2)一维方势阱 (x) 0的情形(散射问题): 定态 Schroedinger方程 >a n(e+vo xa k2- 2mE 2m(E+Vo h 当入射波从左至右入射时 C'=0,只有5个待定常数A,A,B,B',C 由△V在-a,a点有限,q在x=-a,a处连续 A B -ika a'ikeika +Bike-ka-bikeka= dike-ika Beka+Be-ka-ce ka=0 Bik e-bike -Cike=0 只有1个待定常数,选为A,而A,B,B,C作为A的函数。若只对反射系数和透射系数感兴趣, 只求A'和C
2）一维方势阱 ( ) 0 0 x a V x V x ⎧⎪ > = ⎨ ⎪− 0的情形（散射问题）： 定态 Schroedinger 方程 2 0 2 2 " 0, 2 ( ) " 0, mE x a m E V x a ϕ ϕ ϕ ϕ ⎧ + = > ⎪⎪ ⎨ + ⎪ + = ⎪⎩ = = ′ ⎩ a − , 2 2 ( ) 0 2 2 2 2 , mE m E V k k + = ′ = = = 当入射波从左至右入射时： C′ = 0 ， 只有 5 个待定常数 A，A’，B，B’，C。 由∆V 在−a, a 点有限，ϕ ϕ, ′在 x = −a, a 处连续， 0 0 ika ik a ik a ika ika ik a ik a ika ik a ik a ika ik a ik a ika A e Be B e Ae A ike Bik e B ik e Aike Be B e Ce Bik e B ik e Cike − − ′ ′ − − ′ ′ ′ ′ − ′ ′ − ⎧ ′ ′ − − = − ⎪ ⎪ ′ ′ + − ′ ′ = ⎨ + − ′ = ⎪ ⎩ ⎪ ′ ′ − − ′ = ， 只有 1 个待定常数，选为 A，而 A′, , B B′,C 作为 A 的函数。若只对反射系数和透射系数感兴趣， 只求 A’和 C， 1
n -2ika A A Cos2k a-i-Sin a Cos2k a-i-Sin 2ka 2 k kk n 反射系数R= Cos 2k a+-Sin 2ka 透射系数T Sin-2k a 可以证明:R+T=1 考虑两种特殊情形: a)V=0,无相互作用,k'=k,n=0,则R=0,T=1,全透射 b)V≠0,但sim2ka=0,R=0,T=1,共振透射。共振能量: nh 2ka=n,n=1,2…,E=-V+ 5讨论 1)经典力学运动区间:E=T+V≥V,粒子不能在E<V的区与运动 量子力学运动区间:由 Schrodinger方程,粒子可以在V≠∞的所有区间运动 E 经典与量子粒子有共同的运动区间, 经典束缚态,量子東缚态。 E 量子比经典粒子有更大的运动区间,可以向两边 经典/经典转折点 扩展,量子遂道效应
2 2 2 2 2 2 ika i Sin k ae A A Cos k a i Sin k a η ε − ′ ′ = ′ ′ − ， 2 2 2 2 ika e C A Cos k a i Sin k a ε − = ′ ′ − , k k k k k k k k ε η ′ ′ = + = − ′ ′ 反射系数 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 Sin k a A R A Cos k a Sin k a η ε ′ ′ = = ′ ′ + , 透射系数 2 2 2 2 2 1 2 2 4 C T A Cos k a Sin k a ε = = ′ ′ + 可以证明： R +T =1. 考虑两种特殊情形： a）V0 = 0, 无相互作用，k k ′ = , η = 0 ，则 R = 0, T =1，全透射。 2 ， b）V0 ≠ 0,但sin2 0 k′a = ， R = 0, T =1, 共振透射。共振能量： 2 , k a′ = = nπ n 1, … 2 2 2 0 2 8 n n E V ma π = − + = 。 5.讨论： 1）经典力学运动区间： E T = +V ≥V ，粒子不能在 E <V 的区与运动。 量子力学运动区间：由 Schrödinger 方程，粒子可以在V ≠ ∞ 的所有区间运动。 经典与量子粒子有共同的运动区间， 经典束缚态，量子束缚态。 量子比经典粒子有更大的运动区间，可以向两边 扩展，量子遂道效应。 2
