定理8任意一个实二次型 X.x 都可以经过正交的线性替换变成平方和 1y2+2y2+…+n 其中平方项的系数λ1,A2,…,就是矩阵A的特征多项式全部的根 最后指出,这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方 程,以及讨论二次曲线的分类 在直角坐标系下,二次曲线的一般方程是 ax+ax+a x+2a23y2+2b1x+2b2y+2b2+d=0(5) 令 b A yl,b=b2 b 则(5)可以写成 XAX +2BX+d=0 经过转轴,坐标变换公式为 CiC12C13‖x 或者X=CX1 1 其中C为正交变换且=1,在新坐标系中,曲面的方程就是 X(CAC)X1+2(B'C)X,+ 根据上面的结果,有行列式为1的正交矩阵C使 20 0023 这就是说,可以作一个转轴,使曲面在新坐标系中的方程为 A1x2+2y2+13y2+2bx1+2b2y1+2b2=1定理 8 任意一个实二次型 ij ji n i n j aij xi x j a = a = = , 1 1 都可以经过正交的线性替换变成平方和 2 2 2 2 2 1 1 n n  y +  y ++  y , 其中平方项的系数   n , , , 1 2  就是矩阵 A 的特征多项式全部的根. 最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方 程，以及讨论二次曲线的分类. 在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是 2 1 2 2 1 3 2 2 3 2 1 2 2 2 3 0 2 3 3 2 2 2 2 a1 1x + a x + a x + a x y + a x z + a yz + b x + b y + b z + d = (5) 令           =           =           = 3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 , , b b b B z y x X a a a a a a a a a A 则(5)可以写成 XAX + 2BX + d = 0 (6) 经过转轴，坐标变换公式为 , 1 1 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13                     =           z y x c c c c c c c c c z y x 或者 X = CX1 其中 C 为正交变换且 C = 1 ，在新坐标系中，曲面的方程就是 X1 (CAC)X1 + 2(BC)X1 + d = 0 根据上面的结果，有行列式为 1 的正交矩阵 C 使            = 3 2 1 0 0 0 0 0 0    C AC 这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为 2 2 2 1 0 * 1 3 * 1 2 * 1 2 3 1 2 2 1 2 1 x1 +  y +  y + b x + b y + b z + d =