长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第十四讲 一维随机变量及其分布

第十四讲一维随机变量及其分布 一.考试内容与要求 1.考试内容： 随机变量、分布函数的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概 密度，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布 2.考试要求： (1)理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)=P(X≤x),x∈R的概念及性质，会计 算与随机变量相联系的事件的概率 (2) 理解离散型随机变量及 其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、 超几何分布、泊松分布及其应用 (3)了解（数一）掌握（数三）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二 项分布. (4)理解连续型萌机变量及其概率密度的概今，堂握均匀分布、正态分布、指数分布及 其应用 (5) 会求随机变量函数的分布 二.考试内容解析 「样本点o】 随机事件A 了P(A)】 随机变量X(o) la<x≤b F(b)-F(a) 0-1分布 二项分布 离散型 泊松分布 超几何分布 分布函数：F(x)=P(X≤)八大分布 几何分布 →函数分布 (均匀分布 连续型指数分布 正态分布 (一)随机变量及其概率分布 1.基本概念 (1)随机变量：顾名思义，随机变量即为会随机改变的量，它是样本点的函数，常以大写 拉丁字母如：X,Y,…表示 (2)分布函数：对于随机变量X和任意实数x,称函数F(x)=P(X≤x),x∈R为随机 变量X的分布函数 2.分布函数的性质：

1 第十四讲 一维随机变量及其分布 一.考试内容与要求 1.考试内容： 随机变量、分布函数的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率 密度，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布 2.考试要求： （1）理解随机变量的概念，理解分布函数 F x P X x ( ) =  ( ) ，x R  的概念及性质，会计 算与随机变量相联系的事件的概率. （2） 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0-1 分布、二项分布、几何分布、 超几何分布、泊松分布及其应用. （3） 了解（数一）掌握（数三）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二 项分布. （4） 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及 其应用. （5） 会求随机变量函数的分布. 二.考试内容解析 ( ) ( ) ( ) ( ) A P A X a X b F b F a               → →         − 样本点 随机事件 随机变量 分布函数：F(x) = P(X  x) → 函数分布 正态分布 指数分布 均匀分布 连续型 几何分布 超几何分布 泊松分布 二项分布 分布 离散型 八大分布 →                                                           0 −1 （一）随机变量及其概率分布 1.基本概念 （1）随机变量：顾名思义，随机变量即为会随机改变的量，它是样本点的函数，常以大写 拉丁字母如： X Y, , 表示. （2）分布函数：对于随机变量 X 和任意实数 x ，称函数 F x P X x ( ) =  ( ) , x R  为随机 变量 X 的分布函数. 2.分布函数的性质：

(1)F(x)是一个单调不减的函数： (2)F(x)是右连续的 (3)lim F(x)=0.lim F(x)=1 (二)离散型随机变量 1.离散型随机变量及其概率分布 如果一个随机变量的一切可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称它为离散型随机变 设离散型随机变量X的可能取值为x,k=1,2,·,且取各个值的概率为 P(X=x)=P4,k=1,2,…, 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 显然分布律应满足下列条件： (1)P20,k=12…, (2)∑A=I 对于任何实数a0为s数k=02 则称随机变量X服从参数为入的泊松分布，记为X~P() 泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n一∞)

2 （1） F x( ) 是一个单调不减的函数； （2） F x( ) 是右连续的； （3） lim 0 ( ) x F x →− = , lim 1 ( ) x F x →+ = (二)离散型随机变量 1.离散型随机变量及其概率分布 如果一个随机变量的一切可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称它为离散型随机变 量. 设离散型随机变量 X 的可能取值为 , 1,2, k x k = ,且取各个值的概率为 ( ) , 1,2, P X x p k = = = k k , 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 1 1 n n x x X p p       显然分布律应满足下列条件： （1） 0 k p  ， k =1,2, ， （2） 1 k k  p = 对于任何实数 a b  ,有 ( ) ( ) k k a x b P a X b P X x     = =  2.常用的离散型概率分布 （1）0-1 分布：分布列为 0 1 1 p p       − ,也可写成 ( ) ( ) 1 1 , 0,1 k k P X k p p k − = = − = (2)二项分布：在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p .事件 A 发生的次数是随机 变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,  ,n . k k n k n P X k Pn k C p q − ( = ) = ( ) = ， 其中 q = 1− p,0  p  1, k = 0,1,2,  ,n ， 则称随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布，记为 X ~ B(n, p) . 当 n =1 时， k k P X k p q − = = 1 ( ) ， k = 0.1 ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项 分布的特例. （3）泊松分布：设随机变量 X 的分布律为  − = = e k P X k k ! ( ) ，  0 为参数， k = 0,1,2， 则称随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，记为 X P ~ ( )  . 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）

