第三讲矩阵的初等变换与线性方程组 考试内容及要求 考试内容：矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，线性方程组无解，有唯一解或无穷多 解的充要条件，线性方程组的解法 考试要求： (①)理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用 初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 (2)理解齐 线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件 (③)掌握用初等行变换求解线性方程组的方法： (④会用克莱姆法则. 一，矩阵的初等变换与初等矩阵 (一）矩阵的初等变换及相关概念 1.矩阵的初等变换 定义1下述三种对矩阵的行（列）施行的变换称为矩阵的初等行（列）变换 ()对调矩阵的第与第行（列），记为n廿)(G分S方 (②)用非零常数k乘以第行（列）中所有元素，记为，×k(G× (3)把矩阵第行（列）所有元素的k倍加至第行（列）另一行（列）对应的元素上去，记为：+r)×k(+ G×k: 矩阵的初等行变换和初等列变换统称初 变换.三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换：变换n付rG口S)的逆变换是其本身：×k(G×)的逆变换是n,×:(G×)的逆变换 是+T)×k(G+S×)的逆变换是-)×k(G-S×: 问题+r与r)+r,有和区别 若矩阵A经有限次的初等行变换变成矩阵B,则称A与B行等价，记为AB 若矩阵A经有限次的初等列变换变成矩阵B,则称A与B列等价记为AcB: 若矩阵A经有限次的初等变换变成矩阵B,则称A与B等价，记为A~B. 2.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵与矩阵的标准形 ()具有如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵 ()各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大的： (仙)零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方. (②)一个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵，如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所 在列的其他元素均为0. 20 1020 如：A= 01-10 为行阶梯形矩阵，B 01-10 0001 为行最简形矩阵 0002 0000 0000 对于任何矩阵A总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 1
1n˘ › – CÜÜÇ5êß| £SN9ᶠ£SN: › – CÜ, – › ,› ù, › d,Ç5êß|Ã), kçò)½Ã°ı )øá^á, Ç5êß|){. £á¶: (1) n)› – CÜVg, )– › 5ü⁄› dVg,n)› ùVg,›º^ – Cܶ› ù⁄_› ê{. (2) n)‡gÇ5êß|kö")ø©7á^á9ö‡gÇ5êß|k)ø©7á^á; (3) ›º^– 1Cܶ)Ç5êß|ê{; (4) ¨^é40{K. ò, › – CÜÜ– › (ò) › – CÜ9É'Vg 1. › – CÜ ½¬1 e„n´È› 1()ñ1CÜ°è› – 1()CÜ (1) ÈN› 1iÜ1j1(), Pèri ↔ rj (ci ↔ cj ); (2) ^ö"~Ík¶±1i1()•§kÉ, Pèri × k (ci × k); (3) r› 1j1()§kÉk\ñ1i1(),ò1()ÈAɲ, Pèri + rj × k (ci + cj × k); › – 1CÜ⁄– CÜ⁄°– CÜ. n´– CÜ—¥å_,ÖŸ_CÜ¥”òa. – CÜ; CÜ ri ↔ rj (ci ↔ cj )_CÜ¥Ÿ ; ri × k (ci × k)_CÜ¥ ri × 1 k (ci × 1 k )_CÜ ¥ ri + rj × k (ci + cj × k)_CÜ¥ ri − rj × k (ci − cj × k); ØK ri + rjÜrj + rik⁄´O? e› A²kÅg– 1CÜC§› B, K°AÜB1 d, PèA r Be ; e› A²kÅg– CÜC§› B, K°AÜB dPèA ec B; e› A²kÅg– CÜC§› B, K°AÜB d, PèA ∼ B. 2. 1 F/› , 1Å{/› Ü› IO/ (1) ‰kXeA› °è1 F/› : (i) àö"1ÜÂ1òáö"ÉçId˛ñe¥ÓÇOå; (ii) "1(=É è"1) —†uö"1eê. (2) òá1 F/› °è1Å{/› ,XJŸö"11òáö"Éè1,øÖ˘ ö"ɧ 3Ÿ¶É˛è0. X: A = 1 −1 2 0 0 1 −1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 è1 F/› , B = 1 0 2 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 è1Å{/› . Èu?¤› Aoå±²LkÅg– 1CÜrßzè1 F/› Ü1Å{/› . 1
)对于m×南阵A总可以经过初等变行变换和列支换度成如下形式的矩阵F-(行8）】 F为A的标准形 /1000Y 如上述A,B的标准形为 0100 0010 (68) 10000/ 21-31-1 例1化矩阵A三 12-220为行阶梯形，和行最简形及标准形. -132-25 λ111 例2化矩阵A 1 A 1 A 为行阶梯形 11入入 (仁)）初等矩阵的概念 定义2单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵.对应于上述三种初等变换的初等矩 阵记为E,,E(),E,)》 010 100 100 例如E,2=100,E(3(-2)=010E2,1(-5)= -510 001 00-21 001 其中E12是将E的第1,2两行互换（或第(1,2）两列互换)所得的矩阵：E3(-2)是将E的第3行乘以-2（后第3列 乘以-2)所得的矩阵：E12(-5)是将E的第1行的-5倍加至第2行（或第2列的-5倍加至第1行）所得的矩阵. 性质：初等矩阵均可逆，且E在，)-1=E6,)E()-1=E((),E6,(k)-1=E(6,(-k).特别 地，E6,}产=E. (三)初等矩阵与初等变换的性质 1.定理用初等矩阵P左（右）乘A,所得PA(AP)就是对矩阵A作了一次与P同样的行（列）初等变换 即 A行B=E6,A=B. A4行B=AE,)=B: (间)A×B=E()A=B, ((K))-B ()An+r×kB=E(6,)A=B, AG+×kB=AE,()=B 可以用“行左列右，首尾为主”八字理解：()行左列右是指对矩阵A施行行变换等价于矩阵对A左 乘相应的初等矩阵：（②）首尾为主针对第三种初等变换，E(,(k)A表示第j行的k倍加到第行（第行即为 首)：4E(,k)》表示第列的k倍加到第j列（第列即为尾）. 2.几个重要结论 (I)方阵A可逆=存在有限个初等矩阵乃，B,·,,使A=乃乃 (②)方阵A可逆=A与E行等价. (3)m×n矩阵A与B等价=存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使得PAQ=B. 3.重要应用
(3) Èum × n› Aoå±²L– CÜ(1CÜ⁄CÜ)C§Xe/™› F = Er 0 0 0 ! , FèAIO/. X˛„A, BIO/è 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 = E3 0 0 0 ! . ~1 z› A = 2 1 −3 1 −1 1 2 −2 2 0 −1 3 2 −2 5 è1 F/, ⁄1Å{/9IO/. ~2 z› A = λ 1 1 1 1 λ 1 λ 1 1 λ λ2 è1 F/. () – › Vg ½¬2 ¸†› ²Lòg– Cܧ› °è– › . ÈAu˛„n´– CÜ– › PèE(i, j), E(i(k)), E(i, j(k)). ~X E1,2 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 , E(3(−2)) = 1 0 0 0 1 0 0 0 −2 , E(2, 1(−5)) = 1 0 0 −5 1 0 0 0 1 Ÿ•E12¥ÚE11, 2¸1pÜ(½1(1, 2)¸pÜ)§› ;E3(−2)¥ÚE131¶±−2(13 ¶±−2)§› ¶E12(−5)¥ÚE111−5\ñ121(½12−5\ñ111)§› . 5ü: – › ˛å_, ÖE(i, j) −1 = E(i, j), E(i(k))−1 = E(i(( 1 k )), E(i, j(k))−1 = E(i, j(−k)). AO /,E(i, j) 2 = E. (n) – › Ü– CÜ5ü 1. ½n ^– › PÜ(m)¶A,§P A(AP)“¥È› Aä ògÜP”1()– CÜ. = (i) A −−−−→ ri ↔ rj B E(i, j)A = B, A −−−−→ ci ↔ cj B AE(i, j) = B; (ii) A −−−→ ri × k B E(i(k))A = B, A −−−→ ci × k B AE(i(k)) = B; (iii) A −−−−−−−→ ri + rj × k B E(i, j(k))A = B, A −−−−−−−→ ci + cj × k B AE(j, i(k)) = B. å±^“1Üm, ƒóèÔlin):(1) 1Üm¥çÈ› Añ11CÜ du› ÈAÜ ¶ÉA– › ;(2) ƒóèÃÈ1n´– CÜ, E(i, j(k))AL´1j1k\1i1(1i1=è ƒ);AE(i, j(k))L´1ik\1j(1j=èó). 