2)粒子在中心场中的运动 中心势场:V(F)=V( 定态方程 方2 v+()()=Ev(F) 在球坐标系 2m r dr2 2mr2 ()y(r,.q)=E(r,.q) oy-b(r(r)-E)v(0.9)=v(r.9) L为轨道角动量 分离变量:v(r,0,)=R(r)Y(O,q), EY()=CY()角向方程 则有 d h(V()-E)R=R径向方程 C/h2为分离变量常数。 由角动量本征方程,有 Y(,q)=yn(0,q),C=(1+1)h2,l=0,1,.。 由于任意中心场中角向波函数都相同,为球谐函数,故中心场问题退化为径向方程: d( dR 2mr2 dr dr 2(V()-E)R=1(1+1)R, 决定径向波函数R和能级E 归一化条件:「rd42R)m(.p)=1 由于有∫m(.o)=1, 故R(r)=1 R 径向方程变为-24+(+21(+)1=-En, 2m dr 2m r 这类似于势为Vn的一维定态 Schrodinger方程
2）粒子在中心场中的运动 中心势场： V r( ) =V r( ) ， G 定态方程： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 V r r E r m ψ ψ ⎛ ⎞ ⎜− ∇ + ⎟ = ⎝ ⎠ = G G G 在球坐标系： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ 1 , , , , 2 2 L r V r r E r m r r mr ψ θ ϕ ψ θ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ − + + ⎟ = ⎜ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ G = ， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ 2 , , , , mr L r V r E r r r r ψ θ ϕ ψ θ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ − − = ⎝ ⎠ ∂ ∂ G = = ˆ L G 为轨道角动量。 分离变量： ψ ( ) r R , , θ ϕ = (r)Y (θ,ϕ )， 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ , , 2 L Y CY d dR mr C r V r E R R dr dr θ ϕ = θ ϕ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − = ⎝ ⎠ G = = 角向方程 径向方程 2 C / = 为分离变量常数。 由角动量本征方程，有 Y ( ) θ, , ϕ = Ylm (θ ϕ ) ， C l = + ( ) l 1 =2 , l = 0,1,...∞ 。 由于任意中心场中角向波函数都相同，为球谐函数，故中心场问题退化为径向方程： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 d dR mr r V r E R l l dr dr ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − = ⎝ ⎠ = + R ， 决定径向波函数 R 和能级 E。 归一化条件： ( ) 2 2 2 0 ( , ) 1 lm r dr d R r Y θ ϕ ∞ Ω = ∫ ∫ 由于有 2 ( , ) 1 lm d Y Ω = θ ϕ ∫ ， 故 ( ) 2 2 0 R r r dr 1 ∞ = ∫ 。 令 u = rR， 径向方程变为 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 Veff d u l l V u m dr m r ⎛ ⎞ + − + ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ = = Eu ， 这类似于势为 的一维定态 Schrödinger 方程。 Veff 1
归一化条件:J()t=1 3)类氢原子 体问题: ⅵ-n+(-)(,)=E脚(,), E,为总能量。 坐标变换:,→质心坐标R=m+m,相对坐标F=-F2 方程化为 h2 :-,v+r()月)=E(, 总质量M=m+m2约化质量="”"2。 m 分离变量:v(F,)=v(F)(R), hV, +v(o)v()=Ew() 方程化为 (R)=(E-E)@(R) Φ(R):质心运动波函数,与内部性质无关,是平面波。质心运动能量为E-E; v(F):相对运动波函数,分离变量常数E代表相对运动能量。通过再一次分离变量,它的角 向部分为球谐函数Ym(,q),径向部分满足方程 d(,2dR\2r\R=(+)R 考虑边界条件:r→0.时,R(r)必须有限,最终解为
归一化条件： ( ) 2 0 u r dr 1 ∞ = ∫ 。 3）类氢原子 ( ) 2 Ze V r r = − 二体问题： ( ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , 2 2 V r t r r r E r r m m ψ ψ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ∇ − ∇ + − = ⎝ ⎠ = = G G ) G G G G G G ， Et 为总能量。 坐标变换： r r 1 2 , → 质心坐标 G G 1 1 2 2 1 2 m r m r R m m + = + G G G ，相对坐标 1 r r = − r2 G G G 方程化为 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 , , 2 2 r R V r t r R E r R M ψ ψ µ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ∇ − ∇ + = ⎝ ⎠ = = G G G G G ) G ， 总质量 1 2 M = + m m , 约化质量 1 2 1 2 m m m m µ = + i 。 分离变量： ψ ψ ( ) r R, = ( ) r Φ(R) G G G G ， 方程化为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 r R t V r r E r R E E R M ψ ψ µ ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ − ∇ + = ⎪⎝ ⎠ ⎨ ⎪ ⎪ − ∇ Φ = − Φ ⎩ = G G G = G G G ， Φ(R) G ：质心运动波函数，与内部性质无关，是平面波。质心运动能量为 Et − E ； ψ (r) G ：相对运动波函数，分离变量常数 E 代表相对运动能量。通过再一次分离变量，它的角 向部分为球谐函数 ( , Ylm θ ϕ)，径向部分满足方程： ( ) 2 2 2 2 2 1 d dR r Ze r E R l dr dr r ⎛ ⎞ µ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ = + ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ l R 。 考虑边界条件：r → 0,∞ 时， R r( ) 必须有限，最终解为： 2
