第七章实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理 区间套定理与柯西收敛准则 定义1区间套:设[a.])是一闭区间序列,若满足条件 )对n,有 ,b],即a,sa21<bsb2,亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中 bx-a2→0, 即当→0时区间长度趋于零 则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套 区间套还可表达为 1≤a 我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列(a1)和(b,),其中(a)递 增, 递减 (1(-1 1+ 例如n和都是区间套.但 ((0,-] ([--,1+-]) 和 都不是 区间套定理 定理7.1(区间套定理)设{a2,b2])是一闭区间套.则在实数系中存在唯 的点5,使 对Vn有 5∈[a,an].简言之,区间套必有唯一公共点 二聚点定理与有限覆盖定理第七章 实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义 1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ） 对 , 有 , 即 , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ） . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递 增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 区间套定理 定理 7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯 一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二 聚点定理与有限覆盖定理