(N e"pp2#()p2dp(8) 下面证明〔"pp=oh=2( 明取U()=E(m少2y (0) Vse, v) (-1) t! 「"pU、ap(mn=∑∑!e"p“Ex(2) 另一方面[epU,(2)y(n (1-)(1-) n)(-0=(+)=(0-n=+nXs+)∑6+k+!{m)y(a 上式最后一步利用了c展开(-m)3=(y+2△上my4 我们是要求解形如∫cp“[()4p的积分,故令(2)式中的1=厂并注意到此时无穷 级数展开(2)和(13)的最低次幂均为S,可以比较它们幂次相等的项的系数易知 (H pO)b=(s+)( r(2r-S+1) S)S+1)(-S-1)(S+1)(-S) 令=2+1=n+得式)(式例甲得A240+0 所以R()=J2z 1(2V(22\r12--2 ( )   ()     e L d N l n l nl l 2 2 2 2 1 0 3 2 + +  −  = (8) 下面证明   ()   e L d l n l l 2 2 2 2 1 0 + + +  −  = ( ) ( 1)! 2 ! 3 − − + n l n n l (9) 证明:取 U ( u) S ,  ( )   r=S S r r L !  r u  ( ) S −1 ( ) 1 1 1 exp + −       − − S u u u S u (10) V ( v) S ,  ( )   t=S S t t L !  t v  ( ) S −1 ( ) 1 1 1 exp + −       − − S v v v S v (11)  ( ) ( )   − + 0 1  , ,   e US u VS v d S =  () ()   e L L d r t u v S t S r S r S t S r t 1 0 ! ! +  =  =  −   (12) 另一方面, ( ) ( )   − + 0 1  , ,   e US u VS v d S ( ) ( ) ( )    e d u v uv v S v u u S S S   +       − + − − + + + − − = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( )( ) ( ) ( 2) 1 1 1 exp 1 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1  + − − −  − =      − + − + − − = + +  − + + +  S uv uv u v ww dw v v u u u v uv S S S S S S S = ( ) ( )( ) ( ) ( 1)! 1 1 1 2 + − − − + S uv uv u v S S = (1−u −v +uv)(S +1)! ( ) ( ) ( ) S k k uv k S S k +  =  + + + 0 ! 1 ! 1 ! (13) 上式最后一步利用了 Tailor 展开 ( ) ( 2) 1 − + − S uv = ( ) ( ) ( ) ( ) k k k uv S k S k − + − + + −  −  = ! 1 2 1 ! 2 1 ! 1 0 (14) 我们是要求解形如  ( )   − + 0 2 1     e L d S r S 的积分,故令 (12) 式中的 t = r 并注意到此时无穷 级数展开 (12) 和 (13) 的最低次幂均为 S,可以比较它们幂次相等的项的系数,易知:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! 2 1 1! 1! ! ! 1! 1! 1! ! 1 0 2 1 2 r S r r S r S S r r S S r e L d S r S r S − − + =      − − + + − + +  = +        − +     令 S = 2l +1,r = n + l 即得式 (9),式 (9) 代入式 (8) 即得: ( ) ( ) 3 3 2 ! 1! n n l n l Nnl + − − =  (15) 所以, ( ) ( ) ( )             + − −       = + +       − r na Z r L na Z e n n l n l na Z R r l n l l l r na Z nl 2 2 2 ! 2 1! 2 1 2 2 1 3 3 (16)