且maxS是这有限个数中的最大者,minS是这有限个数中的最小者。但是当S是 无限集时,情况就不同了。例如集合A={x|x≥0}没有最大数,但有最小数, 且minA=0;集合B={x|0≤x<1}没有最大数,但有最小数。 注意在证明数集S没有最大数时,我们采用的思路是:x∈S,3∈S:x>x。 (3)给出数集的上确界与下确界的定义:设数集S有上界,记U为S的上界 全体所组成的集合,则显然U不可能有最大数,但是U是否一定有最小数?如 果U有最小数β,就称β为数集S的上确界,即最小上界,记为 supS。 由定义,可知上确界β满足下述两性质: (a)β是数集S的上界:x∈S,有x≤β; (b)任何小于β的数不是数集S的上界:V>0,彐x∈S,使得x>β-ε (4)叙述实数的无限小数表示:任何一个实数x可表示成 其中[x]表示x的整数部分,(x)表示x的非负小数部分。例如对x=34,有 [x]=3,(x)=04;对x=-27,有[x]=-3,(x)=0.3。我们将(x)表示成无限小数 的形式 (x)=0.a1 其中a1,a2,…,an,…中的每一个都是数字0,1,2,…,9中的一个。若(x) 是有限小数,则在后面接上无限个0,这称为实数的无限小数表示。注意无限小 数0a1a2a2000.(an≠0)与无限小数0aa2…(a2-1)99是相等的,为了保持 表示的唯一性,我们约定在(x)的无限小数表示中不出现后者。这样,任何一个 实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示: ao+0a1a2…an…|a0=[x],0a1a2…an…=(x),x∈S} (5)我们通过下述方法来找出数集的上确界:设数集S有上界,则可令S中 元素的整数部分的最大者为a0(a0一定存在,否则的话,S就不可能有上界), 并记 S。={x|x∈S并且[x]=ao}。 显然S不是空集,并且x∈S,只要xES,就有x<ao且max S 是这有限个数中的最大者，min S 是这有限个数中的最小者。但是当S 是 无限集时，情况就不同了。例如 集合 A = { | x x ≥ 0} 没有最大数，但有最小数， 且min A = 0；集合 B = ≤ { | x x 0 < 1}没有最大数，但有最小数。 注意在证明数集S 没有最大数时，我们采用的思路是：∀x ∈ S,∃x'∈ S : x'> x。 （3）给出数集的上确界与下确界的定义：设数集S 有上界，记 U 为 S 的上界 全体所组成的集合，则显然 U 不可能有最大数，但是 U 是否一定有最小数? 如 果 U 有最小数β ，就称β 为数集 S 的上确界，即最小上界,记为 β = sup S 。 由定义，可知上确界β 满足下述两性质： （a）β 是数集S 的上界：∀ x ∈S ，有 x ≤ β ； （b） 任何小于β 的数不是数集S 的上界：∀ε > 0，∃ x ∈S ,使得 x > β − ε 。 （4）叙述实数的无限小数表示：任何一个实数 x 可表示成 x =［ x ］+( x )， 其中［ x ］表示 x 的整数部分，( x )表示 x 的非负小数部分。例如对 x = 34. ,有 [ ] x = 3,(x) = 0 4. ；对 x = −2 7. ,有[ ] x = −3, (x) = 0 3. 。我们将( x )表示成无限小数 的形式： ( x ) = 0 , 1 2 .a a " "an 其中a a a 中的每一个都是数字 0，1，2，…，9 中的一个。若( 1 2 ， ，"， ，n " x ) 是有限小数，则在后面接上无限个 0，这称为实数的无限小数表示。注意无限小 数0.a a1 2" " ap 000 ( ap ≠ 0 )与无限小数0. ( a a1 2" ap − 1)999"是相等的，为了保持 表示的唯一性，我们约定在( x )的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个 实数集合S 就可以由一个确定的无限小数的集合来表示： ｛a0 + 0.a1a2 "an "｜a0 =［ x ］, 0 = ( 1 2 .a a a " n" x ), x ∈S ｝。 （5）我们通过下述方法来找出数集的上确界：设数集 S 有上界，则可令 S 中 元素的整数部分的最大者为α ( 0 α0 一定存在，否则的话， S 就不可能有上界)， 并记 S0 = ∈ { | x x S 并且[x] = α }0 。 显然S0不是空集，并且∀ x ∈S ，只要 x ∉S0，就有 x ＜α0