再考察数集S中元素的无限小数表示中第一位小数的数字,令它们中最大 的为a1,并记 S={x|x∈S并且x的第一位小数为ax} 显然S也不是空集,并且x∈S,只要xgS1,就有x<∝0+0.a1。 一般地,考察数集S中元素的无限小数表示中第n位小数的数字,令它们 中最大的为a,,并记 Sn={x|x∈Sn1并且x的第n位小数为xn} 显然Sn也不是空集,并且x∈S,只要xgSn,就有x<a0+0.a1a2…∝n。 不断地做下去,我们得到一列非空数集S=S=S1=…Sn=…,和一列 数αn,α1;α2,…,α 满足 o∈Z; k∈{0,1,2,…,9},Vk∈N。 令 C1C2…Cn 这就是我们要找的数集S的上确界。 (6)我们分两步证明β就是数集S的上确界。 (a)x∈S,或者存在整数n≥0,使得xgS;或者对任何整数n≥0, 有x∈Sn。若x∈S,便有 ≤阝 若x∈Sn(n∈NU{0}),由Sn的定义并逐位比较x与β的整数部分与每一个小 数位上的数字,即知x=β。所以x∈S,有x≤β,即β是数集S的上界。 (b)VE>0,只要将自然数n取得充分大,便有再考察数集 中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令它们中最大 的为 ，并记 S0 α1 S1 = ∈ { | x x S x } 0 1 并且 的第一位小数为α 。 显然S1也不是空集，并且∀ x ∈S ，只要 x ∉S1，就有 x ＜α0 +0.α1。 一般地，考察数集 中元素的无限小数表示中第 n 位小数的数字，令它们 中最大的为 ，并记 Sn−1 αn Sn = ∈ − { | x x S x n } n n 1 并且 的第 位小数为α 。 显然Sn 也不是空集，并且∀ x ∈S ，只要 x ∉Sn ，就有 x ＜α0 +0.α1 α2 …αn 。 不断地做下去，我们得到一列非空数集 S ⊃ S0 ⊃ S1 ⊃…⊃ Sn ⊃…，和一列 数α0 ，α1，α2 ，…，αn ,…，满足 α0 ∈Z ； α ｛0,1,2,…，9}, k ∈ ∀k ∈ N 。 令 β = α0 +0.α1 α2 …αn …， 这就是我们要找的数集S 的上确界。 （6）我们分两步证明β 就是数集S 的上确界。 （a） ∀ x ∈S ，或者存在整数n0 ≥ 0 ，使得 x ∉Sn0 ；或者对任何整数 ， 有 。若 ,便有 n ≥ 0 x ∈Sn x ∉Sn0 x ＜α0 +0.α1 α2 …αn0 ≤β 。 若 x ∈Sn ( ∀ ∈n N ∪{0} )，由 Sn 的定义并逐位比较 x 与β 的整数部分与每一个小 数位上的数字，即知 x = β 。所以∀ x ∈S ，有 x ≤ β ，即β 是数集S 的上界。 (b) ∀ε > 0，只要将自然数 n0取得充分大，便有 1 10 0 n < ε