(4)几何分布：PX=k)=g-p,k=l,2,3,其中0<p<1,q=1-p,则称 随机变量X服从参数为P的几何分布，记为G(P) (5)超几何分布：PX==C·C过k=0,121 'I=min(M,n)' 则称随机变量X服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为H(血，N,M。 3.几个分布之间的关系： 先引入一个例子，若一箱中有N个产品，其中有M个次品，一次抽取一件，共抽取n件， 要求出取到次品个数的分布。 若是有放回抽取，则次品数X~b(n,P),若是无放回抽取，则X~H(n,M,N),即 P(K=)=CC，k=0,,1(1=min(M, 泊松分布是作为二项分布的近似引入的，在计算中，泊松分布有表可查，而超几何分布与 二项分布的计算都较麻烦，当N和M充分大，n相对N较小时，有以下近似公式： c0- CN 当n充分大(n≥100)，p充分小(p<0.1)而p适中，有以下近似公式： cp'1-pjt、p'e -，k=0,l,…,n k 若X,…,X为独立同分布，X,~(0-1)分布，则X=∑X,一b(n,P) (三)连续型随机变量 1.连续型随机变量及其概率密度 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数∫(x),对任意实数x,有 F(x)=[f(td 则称X为连续型随机变量.f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面2个性质： 1f20:2f=1. F(x)与f(x)的关系：对于f(x)的任一连续点，均有f(x)=F(x) 2.常用的连续型随机变量及其概率密度 (1)均匀分布 随机变量X的流民落在血小内，其省度商数似在个上为层数。一。即

3 （4）几何分布： P(X = k) = q k−1 p,k =1,2,3,  ，其中 0 1, 1   = − p q p ,则称 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G p( ) . （5）超几何分布： 0,1,2 , ( ) , min( , ) k n k M N M n N C C k l P X k C l M n − −  = = = = ，则称随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 3.几个分布之间的关系： 先引入一个例子，若一箱中有 N 个产品，其中有 M 个次品，一次抽取一件，共抽取 n 件， 要求出取到次品个数的分布。 若是有放回抽取，则次品数 X b n p ( , ) ，若是无放回抽取，则 X H n M N ( , , ) ，即 ( ) k n k M N M n N C C P X k C − − = = ， k l = 0,1, , （ l M n = min , ( ) ） 泊松分布是作为二项分布的近似引入的，在计算中，泊松分布有表可查，而超几何分布与 二项分布的计算都较麻烦，当 N M和 充分大， n 相对 N 较小时，有以下近似公式： 1 k n k k n k M N M k n n N C C M M C C N N − − −      −         当 n 充分大（ n 100 ）， p 充分小（ p  0.1 ）而 np 适中，有以下近似公式： ( ) ( ) 1 ! k np n k k k n np e C p p k − − −  ， k n = 0,1, , 若 1 , , X X n 为独立同分布， Xi (0 1− ) 分布，则 ( ) 1 , n i i X X b n p = =  （三）连续型随机变量 1.连续型随机变量及其概率密度 设 F x( ) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f x( ) ，对任意实数 x ，有 ( ) ( ) x F x f t dt − =  则称 X 为连续型随机变量. f x( ) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度. 密度函数具有下面 2 个性质： 1° f x( )  0 ； 2° f x dx ( ) 1 + − =  。 F x( ) 与 f x( ) 的关系：对于 f x( ) 的任一连续点，均有 f x F x ( ) = ( ) 2.常用的连续型随机变量及其概率密度 （1）均匀分布 随机变量 X 的值只落在 a b,  内，其密度函数 f x( ) 在 a b,  上为常数 b − a 1 ，即

