则排队系统的输出过程也是强度为λ的 Poisson过程. 证明由于{X,:≤T}每次增加1都发生在TnT时刻,其中{n}为参数为λ的指 数流的累次到达时刻,有可逆性可知{X;:【≤7}也应具有同样的性质.但是 X:t≤T}增加1的时刻正是{X,:1≤7}减少1的时刻,可见{X,t≤T}减少1的时 刻与{τn}同分布,也就是{X,:I≤T}减少1的时刻也是参数为λ的 Poisson流 [注]MMN排队系统(参见§2中的(2.2)段)是满足可逆性引理的典型例子. 最简单排队过程— Markov排队过程 2.1最简单的排队过程-M/M/系统 假定服务系统只有一个”服务员”,顾客到达的时间间隔相互独立同分布,且服从分布 exp,而每个顾客接受服务的时间长度也相互独立同分布,服从expa分布,并且与排队 系统的输入流相互独立.这种系统在排队论中记为M/M/Ⅰ系统,其中第一个”M”表 顾客流服从指数分布,第二个”M”表示服务时间长度流服从指数分布,最后一个数字 “1”表示只有1个“服务员”) 记在(0,]中到达的顾客数目为N2,则它是强度为λ的 Poisson过程.如果在t时刻的 排队过程X1≠0,则系统不在闲期,此时接受了服务的顾客的个数(我们将它记为L1)在 很短的时间内,是以强度为μ的 Poisson过程的规律相增加的.因此,当X;≠0且h很 小时,在(1,1+h]中接受了服务的顾客个数L满足 P(Lb≥2)=o(h),P(Lh=1)=h+o(h),P(L=0)=(1-h)+o(h).(7.2) (这里需要警觉的是:接受了服务的顾客个数L,并不总是顾客接受服务的时间长度流对 应的 Poisson过程M, 这是因为当队伍空时就不会出现服务.虽然服务流的计数过程 N{m):t≥0}总是与顾客流的计数过程{Nm:t≥0}独立的,但是{L1:t≥0}因为受排 队过程{X1t≥0)是否处于忙期的影响,从而也受{Nm:t≥0}的影响.所以,要想用服 务流的计数过程N来描述接受了服务的顾客个数,必须满足:X,≥服务线的数目, 且h很小 此系统的排队过程X的状态空间为S={0,1,…,n,…}·下面考察排队过程在(1+h177 则 排队系统的输出过程也是强度为l 的 Poisson 过程. 证明 由于{X :t T} t £ 每次增加 1 都发生在t n ÙT 时刻, 其中{ }n t 为参数为l 的指 数流的累次到达时刻 , 有可逆性 可 知 { : } ( ) ^ X t T T t £ 也 应具有同样的性质 . 但 是 { : } ^ ( ) X t T T t £ 增加 1 的时刻正是{X :t T} t £ 减少 1 的时刻, 可见{X :t T} t £ 减少 1 的时 刻与{ }n t 同分布. 也就是{X :t T} t £ 减少 1 的时刻也是参数为l 的 Poisson 流. [注] M/M/N 排队系统（参见§2 中的(2. 2)段）是满足可逆性引理的典型例子. 2. 最简单排队过程— Markov 排队过程 2. 1 最简单的排队过程-- M / M /1系统 假定服务系统只有一个 ”服务员”, 顾客到达的时间间隔相互独立同分布, 且服从分布 l exp , 而每个顾客接受服务的时间长度也相互独立同分布, 服从 m exp 分布，并且与排队 系统的输入流相互独立. 这种系统在排队论中记为 M / M /1系统, 其中第一个 ”M ”表 示顾客流服从指数分布, 第二个 ”M ”表示服务时间长度流服从指数分布, 最后一个数字 “1”表示只有 1 个 “服务员” ) 记在(0,t]中到达的顾客数目为 Nt , 则它是强度为l 的 Poisson 过程. 如果在t 时刻的 排队过程 Xt ¹ 0 , 则系统不在闲期， 此时接受了服务的顾客的个数(我们将它记为 Lt )在 很短的时间内, 是以强度为 m 的 Poisson 过程的规律相增加的. 因此, 当 Xt ¹ 0 且h 很 小时, 在(t,t + h] 中接受了服务的顾客个数 Lh 满足 P(L 2) o(h) h ³ = , P(L 1) h o(h) h = = m + , P(L 0) (1 h) o(h) h = = - m + . (7.2) (这里需要警觉的是: 接受了服务的顾客个数 Lt , 并不总是顾客接受服务的时间长度流对 应的 Poisson 过程 (serve) Nt , 这是因为当队伍空时就不会出现服务. 虽然服务流的计数过程 { : 0} ( ) N t ³ serve t 总是与顾客流的计数过程{ : 0} ( ) N t ³ in t 独立的，但是{L : t ³ 0} t 因为受排 队过程{X : t ³ 0) t 是否处于忙期的影响, 从而也受{ : 0} ( ) N t ³ in t 的影响. 所以, 要想用服 务流的计数过程 (serve) Nh 来描述接受了服务的顾客个数, 必须满足: Xt ³ 服务线的数目, 且h 很小. 此系统的排队过程 Xt 的状态空间为 S = {0,1,L, n,L} . 下面考察排队过程在(t,t + h]