2. Aáá(ÿ (1) ê Aå_ 3kÅá– › P1, P2, · · · , Pk, ¶A = P1P2 · · · Pk. (2) ê Aå_ AÜE1 d. (3) m × n› AÜB d 3m å_› P9n å_› Q¶P AQ = B. 3. áA^ 2
(1)利用初等行变换求矩阵的逆矩阵：若(A,E)→(E,X),则X=A-1 (②)求矩阵方程的解：若AX=B且A可逆，则(4，B)→(E,X),则X=A1B. (间)若XA=B且A可逆，则ATXT=BT,(4T,BT)→(E,X),则XT=A-1B,从而X=(A-1B)T P1已知阶矩阵A可逆将A的第2列与第3列交换得B,再把B的第1列的-2格加至第列得C避 阵P为 ) 100 例5设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP= 010 .若P=(a1,a2,a3),Q=(am+ 002 2,a2,ag,则Q-14Q 7100 100） 200 200 w9 001 刚6求矩阵A= -230 220 例7设A= 213,且AX=A+X,求x 010 (四)矩阵的秩 定义3在m×n矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n,位于这些行列交叉处得2个元素，不改变它们 在A中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为A的一个k阶子式 m×n矩阵A的k阶子式共有CC个 3
(1) |^– 1Cܶ› _› : e(A, E) → (E, X), KX = A−1 . (2) ¶› êß): (i) eAX = BÖAå_, K(A, B) → (E, X), KX = A−1B. (ii) eXA = BÖAå_, KAT XT = BT , (AT , BT ) → (E, X), KXT = A−1B, l X = (A−1B) T . ~3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2013 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2013 = ( ) ~4 Æ3 › A å_,ÚA 12Ü13ÜB,2rB 11−2\ñ13C ,K˜ vP A−1 = C −1› Pè (A) 1 0 2 0 0 1 0 1 0 (B) 1 2 0 0 0 1 0 1 0 (C) 1 0 −2 0 0 1 0 1 0 (D) 1 2 0 0 1 0 0 0 1 ~5 Aè3 › , Pè3 å_› , ÖP −1AP = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 . eP = (α1, α2, α3),Q = (α1 + α2, α2, α3), KQ−1AQ = (A) 1 0 0 0 2 0 0 0 1 . (B) 1 0 0 0 1 0 0 0 2 . (C) 2 0 0 0 1 0 0 0 2 . (D) 2 0 0 0 2 0 0 0 1 . ~6 ¶› A = 0 −2 1 3 0 2 −2 3 0 _› . ~7 A = 2 2 0 2 1 3 0 1 0 , ÖAX = A + X, ¶X. ~8 P = 1 2 −2 2 −2 −1 2 1 2 ,Λ = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 , ¶PΛP −1 . (o) › ù ½¬3 3m × n› A•, ?k1Ük(k ≤ m, k ≤ n, †u˘ 1?k 2áÉ,ÿUCßÇ 3A•§?†ògS k 1™,°èAòák f™. m × n› Ak f™kC k mC k ná. 3