Rn(r)=Mem22xF(-n+1+121+2 2Z nao nao 合流超几何函数F(a,y,5) E.=-e 2n2h2 主量子数:n=1,2,3…∞,l=0,1,…,n-1。 注意,受到径向方程的影响,l不能取值到∞。 由归一化决定:「R(T)b=1,4=为B0M半径 whim (, 0, y)=R,()Ym(, p) 总的相对运动波函数:{n=12,3,…,1=0,1…,n-1,m=0±1±2,…,±1 En 2nh 讨论 a)零点能E12关0 b)能量简并度:g=∑(21+1)=n C)径向方程含l,对于一般中心场有En。由于库仑场对称性高,E只与n相关 d)当用力学量组{,,}描述状态时,简并消除,称为力学量完备组。注意,,正,两两 对易,有共同本征态vm(r,,y) e)径向几率分布:1=∫wm()d-」R(r)(.gp)ro=JR)rt, Pn(r)=R(/r2 角分布:Pm(.q)=|}m(,q f)氢原子光谱: ==(-m) , Rydberg公式
( ) ( ) 0 0 0 , , 4 2 2 2 2 1,2 2, 2 Zr l na nl nl F n Z Z R r N e r F n l l r na na e E n α γ ξ µ ⎧ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎪ = − ⎜ ⎟ ⎜ + + + ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎨ ⎪ ⎪ = − ⎪⎩ = 合流超几何函数 ⎞ ⎟ ⎠ ， 主量子数: n = ∞ 1, 2,3," ，l n = − 0,1,…, 1。 注意，受到径向方程的影响，l不能取值到∞ 。 Nnl 由归一化决定： ( ) 2 2 0 1 Rnl r r dr ∞ = ∫ ， 2 0 2 a µe = = 为 Bohr 半径。 总的相对运动波函数： ( ) ( ) ( ) 4 2 2 , , , 1,2,3, 0,1, , 1, 0, 1, 2, 2 nlm nl lm n r R r Y n l n m e E n ψ θ ψ θ ϕ µ ⎧ ⎪ = ⎪⎪ ⎨ = = − = ± ± ⎪ ⎪ = − ⎪⎩ " " " = , ,± l . 讨论： a) 零点能 4 1 2 0 2 e E µ = − ≠ = 。 b) 能量简并度： ( ) 。 1 2 0 2 1 n l g l − = = + ∑ = n c) 径向方程含l，对于一般中心场有 Enl 。由于库仑场对称性高， E 只与n相关。 d) 当用力学量组{ } ˆ2 ˆ ˆ , , H L Lz G 描述状态时，简并消除，称为力学量完备组。注意， 两两 对易，有共同本征态 ˆ2 ˆ , , H L Lz G ˆ ( ) , , nlm ψ r θ ψ 。 e) 径向几率分布： ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 1 ( ) ( , ) nlm nl lm nl = = ψ θ r d r R r Y ϕ r drdΩ = R r r dr ∫ ∫ ∫ G G 2 ， ( ) ( ) 2 2 nl nl ρ r R = r r 角分布： ( ) ( ) 2 , , ρlm θ ϕ = Ylm θ ϕ ； f) 氢原子光谱： 4 3 2 2 1 1 , 4 n m e E E h n m µ ν ν π ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠， Rydberg 公式。 3
第四章谐振子与角动量 1.一维线形谐振子 对于任意势,在某个最小点x附近,均可以按 Taylor,展开 y(x)=(x)+"(x)(x-x)+-"(x)(x-x)2+ XO 其中,常数项V(x)可以归并到能量中去。在势最小值点,有V(x)=0。略去高阶项,有 (x)=V(x)(x-x0) 近似为谐振子势。故研究谐振子问题具有普遍意义。 经典:_p2,1mm2x2 2m =P2+1mx2 量子: 2m2 [问=i,与表象无关。 1)在坐标表象求解 2m d +3m@xv(x)=Ey(x) imv(x)=0,束缚条件 解为(见 Griffiths书) En=n+ho,n=0,1,2 mo m0 y(x) H h Hn(x)为 Hermite多项式
第四章 谐振子与角动量 1. 一维线形谐振子 ( ) 1 2 2 2 V x = mω x 对于任意势，在某个最小点 0 x 附近，均可以按Taylor 展开： ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 1 2 V x = + V x V′ ′ x x − x + V ′ x x − x +" 其中，常数项V x( 0 ) 可以归并到能量中去。在势最小值点，有V x ′( ) 0 = 0。略去高阶项，有 ( ) ( )( ) 2 0 0 1 2 V x V′′ x x − x ， 近似为谐振子势。故研究谐振子问题具有普遍意义。 经典： 2 1 2 2 2 2 p H m m = + ω x 量子： [ ] 2 2 2 ˆ 1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ , , p H m x m x p i ω ⎧ ⎪ = + ⎨ ⎪ = ⎩ = 与表象无关。 1）在坐标表象求解 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 lim 0, x d m x x E x m dx x ω ψ ψ ψ →±∞ ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ − + = ⎨⎝ ⎠ ⎪ = ⎩ = 束缚条件 ， 解为(见 Griffiths 书)： ( ) 1/ 4 2 1 , 0,1, 2 2 1 2 2 ! n m x n n n E n n m m x H n ω ω ω ω ψ − ⎧ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠ = = " = = x e H x n ( )为Hermite多项式。 4
