101 又A=020=2(a-1),所以=1， 10a 1-201 (2)A-I= 02-10 =-1(2-元)2 1 0a-λ 所以另一特征值为2。 解法二(1)A的特征多项式 1-0 1 A-I= 0 2-元0=(1-元)2-元)a-)-(2-)(* 1 0a- 因为入=0是A的特征值，所以将入=0代入(*)有2a-2=0,即=1。 (2)将1代入(*)，得特征方程为 2(2-元)(2-2)=0 从而入=2为A的另一特征值。 例3设A满足A2-3A+2I=0,试求2A-1+3I的特征值。 解因为A为抽象矩阵，所以由定义求解，设入为A的特征值，对应的特征向量x≠0 则，Ax=x,从而由 (A2-3A+2x=A2x-3A+2x=(22-3+2)x=0 可得元，=1方，=2。又2A1+31的特征值为名+3所以2A+3引的特征值为5或4. 例4设A为n阶实矩阵，AAT=A<0,试求(A)广的一个特征值。 解由于(A)=(A)~,，故可先算A的特征值，而这又只需算出A的特征值及A。 因为AAT=I,所以A=1,既A=±1，又A<0,所以A=-1。而A+=A AT+1=AA+=-A+,故A+=0即，元=-1是A的一个特征值。 于是可得A'的一个特征值合，即为1。所以(4)即(A)广的一个特征值为1。 例5设向量a=a1,a2,…,an了，B=[B,B2,…,Bn],满足aB=0, 且a,b≠0，记n阶方阵A=aB,求： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn又 2( 1) 1 0 0 2 0 1 0 1 = = a - a A ，所以 a=1， (2) 2 (2 ) 1 0 0 2 0 1 0 1 l l l l l l = - - - - - - = a A I 所以另一特征值为 2。 解法二 (1) A 的特征多项式 (1 )(2 )( ) (2 ) 1 0 0 2 0 1 0 1 l l l l l l l l = - - - - - - - - - = a a A I (*) 因为l = 0 是 A 的特征值，所以将l = 0 代入(*)有 2a-2=0，即 a=1。 (2) 将 a=1 代入(*)，得特征方程为 l(2 - l)(l - 2) = 0 从而l = 2 为 A 的另一特征值。 例 3 设 A 满足 A A 2I 0 2 - 3 + = ，试求 A I 1 2 + 3 - 的特征值。 解 因为 A 为抽象矩阵，所以由定义求解，设l 为 A 的特征值，对应的特征向量x ¹ 0 则， Ax = lx ，从而由 A A 2I x A x 3A 2x x 0 2 2 2 ( - 3 + ) = - + = (l - 3l + 2) = 可得 1, 2 l1 = l2 = 。又 A I 1 2 + 3 - 的特征值为 3 2 + l 所以 A I 1 2 + 3 - 的特征值为 5 或 4。 例 4 设 A 为 n 阶实矩阵， AA = I, A < 0 T ，试求 * ( ) 1 A - 的一个特征值。 解 由于 * * 1 ( ) ( ) - - A = A 1 ，故可先算 * A 的特征值，而这又只需算出 A 的特征值及 A 。 因为AA I, T = 所以 1 2 A = ，既A = ±1，又 A < 0 ，所以 A = -1。而 A + I = A A I A A I A I T + = + = - + ，故 A + I = 0即，l = -1是 A 的一个特征值。 于是可得 * A 的一个特征值 l A ，即为 1。所以 * 1 ( ) - A 即 * ( ) 1 A - 的一个特征值为 1。 例 5 设向量 [ ] T a a a an , , , = 1 2 L ， [ ] T b b b bn , , , = 1 2 L ，满足a b = 0 T ， 且 0 a1 b1 ¹ ，记 n 阶方阵 A=a b T ，求： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn