强化篇 第六讲行列式（二） 一行列式与其它章节知识点的的联系 (一）行列式与矩阵 (1)对于n阶矩阵A=(a)的行列式记作A.设A,B为n阶方阵，k为一个数则 (）若(A=1,则A=a8r,其中a=(a…,an)7,8=(,…,b)了，且 lAE-Al=Xn-(a1b1+…+anbn)A=X-(a1+…+ann)A. (②)若n阶矩阵A可逆，则4-1=4-1 (3)设A为n阶矩阵，则①A"A=A4*=AE,(A1=A-1:(m≥2). (④设A为m×n阶矩阵，则r(4)=k台矩阵A中有一个不等于0的阶子式D,且所有k+1阶子式（如果 存在的话)全等于0， ()若A与B相似，则A=B (6)若A为m阶正交矩阵，即ATA=E,则4川=士1. (仁)行列式与向量 设a1,2,…,an和1,2，…，月n为n维列向量组，可记A=(a1,2,…,an,B=(1,,…,月)， 014=11,a2, 回若(a,2,,)=a,,,anK,即B=AK,则=4K ()a1,2,·,0n线性相关当且仅当4=0. ()行列式与线性方程组(Crammer法则) 设A为m阶矩阵，若4≠0，则线性方程组A江=b有唯一的一组解z:=会，其中D=4,D,是将影楷 换A的第列后所得矩阵的行列式. (四)行列式与矩阵的特征值 设A为n阶矩阵.A·为A伴随矩阵，入，入. ·,An为A的特征值，则 (1≤i≤n)是多项式fa)=AE-A的根 (间4=2…X (曲)若A可逆，则A的特征值为兴(1≤i≤). (六)矩阵行列式为0的充要条件 设A=(a1,a2,an)是n阶矩阵，那么 行列式A=0÷矩阵A不可逆÷秩r(A)<n÷Az=0有非零解台0是矩阵A的特征值 A的列（行）向量线性相关. 因此判断行列式是否为零的问题，常用的思路有：(1)用秩：②)用齐次方程组是否有非零解：(3)用特征 值能否为零，等 二.两个计算公式 o&&-wo:&8&em4 三，常考题型及解题方法与技巧 1
rzü 18˘ 1™() ò 1™ÜŸßŸ!£:ÈX (ò) 1™Ü› (1) Èun › A = (aij )1™Pä|A|. A,Bèn ê , kèòáÍ,K (i) |AT | = |A| (ii) |kA| = k n|A| (iii) |AB| = |A||B|, Ì2 |A1A2 · · · An| = |A1||A2| · · · |An|. (v) A∗¥Aäë› , K|A∗ | = |A| n−1 . (vi) er(A) = 1, KA = αβT , Ÿ•α = (a1, · · · , an) T , β = (b1, · · · , bn) T , Ö |λE − A| = λ n − (a1b1 + · · · + anbn)λ = λ n − (a11 + · · · + ann)λ. (2) en › Aå_,K|A−1 | = |A| −1 . (3) Aèn › , K(i) A∗A = AA∗ = |A|E, (ii) |A∗ | = |A| n−1 ; (n ≥ 2). (4) Aèm × n › , Kr(A) = k⇔› A•kòáÿ u0k f™D,Ö§kk + 1 f™(XJ 3{) u0, (5) eAÜBÉq, K|A| = |B|. (6) eAèn › , =AT A = E, K|A| = ±1. () 1™Üï˛ α1, α2, · · · , αn⁄β1, β2, · · · , βnènëï˛|,åPA = (α1, α2, · · · , αn), B = (β1, β2, · · · , βn), (i) |A| = |α1, α2, · · · , αn|; (ii) e(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)K, =B = AK, K|B| = |A||K|. (iii) α1, α2, · · · , αnÇ5É'Ö=|A| = 0. (n) 1™ÜÇ5êß|(Crammer {K) Aèn › , e|A| 6= 0, KÇ5êß|Ax = bkçòò|)xi = Di D ,Ÿ•D = |A|, Di¥ÚbO ÜA1i§› 1™. (o) 1™Ü› Aä Aèn › , A∗èAäë› ,λ1, λ2, · · · , λnèAAä, K (i) λi(1 ≤ i ≤ n)¥ıë™f(λ) = |λE − A|ä. (ii) |A| = λ1λ2 · · · λn; (iii) eAå_, KA∗Aäè|A| λi (1 ≤ i ≤ n). ( ) 1™Üg. g.f(x) = x T ATè½g.(¢È°› A½) Aà?^SÃf™> 0. (8) › 1™è0øá^á A = (α1, α2, · · · αn)¥n › ,@o 1™|A| = 0 ⇔› Aÿå_⇔ùr(A) < n ⇔ Ax = 0kö")⇔ 0¥› AAä ⇔ A(1)ï˛Ç5É'. œd‰1™¥ƒè"ØK,~^g¥k: (1)^ù;(2)^‡gêß|¥ƒkö");(3)^A äUƒè"; . ¸áOé˙™ (1) A 0 C B = A D 0 B = |A||B|; (2) 0 A B C = D A B C = (−1)mn|A||B|. n, ~K.9)Kê{ÜE| 1