E 经典区间 量子比经典粒子有更大的运动区间,可以向右边扩 展,量子遂道效应。 E 量子与经典粒子有相同的运动区间,但量子有 反射。 2)在量子力学中,由于H,T,T一般不对易,有 E≠T+ 但 (E)=()+()≥()2 对于定态(E)=E, E≥ 这就是为什么在一维势阱中要求E>-0的原因 3)经典能量可以为零,意味着粒子不动。 量子情形,例如对于一维方势阱東缚态问题,能量E=0不是 kgka=k或 kotoka=-k 的解,意味着无频率为零的波,无静止的波。 6.三维束缚态 1)轨道角动量算符 L=F×→L=F L=EmxP,,k=1,2,3 由[元]=0.[,=0.[元,]=
量子比经典粒子有更大的运动区间，可以向右边扩 展，量子遂道效应。 量子与经典粒子有相同的运动区间，但量子有 反射。 2）在量子力学中，由于 ˆ ˆ ˆ H, , T V 一般不对易，有 E T ≠ +V ； 但 E T = + V ≥ V ≥Vmin 对于定态 E = E ， 故 E V≥ min 。 这就是为什么在一维势阱中要求 E > −V0 的原因。 3）经典能量可以为零，意味着粒子不动。 量子情形，例如对于一维方势阱束缚态问题，能量 E = 0不是 k t′ ′ gk a = = k 或 k c′ tgk a′ −k j 的解，意味着无频率为零的波，无静止的波。 6.三维束缚态 1）轨道角动量算符 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , 1,2,3 i ijk j k L r p L r p L x ε p i j k = × → = × = = G G G G G G 由 ˆ ˆ , 0, ˆ , ˆ 0, ˆ , ˆ i j i j i j i x x p = = ⎡ p ⎤ ⎡x p ⎤ = i δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 3
有 i L=ini 定义=P2+B+, [20 表明:角动量三个分量中的任意两个一般不可能同时有确定值,而总角动量与任意一个分量均 能同时有确定值 以上对易关系不依赖于表象。 在坐标表象下直角坐标系: L=-沛 在球坐标系 x,y→r,6,q, i, =in Sino+cig@Coso Ly=-in Cosp ctgBsing 06 L=i(与O无关), Sin Sin丿Sin6g2 L的本征方程: LΦ(q)=LΦ(q), iΦ(q)=LΦ(q) 解为 p)=Aem,L,=mh 考虑单值性,Φ(q)=(q+2z)→m=0,±1…±∞
有 ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ L L ˆ ˆ i j , = i=ε ijkLˆ k ， 即 ， ， ˆ ˆ ˆ , L L x y z ⎡ ⎤ = i L ⎣ ⎦ = ˆ ˆ ˆ , L L y z x ⎡ ⎤ = i L ⎣ ⎦ = ˆ ˆ ˆ , L L z x y ⎡ ⎤ = i L ⎣ ⎦ = 定义 ， ˆ2 2 2 ˆ ˆ ˆ LLL = + x y + L G 2 z 则 2 ， ˆ ˆ , 0 L Li ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ G 表明：角动量三个分量中的任意两个一般不可能同时有确定值，而总角动量与任意一个分量均 能同时有确定值。 以上对易关系不依赖于表象。 