第三讲矩阵的初等变换与线性方程组 考试内容及要求 考试内容：矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，线性方程组无解，有唯一解或无穷多 解的充要条件，线性方程组的解法 考试要求： (①)理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用 初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 (2)理解齐 线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件 (③)掌握用初等行变换求解线性方程组的方法： (④会用克莱姆法则. 一，矩阵的初等变换与初等矩阵 (一）矩阵的初等变换及相关概念 1.矩阵的初等变换 定义1下述三种对矩阵的行（列）施行的变换称为矩阵的初等行（列）变换 ()对调矩阵的第与第行（列），记为n廿)(G分S方 (②)用非零常数k乘以第行（列）中所有元素，记为，×k(G× (3)把矩阵第行（列）所有元素的k倍加至第行（列）另一行（列）对应的元素上去，记为：+r)×k(+ G×k: 矩阵的初等行变换和初等列变换统称初 变换.三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换：变换n付rG口S)的逆变换是其本身：×k(G×)的逆变换是n,×:(G×)的逆变换 是+T)×k(G+S×)的逆变换是-)×k(G-S×: 问题+r与r)+r,有和区别 若矩阵A经有限次的初等行变换变成矩阵B,则称A与B行等价，记为AB 若矩阵A经有限次的初等列变换变成矩阵B,则称A与B列等价记为AcB: 若矩阵A经有限次的初等变换变成矩阵B,则称A与B等价，记为A~B. 2.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵与矩阵的标准形 ()具有如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵 ()各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大的： (仙)零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方. (②)一个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵，如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所 在列的其他元素均为0. 20 1020 如：A= 01-10 为行阶梯形矩阵，B 01-10 0001 为行最简形矩阵 0002 0000 0000 对于任何矩阵A总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 1 1n˘ › –CÜÜÇ5êß| £SN9ᶠ£SN: › –CÜ, –› ,› ù, › d,Ç5êß|Ã), kçò)½Ã°ı )øá^á, Ç5êß|){. £á¶: (1) n)› –CÜVg, )–› 5ü⁄› dVg,n)› ùVg,›º^ –Cܶ› ù⁄_› ê{. (2) n)‡gÇ5êß|kö")ø©7á^á9ö‡gÇ5êß|k)ø©7á^á; (3) ›º^–1Cܶ)Ç5êß|ê{; (4) ¨^é40{K. ò, › –CÜÜ–› (ò) › –CÜ9É'Vg 1. › –CÜ ½¬1 e„n´È› 1()ñ1CÜ°è› –1()CÜ (1) ÈN› 1iÜ1j1(), Pèri ↔ rj (ci ↔ cj ); (2) ^ö"~Ík¶±1i1()•§kÉ, Pèri × k (ci × k); (3) r› 1j1()§kÉk\ñ1i1(),ò1()ÈAɲ, Pèri + rj × k (ci + cj × k); › –1CÜ⁄–CÜ⁄°–CÜ. n´–CÜ—¥å_,ÖŸ_CÜ¥”òa. –CÜ; CÜ ri ↔ rj (ci ↔ cj )_CÜ¥Ÿ; ri × k (ci × k)_CÜ¥ ri × 1 k (ci × 1 k )_CÜ ¥ ri + rj × k (ci + cj × k)_CÜ¥ ri − rj × k (ci − cj × k); ØK ri + rjÜrj + rik⁄´O? e› A²kÅg–1CÜC§› B, K°AÜB1d, PèA r Be ; e› A²kÅg–CÜC§› B, K°AÜBdPèA ec B; e› A²kÅg–CÜC§› B, K°AÜBd, PèA ∼ B. 2. 1F/› , 1Å{/› Ü› IO/ (1) ‰kXeA› °è1F/› : (i) àö"1ÜÂ1òáö"ÉçId˛ñe¥ÓÇOå; (ii) "1(=Éè"1)—†uö"1eê. (2) òá1F/› °è1Å{/› ,XJŸö"11òáö"Éè1,øÖ˘ ö"ɧ 3Ÿ¶É˛è0. X: A =   1 −1 2 0 0 1 −1 0 0 0 0 2 0 0 0 0   è1F/› , B =   1 0 2 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   è1Å{/› . Èu?¤› Aoå±²LkÅg–1CÜrßzè1F/› Ü1Å{/› . 1