题型一，数字型行列式的计算 例6.1计算下列行列式 1234 xa…a 2341 2+a… 2 (1)D (2D4= (3D= 3412 … 4123 a a n |1a00 1 2 4 8 (④D=01a0 9 001a (5)D= 1 3 1 16 a001 2013201320132013 例6.2(2008,1,23,4)设n元线性方程组4r=6,其中 2
K.ò, Íi.1™Oé ~6.1 Oée1™ (1) D = 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 (2) Dn = x a · · · a a x · · · a · · · · · · · · · · · · a a · · · x (3) Dn = 1 + a 1 · · · 1 2 2 + a · · · 2 . . . . . . . . . n n · · · n + a (4) D = 1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1 (5) D = 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 2013 2013 2013 2013 . ~6.2 (2008,1,2,3,4) nÇ5êß|Ax = b,Ÿ• 2
a2 日圓 a2 2a ()证明行列式4=(m+1)a (②)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1: (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。 (二)，抽象型行列式的计算 例6.3()设A为3阶正交矩阵.4<0，若2A+=5,则E+AB1= (②)设A为n阶矩阵，满足AAT=E(E为n阶单位阵，AT是A的转置矩阵)，4<0，求A+E= (3)设a=(1,0,1)T,A=aa7,n为正整数，则laE-A川=--- (④)设4阶矩阵A与B相似，B是B的伴随矩阵，若B的特征值是1，-1,2,4，则AA1= ()已知a1,02,03,4是3维列向量，A=(a1,a2,2a3-04+a2,B=(a3,02,1),C=(1+2a2,22+ 3a4,a4+3a1).若B=-5,1C1=40,则A=- (6)设A为3阶矩阵，1,2是A=0的基础解析，3阶非零矩阵B满足AB=2B,则1A+E= (7)(93)若a1,a2,a3,A,3都是4维列向量，且4阶行列式a1,a2,a3,l=m,a1,a2,2,ag=n,则4阶 行列式a4,a2a1.1+82= ()(98)设A,B均为n阶矩阵，A=2,B=-3,则2AB-1= (9)(00)若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为，，寺，吉，则行列式B-1-E=一 210 (10)(04)设矩阵A= 120 矩阵B满足ABA=2BA+E,其中A为A的伴随矩阵，E是单位 001 矩阵，则1B=
A = 2a 1 a 2 2a 1 a 2 2a 1 . . . . . . . . . a 2 2a 1 a 2 2a n×n , x = x1 x2 . . . xn , b = 1 0 . . . 0 . (1) y²1™|A| = (n + 1)a n; (2) aè¤äû, Têß|kçò),ø¶x1; (3) aè¤äû, Têß|kðı),ø¶œ). (),ƒñ.1™Oé ~6.3 (1) Aè3 › ,|A| < 0, e|2A + B| = 5, K|E + 1 2ABT | = . (2) Aèn › ,˜vAAT = E(Eèn ¸† ,AT¥A=ò› ),|A| < 0,¶|A + E| = . (3) α = (1, 0, 1)T , A = ααT , nèÍ, K|aE − An| = . (4) 4 › AÜBÉq, B∗¥Bäë› , eB∗Aä¥1, −1, 2, 4, K||A|A−1 | = . (5) Æα1, α2, α3, α4¥3ëï˛,A = (α1, α2, 2α3 − α4 + α2), B = (α3, α2, α1), C = (α1 + 2α2, 2α2 + 3α4, α4 + 3α1). e|B| = −5, |C| = 40, K|A| = . (6) Aè3 › , α1, α2¥Ax = 0ƒ:)¤, 3 ö"› B˜vAB = 2B, K|A + E| = . (7) (93) eα1, α2, α3, β1, β2—¥4ëï˛,Ö4 1™|α1, α2, α3, β1| = m, |α1, α2, β2, α3| = n, K4 1™|α3, α2, α1, β1 + β2| = (8) (98) A, B˛èn › ,|A| = 2, |B| = −3,K|2A∗B−1 | = . (9) (00) e4 › AÜBÉq, › AAäè1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5ßK1™|B−1 − E| = . (10) (04) › A = 2 1 0 1 2 0 0 0 1 ,› B˜vABA∗ = 2BA∗ + E,Ÿ•A∗èAäë› ,E¥¸† › ,K|B| = . 3