在坐标表象下直角坐标系： ˆ ˆ L i = − r ×∇ G G G = ， ˆ L i x y z z y ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ ∂ = ， ˆ L i y z x x z ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ ∂ = ， ˆ L i z x y y x ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ ∂ = 在球坐标系： x y, ,z → r,θ ,ϕ ， ˆ Lx i Sinϕ θ ctg Cosϕ θ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ = ， ˆ L i y Cosϕ θ ctg Sinϕ θ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ ∂ = ， ˆ L i z ϕ ∂ = − ∂ = (与θ 无关)， 2 2 2 2 2 ˆ 1 1 L Sin Sin Sin θ θ θ θ θ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ G = ˆ Lz 的本征方程： ( ) ( ) ˆ LzΦ = ϕ LzΦ ϕ ， ( ) z ( ) d i L d ϕ ϕ ϕ − Φ = = Φ ， 解为 ( ) im Ae ϕ Φ = ϕ , Lz = m= 。 考虑单值性， Φ = ( ) ϕ ϕ Φ( + 2 0 π ) → m = ,±1,",±∞ 4
∫(q)dg=1 故解为 (=、1 L.=mh.m=0.±1 的本征方程: LY(0,=Ly(e,) 由数学物理方程,加上Y的单值性、有限性条件, 本征值为 L2=1(1+1)n2,L=√(+1)h,角量子数1=012…∞。 本征态为球谐函数n(,q)=NmP(CosO)e,P(x)为连带 Legendre多项式。 磁量子数m=0,±1,±2,…,±l共21+1个。 注意:由于角动量分量的取值受到总角动量的约束,Ym中的m不能取值到±oo 简并度:本征值』2只与角量子数有关,但本征态还与磁量子数有关,简并度g=2l+1。 归一化:∫Smex1(.)=1→Nm= -m)(2+) (1+m)4z P与L的共同本征态: 由于L]可以有共同本征态,事实上,由于L与O无关,面(0)中与有关的部分 就是L的本征态,故Mn(0,q)是D,L2的共同本征态 Eym(0,q)=(1+1)h3m(), L, Ym (e, p)=mhYm(e, m=0,±1,l
归一化， ( ) 2 2 0 1 1 2 d A π ϕ ϕ π Φ = → = ∫ . 故解为 ( ) 1 , , 0, 1,... 2 im z e L m m ϕ ϕ π Φ = = = = ± ± ∞ 。. ˆ2 L G 的本征方程： ( ) ( ˆ2 2 L Y θ, , ϕ = L Y θ ϕ ) G 由数学物理方程，加上Y 的单值性、有限性条件， 本征值为 ( ) 2 2 L l = +l 1 , = L l = (l +1)=， 角量子数l = ∞ 0,1, 2" 。 本征态为 球谐函数 ( ) , ( ) m im Y N lm lm Pl Cos e ϕ θ ϕ = θ ， ( ) m Pl x 为连带 Legendre多项式。 磁量子数 m l = ± 0, 1,±2,",± 共2l +1个。 注意： 由于角动量分量的取值受到总角动量的约束，Ylm 中的m 不能取值到±∞。 简并度：本征值 L2 只与角量子数有关，但本征态还与磁量子数有关，简并度 g = 2l +1。 归一化： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 ! 2 1 , 1 !4 lm lm l m l Sin d d Y N l m π π θ θ ϕ θ ϕ π − + = → = + ∫ ∫ ˆ2 L G 与 Lˆ z 的共同本征态： 由于 2 可以有共同本征态。事实上，由于 与 无关，而 ˆ ˆ , L Lz ⎡ ⎤ = ⎢⎣ ⎦⎥ G 0, ) ˆ Lz θ ( , Ylm θ ϕ 中与ϕ 有关的部分 就是 Lˆ z 的本征态，故 ( ) , Ylm θ ϕ 是 2 的共同本征态： ˆ ˆ , L Lz G ( ) ( ) ( ˆ2 2 , 1 L Ylm lm θ ϕ = + l l Y θ,ϕ ) G = ， ( ) ( ) ˆ , , 0,1,2,... , 0, 1,... L Yz lm m Ylm l m θ ϕ = θ ϕ = ∞ = ± = ± l 5
