到(64,9,-1),所以切平面方程为 64(x-2)+9(y-1)-(-35)=0, 即 64x+9y-z-102=0, 法线方程为 x y 64 (2)曲面的法向量函数为e x121 ,以(x,y,) (ln2,ln2,1)代入,得到(2,2,-4ln2),所以切平面方程为 x-In2+y-In2-2In2(=-1)=0, Bp x+y-2=In 2=0 法线方程为 x-In2=y-In2=- 2In 2 (3)由于J=2m2,所以在u=0,y=1所对应的点处的法向量为 3t23y2 (0,-3,2),所以切平面方程为 z-1)=0,即-3y+2z+1=0, 法线方程为 即 5.在马鞍面z=y上求一点,使得这一点的法线与平面x+3y+z+9=0 垂直,并写出此法线的方程。 解马鞍面的法向量(x-1)与31)平行,所以=x=-1,即 y=-1,x=-3,z=xy=3,于是该点为(-3,-1,3),在该点处的法线方程为 +3=(y+1)=2-3 6.求椭球面x2+2y2+3x2=498的平行于平面x+3y+5=7的切平面 解由于椭球面的法向量(2x,416)与(13.5)平行,所以x=2=3,到(64,9,−1) ，所以切平面方程为 64(x − 2) + 9( y −1) − (z − 35) = 0，即 64x y + 9 − −z 102 = 0 ， 法线方程为 1 35 9 1 64 2 − − = − = x − y z 。 （2）曲面的法向量函数为 2 2 1 1 e , e , e e x y x y z z z z x y z z z z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ，以( , x y z, ) = (ln 2,ln 2,1) 代入，得到(2, 2,−4ln 2) ，所以切平面方程为 x y − + ln 2 − − ln 2 2ln 2(z −1) = 0，即 x + y − 2zln 2 = 0 , 法线方程为 ( 1) 2ln 2 1 x − ln 2 = y − ln 2 = − z − 。 （3）由于 ，所以在 2 2 1 1 2 2 3 3 J u v u v ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ u = 0, v = 1所对应的点处的法向量为 (0,−3, 2) ，所以切平面方程为 − − 3( y 1) + 2(z −1) = 0 ，即 − 3y + 2z +1 = 0 , 法线方程为 1 0, 1 3 2 x y z ⎧ − = ⎪ ⎨ − − = ⎪ ⎩ − 1，即 。 ⎩ ⎨ ⎧ + = = 2 3 5 1 y z x 5. 在马鞍面 z = xy 上求一点，使得这一点的法线与平面 垂直，并写出此法线的方程。 x + 3y + z + 9 = 0 解 马鞍面的法向量 ( , y x,−1) 与 (1,3,1) 平行，所以 1 1 3 1 y x − = = ，即 y x = −1, = −3,z = xy = 3，于是该点为( 3− ,−1,3) ，在该点处的法线方程为 ( 1) 3 3 1 x + 3 = y + = z − 。 6. 求椭球面 x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 498的平行于平面 x + 3y + 5z = 7的切平面。 解 由于椭球面的法向量(2x, 4y,6z) 与(1,3,5) 平行，所以 2 3 1 3 5 x y = = z ， 3