习题12.5偏导数在几何中的应用 1.求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程 y 在 占 t-sin t (2){y=1-cos,在t=z的点 二=斗sln (3) x+y+2 在(1,-2,1)点; 6 (4) R 在 RR R 点 √2√√2 解(1)曲线的切向量函数为(12+),在L1)点的切向量为 (12,)。于是曲线在1点的切线方程为 2(x-1)=y-1=4(2=-1) 法平面方程为 8x+16y+2z=25。 (2)曲线的切向量函数为(1-cs,sin20s),在t=对应点的切向 量为(1,5)。于是曲线在t=2对应点的切线方程为 +1=y-1 法平面方程为 1)+(y-1)+√2( )=x+y+ (3)曲线的切向量函数为2(y-x,z-x,x-y),在(1-2,1)点的切向量为 (-6,0.6)。于是曲线在(1,-2,1)点的切线方程为习 题 12.5 偏导数在几何中的应用 1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程： （1） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = . 1 , 2 x x z y x 在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1,1, 点； （2） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = − . 2 4sin 1 cos , sin , t z y t x t t 在 2 π t = 的点； （3） 在 ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = 6. 0, 2 2 2 x y z x y z (1,−2,1)点； （4） 在 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = . , 2 2 2 2 2 2 x z R x y R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 , 2 , 2 R R R 点。 解 （1）曲线的切向量函数为 2 1 (1,2 , ) (1 ) x + x ，在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1,1, 点的切向量为 1 (1, 2, ) 4 。于是曲线在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1,1, 点的切线方程为 2(x −1) = y −1 = 4(2z −1)， 法平面方程为 8x +16 y + 2z = 25。 （2）曲线的切向量函数为(1 cos ,sin , 2cos ) 2 t − t t ，在 2 π t = 对应点的切向 量为(1,1, 2)。于是曲线在 2 π t = 对应点的切线方程为 2 2 2 1 1 2 x − + = y − = z − π ， 法平面方程为 ( 1) ( 1) 2( 2 2) 2 x y z π − + + − + − = 2 4 2 x y z 0 π + + − − = 。 （3）曲线的切向量函数为2( y z − ,z − x, x − y)，在(1,−2,1) 点的切向量为 (−6,0,6)。于是曲线在(1,−2,1)点的切线方程为 1