v(不)dd; 考虑交换对称性,(F)=」v:(,)F(-v:(,)dd万 =jw(,)F(-Ev(,)+v(万,)PGv(万,) 土‘(,)F(-v(2,)±v(2,)F(-Ev(》d =(F)土v()一v(石,)dd 只有当两粒子波函数不重叠时,∫v()F(丙一E)(E2)d=0
( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) 1 1 1 , 2 2 2 2 iK R ik r ik r iK R ψ R r e e e e cos k r π π • • − • • + = + = K K K K K K K K • K K K K = = ， ( ) ( ) 2 3 2 2 sin 2 r , 1 2 kr P R r d Rr d Ar kr + + ψ ⎛ ⎞ = Ω = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∫ K G K c）反对称波函数 ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( 2 1 ) 1 , , 2 ψ ψ r r r r ψ r ,r − = − K K K K K K ， ( ) ( )3 ( 1 , 2 si 2 iK R ψ R r e i n k r) π • − = • K K K K K K = ， ( ) 2 sin 2 r 1 2 kr P Ar kr − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2.5 5 7 . 5 1 0 12. 5 1 5 17.5 2 0 2 k r 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5 1 . 7 5 2 P ê A r 2 P + ê A r 2 P - ê A r 2 说明：对称空间波函数 → 两粒子靠近的几率大， 反对称空间波函数 → 两粒子靠近的几率小， 似乎在全同粒子间存在一种作用力，对于全同玻色子，是吸引力，费米子是排斥力。这种力 称为交换力，它不是一种真正意义上的力，无施力者，在r → ∞ 时，交换力消失。 例 2：两粒子体系的力学量平均值 设力学量 ( ) 1 2 Fˆ r r −K K ， 不考虑交换对称性， ( ) ( ) ( ) * 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ , , 3 F = − ψ r r F r r ψ r r d r d r ∫ K K K K K K K K ； 考虑交换对称性， ( ) ( ) ( ) * 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ F ψ ψ r, , r F r r r r d r d r ± = − ∫ ± ± K K K K K K K 3 K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ˆ ˆ [ , , , , 2 = − ψ ψ r r F r r r r +ψ ψ r r F r − r r r ∫ K K K K K K K K K K K K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ± − ψ ψ r r, , F r r r r ±ψ ψ r ,r F r − r r r, d r d r K K K K K K K K K K K K 3 K 3 K ] ( ) ( ) ( ) * 3 1 2 1 2 2 1 1 2 ˆ F r, , r F r r r r d r d r F = ± ψ ψ − ≠ ∫ K K K K K K K 3 K 只有当两粒子波函数不重叠时， ( ) ( ) ( ) * 3 1 2 1 2 2 1 1 2 ˆ ψ ψ r r, , F r − = r r r d r d r ∫ 3 0 K K K K K K K K 。 5
