下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数 例3设 若0<x≤1, f(x) 若x=0 则∫是[0,1上的连续函数.但∫在[O,]上不是有界变差函数.事实上,对任意n≥1,作 [0,的分割{x}=使得 1,x1=[(n-1)x+3], n-1)+ (令k=n- (k-1)x k丌+ 令n→∞知道V()=+∞.因此∫在[0,不是有界变差函数 定理2有界变差函数具有如下性质 ()若∫∈Va,b则∫是有界函数 (i)若∫∈Va,ba∈R,则af∈V[a,b并且 r(a)≤( (in).若∫,g∈V[a,b,则∫+g∈[a,b,并且 (+g)≤V()+(g) (1) (iv)若∫,g∈Va,b则fg∈Va,b (v)若f∈Va,b则对任意c,a<c<b,成立139 下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数. 例 3 设     = < ≤ = 0 0. 0 1, 1 sin ( ) x x x x f x 若 若 则 f 是[0,1]上的连续函数. 但 f 在[0,1]上不是有界变差函数. 事实上, 对任意 n ≥ 1, 作 [0,1]的分割 n i i x 0 { } = 使得 ] , 1, , 1. 2 0, 1, [( ) 1 0 = = = − + = − − x xn xi n i i " n π π 则 ∑ ∑ − = = − −             − + + − − + > = − 1 2 1 1 0 1 2 ( ) 1 2 ( 1) 1 1 sin 1 ( , ) sin n i n i i i i f n i n i n i x x x V x x x π π π π " ∑ ∑ − = − = + > = −             + + − + = 2 1 2 1 ( 1) 1 ( ) 2 1 2 ( 1) 1 n k n k k k n i k k π π π π π 令 令 n → ∞ 知道V ( f ) = +∞. b a 因此 f 在[0,1]不是有界变差函数. 定理 2 有界变差函数具有如下性质: (i).若 f ∈V[a,b], 则 f 是有界函数. (ii).若 f ∈V[a,b], , 1 α ∈ R 则α f ∈V[a,b], 并且 V ( f ) V ( f ). b a b a α ≤ α (iii).若 f , , g ∈V[a,b] 则 f + g ∈V[a,b], 并且 V ( f g) V ( f ) V (g). b a b a b a + ≤ + (1) (iv).若 f , , g ∈V[a,b] 则 f g ∈V[a,b]. (v).若 f ∈V[a,b], 则对任意c, a < c < b, 成立 V ( f ) V ( f ) V ( f ). b c c a b a = + (2)