(11)(2005)设a1,a2,a3为3维列向量，记矩阵A=(a1,2,03),B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a4,1+ 32+9aa,如果4=1，那么1B=- (12)(2005)向量a1=(2.1.1.1).a2=(2.1.a,a).a3=(3.2.1.a).a4=(4.3.2.1)线性相关且a≠1. 则a= (13)(2006)己知a1,2为2维列向量，矩阵A=(201+a2,a1-a2,B=(a1,a2),若行列式A=6, 则B= 10(200)设矩阵A=?1） -12 ,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E,则B= (15)(2008)设3阶矩阵A的特征值为2,3，入.若2A=-48则入= (16)(2008)设3阶矩阵4的特征值为1,2,3.E为3阶单位矩阵，则441-E (1)(2008)设3阶矩阵A的特征值互不相同若行列式4=0，则A的秩为 (18)(2008)设3阶矩阵A的特征值为2,3，入.若2A=-48,则入= (19)(2008)设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，E为3阶单位矩阵，则44-1-E= (20)(2008)设3阶矩阵A的特征值互不相同.若行列式4=0，则A的秩为 (21)(2010)设A,B为3阶矩阵，且4=3，B=2.4-1+B引=2，则4-1+B-1 (22)(2012)设A为3阶矩阵，14=3，A"为A的伴随矩阵.交换A的第1列与第2列得矩阵B,则BA1= 7100Y (24)设A,B为3阶矩阵，且A-1BA=6A+BA,A 020 ,则B 003 1 0 (25)设A,B为3阶矩阵，满足A2B-A-B-E,A 020 ,则B -201 1a…a (26)设A= a1…a 为n(≥3)阶矩阵且4)=n-1,则a= aa.1/ 0a60 (27(2014)行列式a006 为 0 c d o c oo d (A)(ad-bc)2:(B)-(ad-bc2;(C)a2-2c2:(D)22-a22 4
(11) (2005) α1, α2, α3è3ëï˛,P› A = (α1, α2, α3),B = (α1 + α2 + α3, α1 + 2α2 + 4α3, α1 + 3α2 + 9α3), XJ|A| = 1, @o|B| = . (12) (2005) ï˛α1 = (2, 1, 1, 1), α2 = (2, 1, a, a), α3 = (3, 2, 1, a), α4 = (4, 3, 2, 1)Ç5É'Öa 6= 1, Ka = . (13) (2006) Æα1, α2è2ëï˛, › A = (2α1 + α2, α1 − α2), B = (α1, α2),e1™|A| = 6, K|B| = . (14) (2006) › A = 2 1 −1 2 ! , Eè2 ¸†› , › B˜vBA = B + 2E, K|B| = . (15) (2008) 3 › AAäè2, 3, λ.e|2A| = −48,Kλ = . (16) (2008) 3 › AAäè1, 2, 3.Eè3 ¸†› ,K|4A−1 − E| = . (1) (2008) 3 › AAäpÿÉ”.e1™|A| = 0,KAùè . (18) (2008) 3 › AAäè2, 3, λ.e|2A| = −48,Kλ = . (19) (2008) 3 › AAäè1, 2, 3.Eè3 ¸†› ,K|4A−1 − E| = . (20) (2008) 3 › AAäpÿÉ”.e1™|A| = 0,KAùè . (21) (2010) A, Bè3 › ,Ö|A| = 3, |B| = 2,|A−1 + B| = 2, K|A−1 + B−1 | = . (22) (2012) Aè3 › , |A| = 3,A∗èAäë› . ÜA11Ü12› B,K|BA∗ | = . (24) A, Bè3 › , ÖA−1BA = 6A + BA, A = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 , K|B| = . (25) A, Bè3 › ,˜vA2B − A − B = E, A = 1 0 1 0 2 0 −2 0 1 , K|B| = . (26) A = 1 a · · · a a 1 · · · a . . . . . . . . . . . . a a · · · 1 èn(≥ 3) › Ör(A) = n − 1, Ka = . (27) (2014) 1™ 0 a b 0 a 0 0 b 0 c d 0 c 0 0 d è . (A) (ad − bc) 2 ; (B) −(ad − bc) 2 ; (C) a 2d 2 − b 2 c 2 ; (D) b 2 c 2 − a 2d 2 4