BS期权定价的波动率估计与“波动率微笑” 、波动率估计 在影响期权定价模型的5个因素中,标的股票的现有价格,期权执行价格,期权的到 期时间,无风险利率都是可见的,唯有波动率是不可预测的。通常,有两种方法可以对波 动率进行估计,即历史波动率( historical volatility)与隐含波动( implied volatility)。其中,历史波动率估计法的逻辑基础在于假定股票波动率水平在过去和未来 保持不变,主要包括简单移动平均法和 GARCH模型方法。 1、方差估计法 计算方式如下:先计算出标的资产价格S第i天的报酬u:,即u:=ln(S/S-),利用此 前一段时间(可选择3个月、半年)资产报酬数据,估计日报酬的标准差。即: (un-i-u) (un--)2 这里, m分《,为u的算术平均。可以再根据G。a 将日波动率转换为年化波 动率,τ为一年中的交易日天数。需要注意的是,简单移动平均法假设,最近n天内不同 时期收益率数据的权重是完全相等的 2、 GARCH模型估计 由于采用方差估计波动率时,并未考虑报酬率会随着时间而改变,因而无法充分反映市 场波动率的情形。 Engle(1982)提出的ARCH模型,条件方差是过去方差的函数,条件方差可 随着时间而改变。因此,根据ARCH模型的这一性质,可以用ARCH模型来研究和解释金融市 场的波动率问题。尤其是 Bollerslev(1986)提出的 GARCH模型,充分显示了估计金融市场 波动性的参数精简原则。因而在许多文献中,我们可以发现利用 GARCH(1,1)模型来估计波 动性具有相当良好的效果。于是在实际应用中,许多学者建议不断利用 GARCH(1,1)模型, 不但符合参数精简原则,又比较能掌握市场上真实的波动性, 3、隐含波动率 隐含波动率是估计股票波动率的另一类方法。它假定B-S模型是正确的,并利用期权 价格和其他参数反推波动率的数值。隐含波动率的计算要求股票资产都存在相应的期权市 在现实市场中,隐含波动率和历史波动率往往不一致。实证研究表明,隐含波动率是对 波动率σ的一个更好地估计。图1是2006年3月2日至2006年11月14日华菱权证的历 史波动(方差估计)和隐含波动的对比图1 BS 期权定价的波动率估计与“波动率微笑” 一、波动率估计 在影响期权定价模型的 5 个因素中，标的股票的现有价格，期权执行价格，期权的到 期时间，无风险利率都是可见的，唯有波动率是不可预测的。通常，有两种方法可以对波 动率进行估计，即历史波动率(historical volatility)与隐含波动(implied volatility)。其中，历史波动率估计法的逻辑基础在于假定股票波动率水平在过去和未来 保持不变，主要包括简单移动平均法和 GARCH 模型方法。 1、方差估计法 计算方式如下：先计算出标的资产价格 S 第 i 天的报酬 ut ，即 ui =ln(Si/Si-1)，利用此 前一段时间（可选择 3 个月、半年）资产报酬数据，估计日报酬的标准差。即： 2 2 1 1 ( ) 1 m n i i u u m        2 1 1 ( ) 1 m n i i u u m        （1） 这里， 1 1 m n i i u u m     为 i u 的算术平均。可以再根据 ˆ     将日波动率转换为年化波 动率，  为一年中的交易日天数。需要注意的是，简单移动平均法假设，最近 n 天内不同 时期收益率数据的权重是完全相等的。 2、GARCH 模型估计 由于采用方差估计波动率时，并未考虑报酬率会随着时间而改变，因而无法充分反映市 场波动率的情形。Engle(1982)提出的 ARCH 模型，条件方差是过去方差的函数，条件方差可 随着时间而改变。因此，根据 ARCH 模型的这一性质，可以用 ARCH 模型来研究和解释金融市 场的波动率问题。尤其是 Bollerslev (1986)提出的 GARCH 模型，充分显示了估计金融市场 波动性的参数精简原则。因而在许多文献中，我们可以发现利用 GARCH (1,1)模型来估计波 动性具有相当良好的效果。于是在实际应用中，许多学者建议不断利用 GARCH (1,1)模型， 不但符合参数精简原则，又比较能掌握市场上真实的波动性。 3、隐含波动率 隐含波动率是估计股票波动率的另一类方法。它假定 B-S 模型是正确的，并利用期权 价格和其他参数反推波动率的数值。隐含波动率的计算要求股票资产都存在相应的期权市 场。 在现实市场中，隐含波动率和历史波动率往往不一致。实证研究表明，隐含波动率是对 波动率  的一个更好地估计。图 1 是 2006 年 3 月 2 日至 2006 年 11 月 14 日华菱权证的历 史波动（方差估计）和隐含波动的对比图