氢原子问题补充材料 1.连带 Lagurre多项式及其母函数 Schrodinger在他的关于波动力学的第三篇文章( Ann. d. Phys.8048511926)中给出了连带 exp- agre多项式L(p)的母函数为(-1) L() )式左端即为L}(p)的母函数记为U(,)=(-1)3 (2 母函数U(p,)在计算归一化因子时有用 至于U(p,)的表达式(2)如何得来可以参考王竹溪和郭敦仁的特殊函数概论第六章 注1连带Lgme多项式的级数定义为L()=∑-) k)(s+k 另外我们有:E()=2L()( 即E()是r次 Lagurre多项式L(p)的第S阶导数称为r-S次S阶连带 Lagurre多项式 还可以看出,当S=21+1r=n+l时的()即出现在氢原子径向波函数中 注2:关于连带 Lagurre多项式以及 Lagurre多项式的性质,可以参考 L Pauling, E B Wilson的 Introduction to Quantum Mechanics: with applications to chemistry, Chap 5 注3合流超几何函数与连带Lme多项式的关系为L()=S+)(rs+L,)( 2.径向波函数及其归一化 氢原子总波函数v.o)=R()xn(.0)=2)y(0.o)() 取 hhr=22r,其中用到了B=3222 hasn 则R()=2n=n()=2k2=n"e;()=Nne5n=()() (这里已将a吸收到归一化因子Nn中去) 1=hlw(,0,o)(r,0,o)sin edodedr=[R(]rdr2--1 氢原子问题补充材料 1. 连带 Lagurre 多项式及其母函数 Schro dinger 在他的关于波动力学的第三篇文章(Ann.d.Phys. 80 4851,1926)中给出了连带 Lagurre 多项式 () S Lr 的母函数为: ( ) S −1 ( ) 1 1 1 exp + −       − − S u u u S u  ( )   r=S S r r L !  r u (1) (1) 式左端即为 () S Lr 的母函数,记为 U ( u) S ,  ( ) S −1 ( ) 1 1 1 exp + −       − − S u u u S u (2) 母函数 U ( u) S , 在计算归一化因子时有用. 至于 U ( u) S , 的表达式 (2) 如何得来,可以参考王竹溪和郭敦仁的特殊函数概论,第六章. 注 1:连带 Lagurre 多项式的级数定义为 () S Lr  ( ) ( ) ( ) ( )  − = + − − + − r S k k k k r S k S k r 0 2 1 ! ! ! ! 1  (3) 另外我们有: ( ) ()   S r S S r L d d L = (4) 即 () S Lr 是 r 次 Lagurre 多项式 () Lr 的第 S 阶导数,称为 r − S 次 S 阶连带 Lagurre 多项式. 还可以看出,当 S = 2l +1,r = n + l 时的 () S Lr 即出现在氢原子径向波函数中. 注 2:关于连带 Lagurre 多项式以及 Lagurre 多项式的性质,可以参考 L.Pauling, E.B.Wilson 的 Introduction to Quantum Mechanics: with applications to chemistry, Chap 5. 注 3:合流超几何函数与连带 Lagurre 多项式的关系为: ( ) ( )  ( , 1, ) ! ! ! − + +  F r S r S S r L S r (5) 2. 径向波函数及其归一化 氢原子总波函数 (r,,) = R (r) nl (,) Ylm = ( ) r  r (,) Ylm (6) 取  = r E 2 8   =r = r n Ze 2 2 2   = r na 2Z , 其中用到了 n Ze = =    2 2 2  , 2 2 e a   = . 则 R (r) nl = ( ) r r  nl = () unl r 1 =  ()    2 1 2 +1 + + − l n l l ke L =  ()  2 2 +1 + − l n l l Nnle L (7) (这里已将  吸收到归一化因子 Nnl 中去.) (r ) (r )r d d dr R (r) r dr o nl 2 2 2 0 0 2 0 1 , , , , sin         =          =  