第2期 张柳等：基于C on ky指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 251° 反应扩散方程各种类型冲击波解的存在性. (NL以.考虑这指数对的一个复形a.(y= 1基本概念 a(N/a(I少，其中a(N,a()是相关常规的 链，则M的同调Cam指标被定义为 11 Conje指标 CH(M)=H(NI=H(a(N I). 定义11设(X)为一局部紧的度量空 其中，H(y)=(H(y)。9定义为相对 间，&X是一个不变的紧集七S如果存在的 同调群，且总是存在一个指数对(y少，使得H 一个邻域U使得，极限集w(∩S=A则A称为 (N山=H(VL[马.经常采用系数Z2Z 是S上的一个吸引子：A={∈Sw(9∩A=} 定理11到假设S包含一个双曲不动点，且 称为在S中对应的排斥子.(AA称为不变集S 相关不稳定流形维数为即是正实部特征值的 的吸引排斥对分解.S中的从A到A的连接轨道 数量).S的同调Conley指标CH(S)= 的集合记为 (CH(S)e空o,则有 CA:A S Sl(CAa(CA). (Z n H(S含 定义12设S为孤立不变集MS={MW9 0 其他 CS∈P)是S的紧的互不相交不变子集的有限 文章后面的部分，S的Conjey指标简写作 族；P是一个指标集.若M(S满足以下条件：在指 ∑，即H(S=∑” 标集P上存在一偏序>，对每一个∈SYM9 性质119对于一吸引子排斥对(AA人 都存在PEP且使得w(9CM,a(9C 有从A的Conle指标的阶同调到A的Conley指 MP,则称此有限族MS是S的一个Mos分解， 标的4-1阶同调上的映射日称为流定义边界映 Mos分解的元M马称为Mos集. 射，有以下两个性质. 偏序>称作可允许偏序.最小的可允许偏序称 (1)如果≠0则心44)≠心 作流定义偏序，记作>.如果q当且仅当存 (2)如果4是指标为∑的双曲不动点，是 在一个序列生BB；R=P使得CMR), M))≠心. 指标为∑“的双曲不动点且A的不稳定流型与 根据Morse分解的定义，可看出Morse分解是 的稳定流型横向相交，则是带方向的连接轨道 吸引子排斥对分解的一般化，对于S的一个吸引 数.特别地，如果用系数乙且若连接数为奇数则日 子排斥对分解(AA),定义一个Moe分解 是一个同构.若连接数为偶数，则=0 MS={M(D|=122>1,则有M(1)=A 定义15设有微分方程X=〔，中(：t9是此 M2)=A 方程的解.则不动点X的稳定流形是指当趋于正 定义13在(P>)上有一个互不相交区 无穷时，趋于不动点的所有点的集合，即 间有序对(，IJ)满足UE(>:且若∈I W(文)={B:1m吨(：B)=x}= ∈J则吵9其中(P>)为(>)中区间的集 {B:ωB)={X}. 合.那么称(，】J)为邻近对，则临近对的集合定义为 同样，不稳定流形定义是指负无穷时，趋于不 2(P>. 动点的所有点的集合，即 引理11如果，IE(P>,则(M, W(x)={:m中(B)=x}= M())为M()一对吸引子排斥对. {Ba(B)={x}. 定义14设S是一个孤立不变集一对紧集(N 1.2联络矩阵 以，C称为是S的指标对，如果下述条件满足： 令MS={M(P|E(P>)}是一个Morse (1)S=nY NV,并且NY是的邻域. 分解，每一个Mos集是一个孤立不变集因此有形 (2)关于N是正向不变的，也即若↓且 如CH(MP的一个Came指标令 P([01,9Cy则9([0夕cL A巴，aH(M9→®，CH(MP, (3)I是的出口集也即给定∈N以及 则△是一线性算子，它可写成矩阵△=[△(P9], 0使得9(9任N则存在长[0]，使得9([0 其中，△(P9:⊕CH(M9)⊕H(MD.△ ,9CN且P(d9CL 是有关偏序>的上三角矩阵且满足如果呼q则 让MCS是一个孤立不变集，且它的指数对是 △(，9=0如果它是一个度为一1的映射，即它是第 2期 张 柳等:基于 Conley指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 反应扩散方程各种类型冲击波解的存在性 . 1 基本概念 1.1 Conley指标 定义 1.1 [ 1] 设 ( X, μ)为一局部紧的度量空 间, S X是一个不变的紧集, A S, 如果存在 A的 一个邻域 U使得 ω极限集 ω(U∩ S) =A, 则 A称为 是 S上的一个吸引子;A1 ∶={x∈ S ω( x) ∩ A= } 称为 A在 S中对应的排斥子 .( A, A1 )称为不变集 S 的吸引 --排斥对分解 .S中的从 A1 到 A的连接轨道 的集合记为 C(A1;A;S)∶={x∈ S ω( x) A, α( x) A1}. 定义 1.2 设 S为孤立不变集, M( S) ={M( p) S p∈ P}是 S的紧的互不相交不变子集的有限 族 ;P是一个指标集.