定义3设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D,且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，则称D为 矩阵A的最高阶非零子式，r称为A的秩记作r(A).规定零矩阵的秩为0. 重要结论 (1)A的秩r(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数： (②)矩阵A中有一个不等于0的s阶子式=r(A)≥ (3)若矩阵A中所有阶子式全为零=r(4)≤： (④若A为m×n矩阵，则r(A)≤min{m,n: (⑤)r(A)=r(4T): (6)A为非零矩阵=r(A≥1 (⑦)阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数： (⑧)若A~B,则r(A=r(B),即初等变换不改变矩阵的秩： (g)若PO可逆.r(PAO)=RA): (10) mar{(A),r(B}≤r(A,B)≤r(A)+r(B,特别地，当B=为列向量时有，r(A)≤r(A,)≤ r(4)+1 (11)r(A+B)≤r(A)+r(B): (12)r(AB)5 min(r(A).r(B)}; (13)若AmxnBnx1=0,则r(A)+r(B)≤n (14)r(4A)=r(A: ,则r(D)≥r(A)+r(B n=r(A)=n (16)若n阶方阵A的伴随矩阵为A”,则r(A')=了1=r(A)=n-1 0=r(A)<n-1 例9求矩阵A,B的秩，其中A 471 00000 1-112 例10设A=3a-12,且r(4)=2,求a,的值（用两种方法）. 5366 二线性方程组的解法 /a11z1+a122+…+a1mm=b1 1.线性方程组的一般形式 0211+01++a2nEn =b2 。。。。。……。…。。c (2.10 amizl+..+amnin bm 11012 a11 012 ain bi a21a12·a2m2 2 A= 21a12 am1am2··m ami dm2 amn bm A称为(2.1)的系数矩阵不-(4，b)称为(2.1)的增广矩阵. 4
½¬3 3› A•kòáÿ u0r f™D,Ö§kr+ 1 f™(XJ3{) u0,K°Dè › AÅp ö"f™, r°èAù.Pär(A).5½"› ùè0. á(ÿ (1) Aùr(A)“¥A•ÿ u0f™Åp Í; (2) › A•kòáÿ u0s f™ r(A) ≥ s; (3) e› A•§kt f™ è" r(A) ≤ t; (4) eAèm × n › , Kr(A) ≤ min{m, n}; (5) r(A) = r(AT ); (6) Aèö"› r(A) ≥ 1; (7) F/› ù uŸö"1áÍ; (8) eA ∼ B, Kr(A) = r(B), =– CÜÿUC› ù; (9) eP, Qå_, r(P AQ) = R(A); (10) max{r(A), r(B)} ≤ r(A, B) ≤ r(A) + r(B), AO/,B = βèï˛ûk, r(A) ≤ r(A, β) ≤ r(A) + 1; (11) r(A + B) ≤ r(A) + r(B); (12) r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}; (13) eAm×nBn×l = 0, Kr(A) + r(B) ≤ n; (14) r(AT A) = r(A); (15) ©¨› D = A C 0 B ! , Kr(D) ≥ r(A) + r(B); (16) en ê Aäë› èA∗ , Kr(A∗ ) = n r(A) = n 1 r(A) = n − 1 0 r(A) < n − 1 ~9 ¶› A, Bù, Ÿ•A = 1 2 3 2 3 5 4 7 1 , B = 1 −1 2 0 1 0 1 −1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 . ~10 A = 1 −1 1 2 3 a −1 2 5 3 b 6 , Ör(A) = 2, ¶a, bä(^¸´ê{). Ç5êß|){ 1. Ç5êß|òÑ/™: a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a12x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2.1) am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm A = a11 a12 · · · a1n a21 a12 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn , A = a11 a12 · · · a1n b1 a21 a12 · · · a2n b2 · · · · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn bm , b = b1 b2 · · · bm A °è(2.1)XÍ› ,A = (A, b)°è(2.1)O2› . 4
