(1)A2:(2)矩阵A的特征值与特征向量。 解(1)由A=aTB及'B=0,有 A2=(aB)(aB)=a(B'a)B"=a(a"B)B=0 (2)设入是A的任一特征值，对应入的特征向量为X,即Ax=x,于是 A2x=λAx=12x 因为A2=0,所以2x=0,由x≠0得入=0，即A的特征值全为零。又 ab1ab2… ab 「b1b2… b ab ab2 …a2bn 0 0. 0 A= anb1anb2…anbn 00…0 故方程组A=0的基础解系为 于是A的属于特征值入=0的全部特征向量为 k1a1+k22+…+kn-0m- 其中k,k2,…,kn是不全为零的常数。 例6已知A是n阶方阵，元1,2，…，入n是它的n个特征值，a1,a2,…,n是其对应的n 个线形无关的特征向量，求A一入I的全部特征值和一组线形无关的特征向量。 解由已知可得A=入，(i=1,2,…,n),将其变形可得到 Aa:=元，a,=(21+元-元1)a:=入1，+(2-元1)a 从而 Aa,-,a,=(2-入1)a 即 (A-2I)a,=(2,-入1)a 这就说明入，-入1(i=1,2,…,n)。一组线形无关的特征向量为a1,a2,…,an。 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建ww.fineprint.cn(1) 2 A ；(2) 矩阵 A 的特征值与特征向量。 解 (1) 由 A=a b T 及a b = 0 T ，有 A 0 2 = = = = T T T T T T (ab )(a b ) a(b a)b a(a b)b (2) 设l 是 A 的任一特征值，对应l 的特征向量为 x，即 Ax = lx ，于是 A x Ax x 2 2 = l = l 因为 = 0 2 A ，所以 x = 0 2 l ，由 x ¹ 0 得l = 0 ，即 A 的特征值全为零。又 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 0 0 0 0 0 0 ~ 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L M M M L L L M M M L L n n n n n n n b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A 故方程组 Ax=0 的基础解系为 T n n T T b b b b b b ú û ù ê ë é = - ú û ù ê ë é = - ú û ù ê ë é = - - , 1, 0, , 0 , , 0, 1, , 0 , , , 0, , 0, 1 1 1 1 3 2 1 2 a1 L a L L a L 于是 A 的属于特征值l = 0 的全部特征向量为 1 + 2 2 + + n-1 n-1 k a1 k a L k a 其中 1 2 1 , , , n- k k L k 是不全为零的常数。 例 6 已知 A 是 n 阶方阵，l l ln , , , 1 2 L 是它的 n 个特征值，a a an , , , 1 2 L 是其对应的 n 个线形无关的特征向量，求 A I - l1 的全部特征值和一组线形无关的特征向量。 解 由已知可得 (i 1,2, , n) Aai = liai = L ，将其变形可得到 ai liai l li l ai l ai li l ai ( ) ( ) A = = 1 + - 1 = 1 + - 1 从而 ai liai li l ai ( ) A - = - 1 即 l ai li l ai ( ) ( ) - 1 = - 1 A I 这就说明 ( 1,2, , ) 1 i n li - l = L 。一组线形无关的特征向量为a a an , , , 1 2 L 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn