2)代数解法 由[问=i 有H 2m+2m03 方+二h 2h mo 定义新算符 mo 则 H -m0 H=laa+na 2m2 [,p=i 显然,a不是厄米算符,a≠a。但ata是厄米算符,(ata)=a'a。 问题:aa是什么力学量? [a=0,∴与i共同本征态,只要求解了首的本征方程,就求解了 的本征方程。 a'an=nn) 则)=|n+5oln) E,=n+hoo 问题是:本征值n=?坐标表象本征态(xm)是什么? 21)设am)=|b), yu ( nat=(b,( na'an=bb, n(nn)=(bb) (b|b)20,(nn)≥0, n≥0。 22)(ata)aln)=(ai-1)an)=a(aa-1))=(n-1)i (aa)a|n)=at|n)=a(aa+1)n)=(n+1)a|n) 如果|n)是aa的本征态,则ln),a|n)也是ata的本征态,并有下列关系
2）代数解法 由 [ xˆ ˆ , p] = i=， 有 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 p m i i H m x x p x p m m m ω ω ω ω ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ − ⎜ + ⎟ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ = = = ω 定义新算符 ˆ ˆ 2 m i a x m ω ω ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ pˆ ， ˆ ˆ 2 m i a x m ω ω + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ pˆ ， 则 [ ] 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆ , ˆ ˆ , 1 H m p H a a x m x p i a a ω ω + + ⎧ ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ = + ⎪ = + ⎜ ⎟ ⎨ ⎨ → ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ = ⎡ ⎤ = ⎩ ⎣ ⎦ = = 。 显然，aˆ 不是厄米算符，aˆ + ≠ aˆ 。但aˆ + aˆ 是厄米算符，( ) a a ˆ ˆ aˆ aˆ 。 + + + = 问题：aˆ + aˆ 是什么力学量？ ˆ ˆ a a ˆ ˆ, H 0 H a a ˆ ˆ + + ⎡ ⎤ = ∴ ⎣ ⎦ ∵ ， 与 有共同本征态, 只要求解了aˆ + aˆ 的本征方程，就求解了 Hˆ 的本征方程。 设 a a ˆ ˆ n n n + = ， 则 1 ˆ 2 H n n ω n ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ， 1 2 E n n ω ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 。 问题是：本征值n = ? 坐标表象本征态 x n 是什么？ 2.1） 设 a n ˆ = b ， 则 n aˆ b + = ， n aˆ ˆa n b b + = ，n n n = b b ∵ b b ≥ ≥ 0, n n 0 ， ∴ ≥ n 0。 2.2） ( ) a a ˆ ˆ aˆ n ( ) aˆaˆ 1 1 aˆ n aˆ( ) aˆ aˆ n ( ) n aˆ n + + + ∵ = − = − = −1 ( ) a a ˆ ˆ aˆ n a a ˆ ˆaˆ n aˆ ( ) aˆ aˆ 1 1 n ( ) n aˆ n + + + + + + + = = + = + ∴如果 n 是aˆ + aˆ 的本征态，则a n ˆ ，aˆ n + 也是aˆ + aˆ 的本征态，并有下列关系： 1
本征态 的本征值 H的本征值 (a)) 2 n+二| n+1 jh (a)1) 故称a为下降算符,a为上升算符。结合n≥0的结论,ata的本征值为 ∫n…,n-1,n,n+1 ≥0 23)对于最小值n0,有 a no =nono 如果n>0,因为an)仍然是本征态, (aa)/no=(no-1)a/no 本征值n0-1<n0,与n为最小本征值的假设矛盾。 如果n0=0,由 aan)=0,an)=0,(aa)aln3)=0, 说明an)仍然是aa的本征态,且本征值为0=,与为最小本征值的假设不矛盾。故 结论 n=0.1.2 注意,到此仅仅用到了对易关系,没有进入具体表象。 24)由于a|n)对应本征值为n-1,考虑到一维束缚态无简并,有 )=an|n-1) 同理,a|n)=bn+1)
( ) † 2 ˆ ˆ ˆ 5 ˆ 2 2 3 ˆ 1 2 a a H a n n n a n n n n n ω ω + + ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # # = = 本征态 的本征值 的本征值 ( )2 1 2 1 ˆ 1 2 3 ˆ 2 2 n a n n n a n n n ω ω ω ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = # 故称aˆ 为下降算符，aˆ + 为上升算符。结合n ≥ 0 的结论，aˆ + aˆ 的本征值为 0 0 , , 1, , 1, 0 n n n n n ⎧ − + ⎨ ⎩ ≥ " " 2.3）对于最小值n0，有 0 0 0 a a ˆ ˆ n n n + = 如果n0 > 0，因为 0 a n ˆ 仍然是本征态， ( ) a a ˆ ˆ aˆ n0 0 ( ) n 1 aˆ n + = − 0 本征值n0 0 − <1 n ，与n0为最小本征值的假设矛盾。 如果n0 = 0，由 0 a a ˆ ˆ n 0 + = ， 0 a n ˆ = 0，( ) 0 a a ˆ ˆ aˆ n 0 + = ， 说明 0 a n ˆ 仍然是 的本征态，且本征值为0 ，与 为最小本征值的假设不矛盾。故 。 aˆ aˆ + 0 = n 0 n 0 n = 0 结论： 1 2 0,1,2, E n n n ω ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ = + ⎜ ⎟ ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ = = " ， 注意，到此仅仅用到了对易关系，没有进入具体表象。 2.4) 由于a n ˆ 对应本征值为n −1，考虑到一维束缚态无简并，有 ˆ 1 n a n = a n − ， 同理， ˆ 1 n a n b n + = + 。 2