2.矩阵表达式：Ar=6,其中，x=(任1,2，…，工n)T,b=(b,b2,…,bm)T(2.2) 3.向量表达式：令A=(a1,a2,…,n),则x101+x2a2+…+xnan=b.(2.3) 如果n维列向量=(Q,c2,…,m)T满足方程组Ar=b,即A=b,则称是Az=b的一个解向量 b≠0时，(2.1)-(2.3)称为非齐次线性方程组：b=0时，(2.1)(2.3)称为齐次线性方程组：齐次线性方程组 也称为对应的非齐次线性方程组的导出组. 解得存在性及有解时解的个数定理 定理1设A为m×n矩阵，则线性方程组Ax=b ()无解的充分必要条件是r(A)<r(A,): (间)有唯一解的充分必要条件是r(4)=r(4,b)=m 曲有无穷多解的充分必要条件是r(4=r(4,)<n, 定理2设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组A缸=0 位只有零解的充分必要条件是(A)=n (回)有非零解的充分必要条件是r(4)=)<n 分析设r(A)=r,不妨设增广矩阵AA,)的行最简形为 10 0b1 1-r 01…0b2…b2n-r d2 (4,)→A 00.1 4 00·…00 0 d+1 、00 000 0 (句若r(4)<r(4,6),则A中的d,+1=1,可得矛盾方程组0=1，故方程组无解： ()若r(A)=r(A,b)=r=n,则A中的d+1=0(或d,+1不出现，且b,都不出现，得同解方程组 [n=d ro=da ,故方程组有唯一解 ()若r(4)=(A,)=r<n,则A中的dr+1=0(或d,+1不出现，可得同解方程组 E1=-011Em41-·，一01，n-r和十d1 r2=-b21工r+1-··-a2.n-rtn+2 2.4 r--b ,+d 令自由未知量x, ,得方程2.1)的含n r个参数的解 h. 5
2. › Là™: Ax = b,Ÿ•ßx = (x1, x2, · · · , xn) T , b = (b1, b2, · · · , bm) T (2.2) 3. ï˛Là™: -A = (α1, α2, · · · , αn),Kx1α1 + x2α2 + · · · + xnαn = b. (2.3) XJnëï˛ξ = (c1, c2, · · · , cn) T˜vêß|Ax = b,=Aξ = b , K°ξ¥Ax = bòá)ï˛. b 6= 0û, (2.1)-(2.3)°èö‡gÇ5êß|; b = 0û,(2.1)-(2.3)°è‡gÇ5êß|;‡gÇ5êß| è°èÈAö‡gÇ5êß|—|. )359k)û)áͽn ½n1 Aèm × n› , KÇ5êß|Ax = b (i) Ã)ø©7á^á¥r(A) < r(A, b); (ii) kçò)ø©7á^á¥r(A) = r(A, b) = n; (iii) kðı)ø©7á^á¥r(A) = r(A, b) < n. ½n2 Aèm × n› , K‡gÇ5êß|Ax = 0 (i) êk")ø©7á^á¥r(A) = n; (ii) kö")ø©7á^á¥r(A) =) < n. ©¤ r(A) = r,ÿîO2› A(A, b)1Å{/è (A, b) → Ae 1 0 · · · 0 b11 · · · b1,n−r d1 0 1 · · · 0 b21 · · · b2,n−r d2 . . . . . . . . . . . . · · · . . . . . . 0 0 · · · 1 br1 · · · br,n−r dr 0 0 · · · 0 0 · · · 0 dr+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 0 0 0 0 (i) er(A) < r(A, b), KAe•dr+1 = 1,ågÒêß|0 = 1, êß|Ã); (ii) er(A) = r(A, b) = r = n,KAe•dr+1 = 0(½dr+1ÿ—y,Öbij—ÿ—y, ”)êß| x1 = d1 x2 = d2 · · · xn = dn , êß|kçò). (iii) er(A) = r(A, b) = r < n,KAe•dr+1 = 0(½dr+1ÿ—y, å”)êß| x1 = −b11xr+1 − · · · − b1,n−rxn + d1 x2 = −b21xr+1 − · · · − a2,n−rxn + d2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2.4) xr = −br1xr+1 − · · · − br,n−rxn + dr -gdô˛xr+1 = c1, · · · , xn = cn−r,êß(2.1)¹n − ráÎÍ) x1 . . . x2 xr+1 . . . xn = −b11c1 − · · · − b1,n−rcn−r + d1 . . . −br1c1 − · · · − br,n−rcn−r + dr c1 . . . cn−r = c1 −b11 . . . −br1 1 . . . 0 + · · · + cn−r −b1,n−r . . . −br,n−r 0 . . . 1 + d1 . . . dr 0 . . . 0 5