F)-b-aasxsb 0其他 则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，记为X~U[a,b小. 分布函数为 0,xb 当a≤，0 0,x≤0 则称X服从参数为九（元>0）的指数分布，记为X~E(2) 分布函数为 F()=-e,x>0 0,x≤0 (3)正态分布 设随机变量X的密度函数为 -6p0为常数，则称随机变量X服从参数为山，。的正态分布或高斯(Guss) 分布，记为X-N(4,σ2） f(x)具有如下性质： 1°f(x)的图形是关于x=4对称的 ?当x=时.)F27a为最大值 若X~N(4,σ)，则X的分布函数为 点ne学a 参数4=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,),其密度函数记为 人e ()= ，-0<x<+0, 4

4 1 , ( ) 0, a x b f x b a     =  −   其他 则称随机变量 X 在 a b,  上服从均匀分布，记为 X U a b  ,  . 分布函数为 ( ) 0, , 1, x a x a F x a x b b a x b     − =    −     当 1 2 a x x b    时， X 落在区间 ( x x 1 2 , ) 内的概率为 b a x x P x X x − −   = 2 1 1 2 ( ) （2）指数分布 如果随机变量 X 的密度函数为 ( ) , 0 = 0, 0 x e x f x x   −      则称 X 服从参数为  (  0) 的指数分布，记为 X E() . 分布函数为 ( ) 1 , 0 0, 0 x e x F x x −  −  =    （3）正态分布 设随机变量 X 的密度函数为 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    − − = x f x e ， −   x  +， 其中   ，  0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为   ， 的正态分布或高斯（Gauss） 分布，记为 ( ) 2 X N  , . f x( ) 具有如下性质： 1° f x( ) 的图形是关于 x =  对称的； 2° 当 x =  时，   2 1 f ( ) = 为最大值； 若 ( ) 2 X N  , ，则 X 的分布函数为 F x e dt x t − − − = 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    参数   = = 0, 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为 X N(0,1) ，其密度函数记为 ( ) 2 2 1 2 x  x e  − = ， −   x  +

分布函数为 )jeid 2元 (x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 (-=1-(且00)=支 知果X-Nu.o),则-L-NO) x0)且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率 是)则=

5 分布函数为  − −  = x t x e dt 2 2 2 1 ( )  。 ( x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。  − = − ( x x ) 1 ( ) 且 ( ) 1 0 2  = 如果 ( ) 2 X N  , ，则 X   − N(0,1) .       −  −       −   =     2  1 1 2 ( ) x x P x X x . 两条重要性质： 1°若 ( ) 2 X N  , ， c 为任意实数，则 ( ) 2 X c N c + +  , , ( ) 2 2 cX N c c   , 2°若 ( ) 2 , X N i i i   , i n =1, 2, , ,且相互独立，则对于不全为 0 的常数 1 2 , , , n c c c ,有 2 2 1 1 1 , n n n i i i i i i i i i c X N c c   = = =          （四）随机变量函数的概率分布 1.离散型情形 已知 X 的分布列为     , , , , , , , , ( ) 1 2 1 2 n n i p p p x x x P X x X = ， Y = g(X ) 的分布列（ ( ) i i y = g x 互不相等）如下：     , , , , ( ), ( ), , ( ), ( ) 1 2 1 2 n n i p p p g x g x g x P Y y Y = ， 若有某些 g(xi) 相等，则应将对应的 i p 相加作为 g(xi) 的概率。 2.连续型情形 先利用 X 的概率密度 f x X ( ) 写出 Y 的分布函数 F y P g X y Y ( ) =  ( ( ) ) ，再利用变上 下限积分的求导公式求出 f y Y ( ) . 三.例题详解 例 1. 设随机变量 ( ) 2 X N  , ，（   0 ）且二次方程 2 y y X + + = 4 0 无实根的概率 是 1 2 ，则  = ____ . 答案：4. 【提示】本题考查将一般正态分布标准化. 解：

【典型错误】不会利用标准正态分布的分布函数的对称性及Φ(O)=)进行计第 例2.设随机变量X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量Y服从参数为(3，P)的二项 分布若P(X≥=号则PV≥)=— 容案：27 19 【提示】本题主要考查二项分布的概率计算由P(X≥小-号可来出p的取值。之后再由 ~B(3p)求出P(Y≥)： 解 「1 xe0, 例3)合Bg小若位每PK≥)-号则的胞调是— 0,其它 答案：[3] 【提示】本题考查随机变量的概率密度和概率分布的概念 解： 例4设X,和X,是任两个相互独立的连续型随机变量，概率密度分别为(x)、(x), 分布函数分别为F(x)、F(x),则 A.+必为某一随机变量的密度函数： B.(x)(x)必为某一随机变量的密度函数： C.F+F必为某一随机变量的分布函数： D.E(x)E(x)必为某一随机变量的分布函数. 答案：D 6

