2线性变换 以下略去函数空间的变量,且主要考虑分离空间形式。 三维空问中的变换:矢量平移,旋转等。 线性变换:7(aa)+b1B)=aTa)+b76) 线性变换⑦是一种对矢量的运算,可以是常数、微分等,但√不是线性变换。 线性变换T将一个矢量变为另一个矢量 若知道变换了对基矢|n)的作用,则对任意矢量()的作用也就知道 由完备性条件, n)→T|n)=∑|mmlT|n) mTn) T|n)=∑Tmlm) 表明:算符了在Hibe空间中是一个方阵,矩阵元为m=(m7|n) 对于任意矢量(a), a)=i|a)=∑m)m|n)(n(a)=∑∑mnn)m) an是矢量|a)在基矢|n)上的分量 a)=∑n)nla)=∑anln), ∑an|m) ∑Tman 化为矩阵形式:O'=T
2.线性变换 以下略去函数空间的变量τ ，且主要考虑分离空间形式。 三维空问中的变换：矢量平移，旋转等。 线性变换： ˆ ˆ T a( ) α + = b β aT α′ + bTˆ β 线性变换Tˆ 是一种对矢量的运算，可以是常数、微分等，但 不是线性变换。 线性变换 将一个矢量变为另一个矢量： Tˆ α α Tˆ → = α′ ， 若知道变换Tˆ 对基矢 n 的作用，则对任意矢量 α 的作用也就知道。 由完备性条件， ˆ ˆ m n T → = n ∑ m m T n ， 记 ˆ T m mn = T n ， 则 m ˆT n = ∑Tmn m 表明：算符Tˆ 在 Hilbert 空间中是一个方阵，矩阵元为 ˆ T m mn = T n 。 对于任意矢量 α ， , ˆ ˆ ( ) mn n m n m n α α ′ = = T m ∑ ∑ m T n n α = ∑T α m αn 是矢量 α 在基矢 n 上的分量： n n n α α = ∑ n n = ∑α n ， 由 ' m α α ′ = ∑ m m 有 ' m mn n α α = ∑T n ， 化为矩阵形式： α α ' = T 1
3变换算符(矩阵)的本征值和本征矢 本征方程的算符形式: 7|a)=列a), 线性变换后的矢量与原矢量只差一个常数。为本征值,|a)为本征矢 矩阵形式: Ta=la (T-An)a=0 本征矢≠0的条件 det(T-1l=0 即久期方程 T T21T2- 0 从而求得本征值λ,将其代入 (T-4n)a=0 得到对应的本征矢G。 例:矩(0-/久期方程为/-20 0-1-2 2-1=0 本征值为2=±1。 取入=1 00a=0,求得归一化后本征矢为 0-2 类似,取A=-1,对应的本征矢为 4厄米算符(矩阵) 矩阵T 厄米共轭矩阵T=T,(Tr)=Tn
3.变换算符（矩阵）的本征值和本征矢 本征方程的算符形式： Tˆ α λ = α ， 线性变换后的矢量与原矢量只差一个常数。λ 为本征值， α 为本征矢。 矩阵形式： ( ) T T I α λα λ α = − = 0 本征矢α ≠ 0的条件： det(T I − λ ) = 0， 即久期方程： 11 12 1 21 22 2 1 2 NN T T 0 N N T T T T T T T λ λ − − = # # # # N N … … … ， 从而求得本征值λi ，将其代入 ( ) 0 T I − = λ α i i 得到对应的本征矢αi 。 例：矩阵 ，久期方程为 1 0 = 0 -1 T ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 1 0 0 0 -1- λ λ = - ， 即 2 λ − =1 0， 本征值为λ= ±1。 取λ=1， 1 ，求得归一化后本征矢为 ； 2 0 0 0 0 2 α α ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ = 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 类似，取λ=-1，对应的本征矢为 。0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.厄米算符（矩阵） 矩阵T 厄米共轭矩阵 * * , ( ) = ji ， ij T T T T + + = 2
若 T=T,(r")2= 则称T为厄米矩阵。 以下讨论厄米矩阵的性质 1)∵(AB)'=BA, (a[1B)=(al( B)=a Tb=(T'a)=(i*(a)lB) 记(a|A=A(a 则∴(alB=(alr)D 若T不是厄米算符,作用在右矢和左矢上是不同的;若T是厄米算符,即T=T+,则: (a(r1)=(a1) 表明:厄米算符作用在右矢和左矢上是相同的 2)设了的本征方程为T|)=),两边取厄米共轭,则有 i7=(l (171)=(121) (121)=(' (|)=x( 故 1=1 表明:厄米算符的本征值为实数 3)设本征方程为: 7|)=|),T少=2|少 其中气≠ (= x(=, (-)(少=0 故 ()=0