上述含n-r个参数的解可表示线性方程组(2.4)的任一解，从而也可表示为线性方程组(2.1)(2.3)的任 一解.因此成为21)-2.3)的通解 上述分析可得求解线性方程组的步隳如下： (山)非齐次线性方程组的情形 )对于非齐次线性方程组Ax=b,化增广矩阵(A,b)为行阶梯形，从(A,)的行阶梯形可同时看出(4)和r(4,b). 若r(A)<r(A,),则方程组无解. )若A)=(A.b).则讲一步化(A.b)的行阶梯形为行最简形 ()设r(4 r(A,)=r,把行最简形中，个非零行的非零首元对应的未知数取作非自由未知数，其 余m-r个未知数取作自由未知数，可得含一r个参数的通解 (②)齐次线性方程组的情形 )对于齐次线性方程组A=0，把系数矩阵A化成行最简形 (回)设(A)=r,把行最简形中r个非零行的非零首元对应的未知数取作非自由未知数，其余一r个未 知数取作自由未知数，可得含和一r个参数的通解。 定理3克拉默法则若线性方程组(2.1)中m=n,且其系数行列式D不等于0，则方程(2.1)有唯一解：1= 号，2=号，…，n=号，其中 a11a12··a1n a1…a1-1a1+1an D= a21a2…a2n anl an2 ..ann anl…anJ-l6na1+l…anm 推论4如果方程组(1)的系数行列式D≠0，则()一定有解，且解是唯一的. 推论5如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式D必为零 推r 定理6(1)矩阵方程AX=B有解的充分必要是r(A)=R(A,B:(②)矩阵方程AmxnXnxa=0有解 的充分必要是r(A)=n. 例11，求解下列线性方程组 +2+2+x4=0 -22+33-x4= 21+2-24-2x4=0 (2 31-2+5g-3红4=2 x1-x2-4x3-3x4=0 2x1+x2+2x3-2x4=3 +-3-=1 61-22+23+a=3 (3) 31--3g+4红4= (④) T1-工2十r4= 1+5x2-9xg-8x4=0 (2x1+xg+3z4=2 例12入取何值时，非齐次列线性方程组 6
˛„¹n − ráÎÍ)åL´Ç5êß|(2.4)?ò),l èåL´èÇ5êß|(2.1)-(2.3)? ò),œd§è(2.1)-(2.3)œ). ˛„©¤å¶)Ç5êß|⁄½Xe: (1) ö‡gÇ5êß|ú/ (i) Èuö‡gÇ5êß|Ax = b, zO2› (A, b)è1 F/,l(A, b)1 F/å”ûw—r(A)⁄r(A, b). er(A) < r(A, b),Kêß|Ã). (ii) er(A) = r(A, b), K?ò⁄z(A, b)1 F/è1Å{/ (iii) r(A) = r(A, b) = r,r1Å{/•ráö"1ö"ƒÈAôÍäögdôÍ,Ÿ {n − ráôÍägdôÍ, å¹n − ráÎÍœ). (2) ‡gÇ5êß|ú/ (i) Èu‡gÇ5êß|Ax = 0, rXÍ› Az§1Å{/. (ii) r(A) = r,r1Å{/•ráö"1ö"ƒÈAôÍäögdôÍ,Ÿ{n − ráô ÍägdôÍ, å¹n − ráÎÍœ). ½n3é.%{K eÇ5êß|(2.1)•m = n, ÖŸXÍ1™Dÿ u0,Kêß(2.1)kçò):x1 = D1 D , x2 = D1 D , · · · , xn = D1 D ,Ÿ• D = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann 6= 0, Dj = a11 · · · a1,j−1 b1 a1,j+1 · · · a1n a21 · · · a2,j−1 b2 a1,j+1 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · an,j−1 bn a1,j+1 · · · ann . Ìÿ4 XJêß|(1)XÍ1™D 6= 0,K(1)ò½k),Ö)¥çò. Ìÿ5 XJÇ5êß|(1)Ã)½k¸áÿ”),KßXÍ1™D7è". Ì2 ½n6 (1) › êßAX = Bk)ø©7á¥r(A) = R(A, B); (2) › êßAm×nXn×s = 0k) ø©7á¥r(A) = n. ~11 ¶)eÇ5êß| (1) x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0 