6 【典型错误】不会利用标准正态分布的分布函数的对称性及 ( ) 1 0 2  = 进行计算. 例 2.设随机变量 X 服从参数为 (2，p) 的二项分布，随机变量 Y 服从参数为 (3，p) 的二项 分布.若 ( ) 5 1 9 P X  = ,则 P Y(  = 1) ______. 答案： 19 27 【提示】本题主要考查二项分布的概率计算.由 ( ) 5 1 9 P X  = 可求出 p 的取值，之后再由 Y B p (3, ) 求出 P Y( 1) . 解： 例 3. 设 ( )     1 , 0,1 3 2 , 3,6 9 0, x f x x     =      其它 ，若 k 使得 ( ) 2 3 P X k  = ，则 k 的取值范围是 ____ 答案： 13， 【提示】本题考查随机变量的概率密度和概率分布的概念. 解： 例 4.设 X1 和 X2 是任两个相互独立的连续型随机变量，概率密度分别为 f x 1 ( ) 、 f x 2 ( ) ， 分布函数分别为 F x 1 ( ) 、 F x 2 ( ) ，则 A． 1 2 f f + 必为某一随机变量的密度函数； B． f x f x 1 2 ( ) ( ) 必为某一随机变量的密度函数； C． F F 1 2 + 必为某一随机变量的分布函数； D． F x F x 1 2 ( ) ( ) 必为某一随机变量的分布函数. 答案：D

【提示】本题主要考查随机变量的分布函数及密度函数的性质。 解： 例5.设F()、E(x)分别为随机变量X,与X2的分布函数，为使 F(x)=5(x)-b5(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 3 2 A.a=b=- c.a=-76= 业a=6=-是 解健示引】本感生要考直机安量分有插质的群本性玩 答案：A 「0，x<0 例6.(2010数三)设随机变量X的分布函数F(x)= ,0≤x<1,则 1-e-x,x21 P(Y=1)=_ A)0 B)I D)1-e 2 oie 答案：C 【提示】本题考查分布函数的右连续性 例7.设连续型随机变量X的分布函数为F(x),则F(x)在其定义域内一定为 A.非阶梯间断函数： B.可导承数： C,连续但不一定可导函数： D.阶梯函数 答案.C 【提示】本盟考查连续型随机变量的性质， 例8.设离散随机变量X的分布列为

7 【提示】本题主要考查随机变量的分布函数及密度函数的性质. 解： 例 5. 设 F x 1 ( ) 、 F x 2 ( ) 分 别 为 随 机 变 量 X1 与 X2 的 分 布 函 数 ， 为 使 F x aF x bF x ( ) = − 1 2 ( ) ( ) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 A． 3 5 a = ， 2 5 b = − ； B． 2 3 a = ， 2 3 b = ； C． 1 2 a = − ， 3 2 b = ； D． 1 2 a = ， 3 2 b = − . 答案：A 【提示】本题主要考查随机变量分布函数的基本性质. 解： 例 6. （ 2010 数 三 ） 设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 ( ) 0, 0 1 , 0 1 2 1 , 1 x x F x x e x −     =      −   ， 则 P X( = = 1 _____ ) A）0 B） 1 2 C） 1 1 2 e − − D） 1 1 e − − 答案：C 【提示】本题考查分布函数的右连续性. 解： 例 7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F x( ) ，则 F x( ) 在其定义域内一定为 A.非阶梯间断函数； B.可导函数； C.连续但不一定可导函数； D.阶梯函数 答案：C 【提示】本题考查连续型随机变量的性质. 例 8. 设离散随机变量 X 的分布列为