(na=(n-1an,(na=(n+1b (n a'an)=, (n-1n-l), n=la, a,l=n, (nan)=|bP(n+1n+1),(laa+1n)=|n},n+1=b},h=√n+1 故 a n)=vnn-1) at)=√7+ln+) 2.5)进入H与aa的共同表象 (aa=(m])=n(m/n)=nom n+-|hδ 均为对角矩阵,这不难理解,因为是在自身表象。 am=(man)=n(n mn-1)= 6 a=(ma +1(mn+1)=√n+18 ),p hmo 则 a+a= Ino n+√n+l n pm=y2(m-√7+m 均不是对角阵。 26)进入坐标表象 对于基态0), a|0)=0,即|x+ mo (x1分+p0)=0,了(x1+px2)x10)=0
* * ˆ ˆ 1 , 1 n n n a n a n a n b + ∵ = − = + ， 2 2 ˆ ˆ 1 1 , , n n n a a n a n n n a a n + ∴ = − − = n = ， 2 2 2 ˆ ˆ 1 1 , ˆ ˆ 1 , 1 , 1 n n n n aa n b n n n a a n b n b b n + + = + + + = + = n = + 故 , 1 n n a n = b = n + 。 ˆ 1 ˆ 1 1 a n n n a n n n + ⎧⎪ = − ⎨ ⎪ = + + ⎩ 。 2.5）进入 Hˆ 与aˆ + aˆ 的共同表象 ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ mn mn a a m a a n n m n nδ + + = = = ， 1 ˆ 2 H m mn H mn n n ωδ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = 均为对角矩阵，这不难理解，因为是在自身表象。 , 1 ˆ 1 mn m n a m a n n m n nδ = = − = − ， , 1 1 1 1 mn m n a m a n n m n n δ + + = = + + = + + ˆ ( ) ˆ 2 x a aˆ mω + = + = ， ˆ ˆ ( ) 2 m p i a ˆ ω + = − = a ， 则 ( ) ( ) , 1 , 1 1 2 2 mn mn mn m n m n x a a n n m m δ δ ω ω + = + = − + + + = = ( ) , 1 , 1 1 2 mn m n m n m p i n n ω δ δ = − − + + = ， 均不是对角阵。 2.6）进入坐标表象 对于基态 0 ， aˆ 0 = 0， 即 ˆ ˆ 0 0 i x p mω ⎛ ⎞ ⎜ + = ⎟ ⎝ ⎠ ， ˆ ˆ 0 i x x p mω ′ + = 0， ˆ ˆ 0 0 i dx x x p x x mω ′′ ′ + = ′′ ′′ ∫ ， 3
(x1计x2=x0(x-x"),(x1x2)=-1h(x-x),(x10)=v6(x") mo dx v0(x)=0, 阶常微分方程的解为v6(x) 考虑到归一化条件, Vo(x) 激发态 n(x)=(xn)==(x1n-) ((a)n-2) Vn(n-1) a(m)(-m间 m(m(mD((xm列)(xm/p 代入(x1(x2)=x6(x-x2),(x1px2)=-i6(x-xd,有 mo y, (r)= m0b%() 至此,一维谐振子问题全部解决。 2.7)a+a的物理意义 谐振子的能量:E,=n+|an=012,3…; 零点能: E。=-ho), 表明:存在一种量子,能量为E=h,当谐振子处于第n个激发态上,意味着有n个量子 被激发了。 n:量子数,粒子数 ata:粒子数算符; 和N的共同表象:粒子数表象
ˆ ( ), ˆ ( ) d x x x x x x x p x i x x dx ′ ′′ = − ′δ δ ′′ ′ ′′ = − − ′′ ′ ∵ = ， x′′ 0 , =ψ 0 ( ) x′′ 0 ( ) 0 d x x m dx ψ ω ⎛ ⎞ ∴ + ⎜ ′ ′ ⎟ = ⎝ ⎠′ = ， 一阶常微分方程的解为 ( ) 2 2 0 m x x Ce ω ψ − = = ， 考虑到归一化条件， ( ) 2 1 4 2 0 m m x x e ω ω ψ π − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = 。 激发态 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 n x x n x a n x a n n n n ψ + + = = − = − − ( ) 1 1 2 0 0 ˆ ˆ ! ! n n n m i x a x x p n n m ω π ω + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ 2 1 1 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ! n n n m i i i dx dx x x p x x x p x x x p x x n m m m ω π ω ω ω − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫ " " = n n 代入 ˆ ( ), ˆ ( ) d x x x x x x x p x i x x dx ′ ′′ = − ′δ δ ′′ ′ ′′ = − − ′′ ′ = ，有 ( ) 2 0 1 ( ) ! n n n m d x x x n m dx ω ψ ψ π ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = 至此，一维谐振子问题全部解决。 2．7） aˆ + aˆ 的物理意义 谐振子的能量： 1 , 0,1, 2,3 2 E n n ω n ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = "； 零点能： 0 1 2 E = =ω ， 表明：存在一种量子，能量为 ，当谐振子处于第 个激发态上，意味着有 个量子 被激发了。 ε = =ω n n n : 量子数，粒子数； † ˆ N a = ˆ aˆ ：粒子数算符； Hˆ 和 Nˆ 的共同表象：粒子数表象。 4
总结代数解法的思路: 束缚态→分离谱→寻找分离量子数的下降、上升算符。 问题: 1)分离谱是由于東缚态引起的,但上面代数解法似乎没用到東缚条件,如何解释? 2)在何处用到了不简并的假设?
总结代数解法的思路： 束缚态→分离谱→寻找分离量子数的下降、上升算符。 问题： 1）分离谱是由于束缚态引起的，但上面代数解法似乎没用到束缚条件，如何解释？ 2）在何处用到了不简并的假设？ 5