2x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = 0 x1 − x2 − 4x3 − 3x4 = 0 (2) x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 1 3x1 − x2 + 5x3 − 3x4 = 2 2x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 3 (3) x1 + x2 − 3x3 − x4 = 1 3x1 − x2 − 3x3 + 4x4 = 4 x1 + 5x2 − 9x3 − 8x4 = 0 (4) 6x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 3 x1 − x2 + x4 = 1 2x1 + x3 + 3x4 = 2 ~12 λ ¤äû, ö‡gÇ5êß| 6
1+2+=1 +2+=入 练习题 一，选择题 1,设A为3阶矩阵，交换A的第1列与第2列得到矩阵B,将B的第2列加到第3列得到矩阵C,则满足AQ= C的矩阵Q=() w()()() 010 101 110 2,设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得到矩阵B,将B的第2列减去第1列得到矩阵C,P- 010 001/ 则下列结论成立的是( (A)C=P-1AP (B)C=PAP-1 (C)C=PT AP (D)C=PAPT 3,设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置，且PTAP 若P=(a2,).Q=(a+ 002 a2,a2,a3),则QTAQ为 ) 4,设4为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得到矩阵B,再交换B的第2行与第3行得到单位矩阵.记乃= /100 1001 -8- 010/ (A)P.P2 (B)PP (C)P2P (D)PP 132a 5,设A=27a3若r(4=3,则a=( 0a5-5/ 7
λx1 + x2 + x3 = 1 x1 + λx2 + x3 = λ x1 + x2 + λx3 = λ 2 (1) kçò); (2) Ã); (3) kðıá)? ø3kðıá)û¶Ÿœ). ˆSK ò, ¿JK 1, Aè3 › , ÜA11Ü12› B,ÚB12\13› C,K˜vAQ = C› Q = ( ). (A) 0 1 0 1 0 0 1 0 1 . (B) 0 1 0 1 0 1 0 0 1 . (C) 0 1 0 1 0 0 0 1 1 . (D) 0 1 1 1 0 0 0 0 1 . 2, Aè3 › , ÚA121\111› B,ÚB12~11› C, P = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 , Ke(ÿ§·¥( ). (A) C = P −1AP (B) C = P AP −1 (C) C = P T AP (D) C = P AP T 3, A, P˛è3 › ,P TèP=ò,ÖP T AP = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 . eP = (α1, α2, α3), Q = (α1 + α2, α2, α3),KQT AQè (A) 2 1 0 1 1 0 0 0 2 . (B) 1 1 0 1 2 0 0 0 2 . (C) 2 0 0 0 1 0 0 0 2 . (D) 1 0 0 0 2 0 0 0 2 . 4, Aè3 › , ÚA12\11› B,2ÜB121Ü131¸†› . PP1 = 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ,P2 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ,KA = (A) P1P2 (B) P −1 1 P2 (C) P2P1 (D) P2P −1 1 5, A = 1 3 2 a 2 7 a 3 0 a 5 −5 , er(A) = 3, Ka = ( ). 7
(A)多 (B)5(C-1(D) 6.设A= e9-ga-()-6)n a33ag2a31+a32 001 8- (A)(B)(C)(D) 二，填空题 k111 1,设A= 1k11 11k1 ,若r(A)=3,则k=(）. 111k 1a… 2,设A= a1…a 为n(m≥3)阶方阵，A的伴随矩阵A的秩r(4)=1,则a=（) aaa 1 3,设A ,(①)若齐次线性方程组A=0只有零解 1a-2 则a的取值为)：(2)若非齐次线性方程组4红=无解，则a的取值为)， 010101 三，计算题 1,求矩阵A= 321 3利用矩阵的初等变换求矩阵A=315的逆矩阵 323 41 021 s-a=(i且x=Bx -33-4/