若 M( S)满足以下条件 :在指 标集 P上存在一偏序 >, 对每一个 x∈ S ∪p∈ PM( p) 都存在 p, q∈ P且 p>q使得 ω( x) M( q), α(x) M( p), 则称此有限族 M( S)是 S的一个 Morse分解, Morse分解的元 M( p)称为 Morse集 . 偏序 >称作可允许偏序 .最小的可允许偏序称 作流--定义偏序, 记作 >φ.如果 p>φq当且仅当存 在一个序列 q=p0, p1, …, pn =p使得 C( M( pi+1 ), M( pi) ) ≠ . 根据 Morse分解的定义, 可看出 Morse分解是 吸引子 --排斥对分解的一般化, 对于 S的一个吸引 子 --排斥对 分 解 ( A, A1 ), 定 义 一个 Morse分解 M( S) ={M( p) p=1, 2, 2 >1}, 则有 M( 1) =A, M( 2) =A1. 定义 1.3 [ 1] 在 ( P, >)上有一个互不相交区 间有序对 (I, J), 满足 I∪ J∈ Γ( P, >) ;且若 p∈ I, q∈ J, 则 p≯q, 其中 Γ( P, >)为 ( P, >)中区间的集 合 .那么称 (I, J)为邻近对, 则临近对的集合定义为 Γ2 (P, >) . 引理 1.1 [ 1] 如果 I, J∈ Γ2 ( P, >), 则 ( M( I), M( J) )为 M( IJ)一对吸引子--排斥对 . 定义 1.4 设 S是一个孤立不变集,一对紧集( N, L), L N称为是 S的指标对,如果下述条件满足: ( 1) S=Inv( N L, φ), 并且 N L是 S的邻域. ( 2) L关于 N是正向不变的, 也即若 x∈ L, 且 φ( [ 0, t], x) N, 则 φ([ 0, t], x) L. ( 3) L是 N的出口集, 也即给定 x∈ N以及 t1 > 0使得 φ( t1, x) N, 则存在 t0∈ [ 0, t1 ], 使得 φ( [ 0, t0 ] , x) N, 且 φ(t0, x) L. 让 M S是一个孤立不变集, 且它的指数对是 ( N, L), 考虑这指数对的一个复形 ＊ ( N, L) = ＊ (N) / ＊ (L), 其中 ＊ ( N), ＊ ( L)是相关常规的 链, 则 M的同调 Conley指标被定义为 CH＊ (M) =H＊ ( N, L) =H＊ ( ＊ ( N, L) ). 其中, H＊ ( N, L) =( Hk( N, L) ) k∈ Z≥ 0 [ 8] 定义为相对 同调群 [ 1] , 且总是存在一个指数对 ( N, L), 使得 H＊ ( N, L) =H＊ ( N/L, [ L] ) .经常采用系数 Z/2Z. 定理 1.1 [ 9] 假设 S包含一个双曲不动点, 且 相关不稳定流形维数为 n(即 n是正实部特征值的 数量 ) . S的 同 调 Conley指 标 CH＊ ( S) = ( CHk(S) )k∈ Z≥0, 则有 CHk( S) Z2, k=n 0, 其他 文章后 面的部 分, S的 Conley指 标简写 作 ∑ n , 即 CH＊ (S) =∑ n . 性质 1.1 [ 10] 对于一吸引子 --排斥对 ( A, A1 ), 有从 A1 的 Conley指标的 q阶同调到 A的 Conley指 标的 q-1阶同调上的映射 , 称 为流 --定义边界映 射, 有以下两个性质 . ( 1) 如果 ≠0, 则 C( A;A1 ) ≠ . ( 2) 如果 A1 是指标为 ∑ k 的双曲不动点, A是 指标为 ∑ k-1 的双曲不动点, 且 A1 的不稳定流型与 A的稳定流型横向相交, 则 是带方向的连接轨道 数.特别地, 如果用系数 Z2, 且若连接数为奇数, 则 是一个同构.若连接数为偶数, 则 =0. 定义 1.5 设有微分方程 x · =f( x), ( t;x)是此 方程的解 .则不动点 x ＊的稳定流形是指当 t趋于正 无穷时, 趋于不动点的所有点的集合, 即 W s ( x ＊ ) ={p0 :tl※im∞ ( t;p0 ) =x ＊ }= {p0 :ω(p0 ) ={x ＊ }}. 同样, 不稳定流形定义是指 t负无穷时, 趋于不 动点的所有点的集合, 即 W u (x ＊ ) ={p0 :t※li-m∞ ( t;p0 ) =x ＊ }= {p0:α( p0 ) ={x ＊ }}. 1.2 联络矩阵 令 M(S) ={M( p) p∈ ( P, >)}是一个 Morse 分解, 每一个 Morse集是一个孤立不变集, 因此有形 如 CH＊ ( M( p) )的一个 Conley指标, 令 Δ:p ∈ PCH＊ (M( p) )※p ∈ PCH＊ ( M(p) ), 则 Δ是一线性算子, 它可写成矩阵 Δ =[ Δ( p, q) ], 其中, Δ( p, q) : CH＊ (M( q) ) ※ CH＊ ( M(p) ).Δ 是有关偏序 >的上三角矩阵且满足如果 p≯q则 Δ( q, p) =0.如果它是一个度为 -1的映射, 即它是 · 251·