证明我们只证明(i)和(v),(i),(i)和(iv)的证明留作习题 对[a,b]的任一分割{x}=0,我们有 )=∑|/(x)+g(x)-f(x-)-8(x-) ≤∑f(x)-f(x-1)+∑g(x)-8(x-1) ≤(f)+(g) 因此∫+g是[a,b]上的有界变差函数,并且(1)式成立.故(i)得证 往证(v)成立.对[a,C]的任一分割{x}=和[c,b]的任一分割{x}m,将它们合并后 得到[a,b]的一个分割 c=x x'=b 我们有 (xo…,x)+V(x…,xm)=∑|(x)-f(x-)++∑|∫(x)-f(x) 分别对[a,c]的分割和[c,b的分割取上确界得到 (+V()≤V( 另一方面,对任意E>0,存在[a,b]的一个分割{x1}=0,使得 设x1<C≤xk.则{x0,x1…,x12C和{c,x2…xn}分别是[a,C]和[c,b]的分割注意 到在{x1}=0中增加一个分点c后,∫关于新的分割的变差不会减小.因此我们有 f)-E<(xo,…,x)≤V(x C. x )+V,(c 由E>0的任意性得到 (≤(+V() 综合(3)(4)两式得到(2)式.因此结论(v)得证■ 设∫是[a,b]上的有界变差函数.则对任意x∈[a,b,由定理2(V)知道∫也是 [a,x]上的有界变差函数因此()是[a,b上的实值函数,称之为∫的变差函数.由定理140 证明 我们只证明(iii) 和(v), (i), (ii) 和(iv) 的证明留作习题. 对[a,b]的任一分割{ } , 0 n i i x = 我们有 ∑= + = + − − − − n i f g n i i i i V x x f x g x f x g x 1 0 1 1 ( ,", ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 V f V g f x f x g x g x b a b a n i i i n i i i ≤ + ≤ ∑ − +∑ − = − = − 因此 f + g 是[a,b]上的有界变差函数, 并且(1)式成立. 故(iii) 得证. 往证 (v) 成立. 对[a,c] 的任一分割 n i i x 0 { } = 和[c,b]的任一分割{ } , 0 m i i x = ′ 将它们合并后 得到[a,b]的一个分割 . a = x0 <" < xn = c = x0 ′ < " < xm ′ = b 我们有 ( , , ) ( ). ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 0 1 V x x V f V x x V x x f x f x f x f x b a f m m i i i n i f n f m i i = ′ ≤ + ′ ′ = ∑ − + +∑ ′ − ′ = − = − " " " 分别对[a,c]的分割和[c,b]的分割取上确界得到 V ( f ) V ( f ) V ( f ). b a b c c a + ≤ (3) 另一方面, 对任意ε > 0, 存在[a,b]的一个分割{ } , 0 n i i x = 使得 ( , , ) ( ) . 0 V x x > V f − ε b a f " n 设 . k 1 k x < c ≤ x − 则{ , , , , } 0 1 1 x x x c " k− 和{ , , , } k n c x " x 分别是[a,c]和[c,b]的分割. 注意 到在 n i i x 0 { } = 中增加一个分点c 后, f 关于新的分割的变差不会减小. 因此我们有 ( , , , ) ( , , , ) ( ) ( ). ( ) ( , , ) ( , , , , , , ) 0 1 0 0 1 V x x c V c x x V f V f V f V x x V x x c x x b c c a f k f k n f n f k k n b a = + ≤ + − < ≤ − − " " ε " " " 由ε > 0的任意性得到 V ( f ) V ( f ) V ( f ). b c c a b a ≤ + (4) 综合(3),(4)两式得到(2)式. 因此结论(v)得证.■ 设 f 是[a,b] 上的有界变差函数. 则对任意 x ∈[a,b], 由定理 2 (v) 知道 f 也是 [a, x] 上的有界变差函数. 因此V ( f ) x a 是[a,b]上的实值函数, 称之为 f 的变差函数. 由定理