(A) 5 2 (B) 5 (C) −1 (D) 1 6. A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , B = a13 a12 a11 + a12 a23 a22 a21 + a22 a33 a32 a31 + a32 , P1 = 1 0 0 1 1 0 0 0 1 , P2 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 , P3 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , KB = (A) AP1P2 (B) AP1P3 (C) AP3P1 (D) AP2P3 , WòK 1, A = k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k , er(A) = 3, Kk = ( ). 2, A = 1 a · · · a a 1 · · · a . . . . . . . . . a a a 1 èn(n ≥ 3) ê , Aäë› A∗ùr(A∗ ) = 1, Ka = ( ). 3, A = 1 2 1 2 3 a + 2 1 a −2 , b = 1 3 0 , x = x1 x2 x3 .,(1) e‡gÇ5êß|Ax = 0êk"), Kaäè( ); (2) eö‡gÇ5êß|Ax = bÃ), Kaäè( ). 4, 0 1 0 1 0 0 0 0 1 A 1 0 1 0 1 0 0 0 1 , KA = ( ). n, OéK 1, ¶› A = 3 1 0 2 1 −1 2 −1 1 3 −4 4 ù. 3, |^› – Cܶ› A = 3 2 1 3 1 5 3 2 3 _› . 4, A = 4 1 −2 2 2 1 3 1 −1 , B = 1 −3 2 2 3 −1 ÖAX = B, ¶X. 5, A = 0 2 1 2 −1 3 −3 3 −4 , B = 1 2 3 2 −3 1 ! ÖXA = B, ¶X. 8
6(-()w 7,求解下列线性方程组 {1+2+…+xn=0(②{n1=2=…=n -2x1+x2+x3=0 (3) 1-2+=3 1+2-2=- 1-1-1 -1 8,设A=-111,51=1 0-4-2 0-2 求满足线性方程组A-61,AP6-的所有解向量2,6 1a00\ 1 9,设A= 01a0 -1 001a .b= 0 ,问当a为何值时，非齐次列线性方程组Az=b a001/ 10 (1)有唯一解；（②）无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。 四，证明题 1设A为n阶方阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及3使得A=a3 2,设a,B为m维列向量，矩阵A=aaT+B3T,其中aT,BT分别是a,的转置.证明：)秩r(4)≤2(2) 若a,B线性相关，则秩r(4)<2. 9
6, P = 1 1 −1 −1 2 0 1 1 1 ,Λ = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 , ¶PΛP −1 . 7, ¶)eÇ5êß| (1) n x1 + x2 + · · · + xn = 0 (2) n x1 = x2 = · · · = xn (3) −2x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2x2 + x3 = 3 x1 + x2 − 2x3 = −3 8, A = 1 −1 −1 −1 1 1 0 −4 −2 , ξ1 = −1 1 −2 ¶˜vÇ5êß|Aξ2 = ξ1, A2 ξ3 = ξ1§k)ï˛ξ2, ξ3. 9, A = 1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1 , b = 1 −1 0 0 . Øaè¤äû, ö‡gÇ5êß|Ax = b (1) kçò); (2) Ã); (3) kðıá)?ø3kðıá)û¶Ÿœ). o, y²K 1 Aèn ê , y²: r(A) = 1ø©7á^á¥3ö"ï˛α 9β ¶A = αβT . 2, α, βènëï˛,› A = ααT + ββT ,Ÿ•α T , βT©O¥α, β=ò. y²:(1) ùr(A) ≤ 2; (2) eα, βÇ5É',Kùr(A) < 2. 9