若 = , ( ) = ij ij T T T T + + ， 则称T 为厄米矩阵。 以下讨论厄米矩阵的性质。 1） ∵( ) AB + = B+A+ ， ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ α T T β α ( ) β a Tb= T a b= T α β + + + + ∴ ≡ = 。 记 α α A A ˆ ˆ ≡ 则 ( ) α T T ˆ ˆ β = α β + ∴ 若 不是厄米算符，作用在右矢和左矢上是不同的；若 是厄米算符，即 ，则： Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ + = ( ) ˆ ˆ α ( ) T T β = α β 表明：厄米算符作用在右矢和左矢上是相同的 2）设Tˆ 的本征方程为T i ˆ =λ i ，两边取厄米共轭，则有： i Tˆ= i λ* * * * ˆ = = = i T i i i i i i i i i i i λ λ λ λ λ ∵ 故 * λ = λ 。 表明：厄米算符的本征值为实数 3）设本征方程为： T i ˆ = i λ i ， T j ˆ = j λ j 其中λi j ≠ λ 。 ( ) * ˆ = = =0 j i j i j i T j i j i j i j i j λ λ λ λ λ − ∵ ， 故 i j =0。 3
表明:厄米算符属于不同本征值的本征态正交。由于总可以构造归一化态,故有正交归一: 对于分离非筒并情形: ()=6; 对于连续非简并情形 ff)=6(-f) 若存在简并,即同一本征值对应多个本征态,例如有g重简并 1j)=,,j=1g, 有两种方法来保证仍然有正交归 a)线性叠加正交法: 重新定义g个新态, 1n)=∑cnn=12,g T|1,n)=∑CT)=2∑CT,=1n 1n)仍然是的属于本征值的本征态。要求这g个新态正交归一: (i, mi n)=sm 共有g个归一化方程+吕一吕个正交方程=(g+1个方程g2个待定系数C,故有多种选择来 决定满足正交归一化条件的系数Cn,使得新态|n)正交归一: (m1j,n)=m, δ来自于不同本征值的本征态的正交归一,δ来自于线性叠加正交法。 b)引入厄米算符组: 从物理上说,一个本征值对应多个本征态说明该算符不足以完全描述这些本征态,必须引 入新的算符来刻划这些本征态之间的差别。引入另一个厄米算符T',要求T的本征态是T'的本 征态,且无简并 7|i,=41, 7|,)=4 则对于厄米算符组{门,本征值,}与本征态小一一对应,无简并,故满足正交归一条
表明：厄米算符属于不同本征值的本征态正交。由于总可以构造归一化态，故有正交归一： 对于分离非简并情形： = ij i j δ ； 对于连续非简并情形： f f ' ' =δ ( ) f − f 。 若存在简并，即同一本征值对应多个本征态，例如有 g 重简并： ˆ , = , 1,... T i i j λ i j ， j = g ， 有两种方法来保证仍然有正交归一。 a） 线性叠加正交法： 重新定义g 个新态， 1 , = , 1,2,... g nj j i n C i j n g = ∑ ， = 1 1 ˆ ˆ ˆ , = , = , = , g g nj i nj i j j T i n C T i j λ λ C T i j i n = = ∵ ∑ ∑ ， ∴ i n, 仍然是Tˆ 的属于本征值λi 的本征态。要求这g 个新态正交归一： , , mn i m i n = δ 共有g 个归一化方程 2 g g + 2 − 个正交方程 g g( ) 1 = 2 + 个方程 个待定系数 ，故有多种选择来 决定满足正交归一化条件的系数 ，使得新态 2 <g Cnj Cnj i n, 正交归一： , , ij mn i m j n =δ δ ， ij δ 来自于不同本征值的本征态的正交归一，δ mn 来自于线性叠加正交法。 b）引入厄米算符组： 从物理上说，一个本征值对应多个本征态说明该算符不足以完全描述这些本征态，必须引 入新的算符来刻划这些本征态之间的差别。引入另一个厄米算符 ，要求 的本征态是 的本 征态，且无简并： ˆT ' Tˆ ˆT ' ˆ , = , ˆ ' , = , i ij T i j i j T i j i j λ λ ， 则对于厄米算符组{ } ˆ ˆ T T, ' ，本征值{λ λi , ij} 与本征态 i j , 一一对应，无简并，故满足正交归一条 4
(j)=60, 结论:无论间并还是非间并,厄米算符的本征态正交归一。 4)可以证明:厄米算符的本征矢满足完备性条件 ∑)件 或∫4|)(|=1 或∑1)(+」d1)(=1 构成 Hilbert空间的一组正交归一的基矢
件： ' ' , ', ' , ii jj i j i j = δ δ 结论：无论间并还是非间并，厄米算符的本征态正交归一。 4）可以证明：厄米算符的本征矢满足完备性条件， 1, 1 1 i i i i df f f i i df f f = = + = ∑ ∫ ∑ ∫ 或 或 构成 Hilbert 空间的一组正交归一的基矢。 5