2 法平面方程为 (4)曲线的切向量函数为4g-x-0),在(R.R.R点的切向量 为2R(1-1-)。于是曲线在 RR R √2√2√2 点的切线方程为 R R R 法平面方程为 x-y-2 R=0 2在曲线x=1,y=12,z=13上求一点,使曲线在这一点的切线与平面 10平行 解曲线的切向量为(1,21,3r2),平面的法向量为(1,2,1),由题设, (1,21,312)(1,2,1)=1+4t+3t2=0, 由此解出r=-1或-1,于是 (-1,1-1)和( 为满足题目要求的点。 3.求曲线x=sin21,y= sint cost,=cos2t在t=x所对应的点处的切线的 方向余弦。 解曲线的切向量函数为sin2co1,-sin2),将t=x代入得(0.-10),它 是单位向量,所以是方向余弦。 4.求下列曲面在指定点的切平面与法线方程: y3,在点(21.35) 在点(n2,ln2,) (3)x=u+v,y=n2+2,z=n3+y3,在点u=0,y=1所对应的点 解(1)曲面的法向量函数为(8x,9y2,-1),以(x,y,z)=(2,1,35)代入,得⎩ ⎨ ⎧ = − + = 2 2 y x z ， 法平面方程为 x = z。 （4）曲线的切向量函数为4( yz,−xz,−xy)，在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 , 2 , 2 R R R 点的切向量 为2R2 (1,− − 1, 1)。于是曲线在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 , 2 , 2 R R R 点的切线方程为 2 2 2 R z R y R x − = − + = − + ， 法平面方程为 0 2 2 x − y − z + R = 。 2.在曲线 上求一点，使曲线在这一点的切线与平面 平行。 2 3 x = t, y = t ,z = t x + 2y + z = 10 解 曲线的切向量为(1,2t t ,3 2 ) ，平面的法向量为(1, 2,1)，由题设， 2 2 (1,2t t ,3 )⋅ = (1,2,1) 1+ 4t + 3t = 0， 由此解出t = −1或 1 3 − ，于是 (−1,1,−1) 和 ) 27 1 , 9 1 , 3 1 (− − 为满足题目要求的点。 3. 求曲线 x = sin2 t, y = sin t cost, z = cos 2 t 在 2 π t = 所对应的点处的切线的 方向余弦。 解曲线的切向量函数为(sin 2t t , cos 2 ,−sin 2t) ，将 2 t π = 代入得 ，它 是单位向量，所以是方向余弦。 (0,−1,0) 4. 求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1） z = 2x 4 + 3y 3，在点(2,1,35)； （2）e + e = 4 z y z x ，在点(ln 2,ln 2,1)； （3） x = u + v, y = u 2 + v 2 , z = u 3 + v 3，在点u = 0, v = 1所对应的点。 解（1）曲面的法向量函数为 3 2 (8x y ,9 ,−1)，以( , x y,z) = (2,1,35) 代入，得 2