求X的分布函数，并求PX≤，PI0 0,x≤0 求系数A和B, 本题主要考查连续型随机变量的分布函数的1 例10.设连续型随机变量X的分布函数为 求：(1)常数A:(2)密度函数∫(x):(3)P(X≤0) 【提示】本题主要考查连续型随机变量的分布函数的性质。 例11.设X-N(1,2),求P(0<X≤5). 【提示】本题主要考查正态分布的计算. 例12.若随机变量X服从(0,5)上的均匀分布，求方程4x:+4+X+2=0有实根的概 率 8

8 1, 0, 1, 2 1 1 1 1 8 8 4 2 X P − ， ， ， ， 求 X 的分布函数，并求 ) 2 1 P(X  ， ) 2 3 P(1  X  ， ) 2 3 P(1  X  。 【提示】本题主要考查离散型随机变量的有关计算. 解： 例 9.设连续型随机变量 X 的分布函数 ( ) 2 2 , 0 0, 0 x F x A Be x x  −  = +     求系数 A 和 B. 【提示】本题主要考查连续型随机变量的分布函数的性质. 解： 例 10.设连续型随机变量 X 的分布函数为 ( ) , 1 x A F x x e − = −    + + 求：（1）常数 A；（2）密度函数 f x( ) ；(3) P X(  0) 【提示】本题主要考查连续型随机变量的分布函数的性质. 解： 例 11.设 ( ) 2 X N 1 2， ，求 P X (0 5   ) . 【提示】本题主要考查正态分布的计算. 解： 例 12. 若随机变量 X 服从 (05，) 上的均匀分布，求方程 2 4 4 2 0 x Xx X + + + = 有实根的概 率

答案：} 【提示】本题考查均匀分布的性质。 例13。设1小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布，已知1小时内无人进入图书馆 条提】本超主要考查油酸分布的坠 的概率为0.01，求1小时内至少有两人进入图书馆的概率 例14.设随机变量X~U(2,5),现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3 的概率 【提示】本题考查均匀分布和二项分布. 解 例15.设一大型设备在任何长为1的时间内发生故障的次数N()服从参数为！的泊松 分布。 (1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布： (2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率. 【提示】本题主要考查泊松分布的计算。 解： 算金n=小-固)=2r-化安y。 提示】本题考查离散型随机变量的函数的分布的求法 解

9 答案： 3 5 【提示】本题考查均匀分布的性质. 解： 例 13. 设 1 小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布，已知 1 小时内无人进入图书馆 的概率为 0.01，求 1 小时内至少有两人进入图书馆的概率. 【提示】本题主要考查泊松分布的计算. 解： 例 14.设随机变量 X U (2,5) ,现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率. 【提示】本题考查均匀分布和二项分布. 解： 例 15. 设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N t( ) 服从参数为 t 的泊松 分布。 （1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率. 【提示】本题主要考查泊松分布的计算. 解： 例 16.设 ( ) 1 , 1,2, 2 k P X k k   = = =     .令 1, -1, X Y X  =   当 取偶数时 当 取奇数时 ，求随机变量 Y 的分布 列. 【提示】本题考查离散型随机变量的函数的分布的求法. 解：

例17.设随机变量X~N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度函数. 【提示】本题考查连续型随机变量的函数的分布的求法 例18.设X-U(0,2x),求Y=cosX的密度函数(y) 【提示】本题考查连续型随机变量的函数的分布的求法. 解 例19.已知随机变量X的概率密度fx(x)={π 二，0P 答案：A

10 例 17.设随机变量 X N(0,1) ,求 2 Y X =2 1+ 的概率密度函数. 【提示】本题考查连续型随机变量的函数的分布的求法. 解： 例 18. 设 X U (0,2 ) ，求 Y X = cos 的密度函数 f y Y ( ) . 【提示】本题考查连续型随机变量的函数的分布的求法. 解： 例 19.已知随机变量 X 的概率密度 ( ) 2 , 0 0, X x x f x       =    其他 ，求随机变量 Y X = sin 的概 率密度. 【提示】本题考查连续型随机变量的函数的分布的求法. 解： 四.考研真题选讲 1. 设 ( ) 2 X N ,4 ， ( ) 2 Y N ,5 ，记 p P X 1 =  − (  4) ， p P Y 2 =  + (  5) ，则 A）对任何实数  ，都有 1 2 p p = B）对任何实数  ，都有 1 2 p p  C）只对  的个别值，才有 1 2 p p = D）对任何实数  ，都有 1 2 p p  答案：A