长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第九讲 线性方程组

第九讲。线性方程组 一，线性方程组的各种表达形式 a111 +a12r2+ 1.非齐次线性方程组 021工1 十a12r2+··+02n工n=b2 am1x1+am2Ty2+···+0mnxn=bm 11a12 a41a12 a21a12 02n 2a12…a2mb dmi ama2…amn bm A称为系数矩阵，A=(4,b)称为增广矩阵. 矩阵表达式：Ax=b,其中，x=(E1,E2,…,xn)T,b=(d1,b2,…,bm)T 向量表达式：1a1+202十…+TnOn=b. 如果n维列向量ξ )T满足方程组A=6，即A=b,则称是A=b的一个解向量 2.b=0时，得到齐次线性方程组的相应表达式，称A:=0为A=b的导出组. 二，齐次方程组有非零解的判定 设A是四×卫矩阵.则 ()齐次方程组化 =0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关特别地，如A是n阶 矩阵，A=0有非零解的充要条件是14=0. (2)Ax=0有非零解的充分条件是m<(即方程个数<未知数个数) 特别地，如AB=0,则B的每一列都是Ar=0的解，当B≠0时，蕴涵A红=0有非零解，进而有r(A)+ r(B)<n. 三，非齐次线性方程组有解的判定 (1)设A是m×n矩阵，线性方程组A虹=b有解的充分必要条件是r(A)=r(④（或者说，b可由A的列 向量a1,2,·,0n线性表出，亦等同于a1,02,·,an与a1,2,·,am,b是等价向量组) (2)设A是m×n矩阵.则方程组Ax=b r(A)=r(A)= (3)无解台r(A)+1=r(A÷b不能由A的列向量线性表出 注1.如Ax=6有唯一解，则A:=0只有零解：反之，当Az=0只有零解时，Ax=b没有无穷多解（何 能无解，也可能只有唯一解，这一点要理解清楚). 2.A红=有无穷多解与有两个不同的解等价 四，线性方程组的性质 1.如果1,52是Ar=b的两个解，则6-52是Ar=0的解 2.如果m1,是Ar=0的两个解，则其线性组合k1m+k22仍是Ax=0的解 3.如果是Ar=的解，是A =0的解，则+n仍是A=b的解 五，基础解系及线性方程组有解的结构 1

1 ˘, Ç5êß| ò, Ç5êß|à´Là/™ 1. ö‡gÇ5êß|    a11x1 +a12x2 + · · · +a1nxn = b1 a21x1 +a12x2 + · · · +a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 +am2x2 + · · · +amnxn = bm A =   a11 a12 · · · a1n a21 a12 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn   , A =   a11 a12 · · · a1n b1 a21 a12 · · · a2n b2 · · · · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn bm   , b =   b1 b2 · · · bm   A °èXÍ› ,A = (A, b)°èO2› . › Là™: Ax = b, Ÿ•,x = (x1, x2, · · · , xn) T , b = (b1, b2, · · · , bm) T . ï˛Là™: x1α1 + x2α2 + · · · + xnαn = b. XJnëï˛ξ = (c1, c2, · · · , cn) T˜vêß|Ax = b,=Aξ = b,K°ξ¥Ax = bòá)ï˛. 2. b = 0û,‡gÇ5êß|ÉALà™, °Ax = 0èAx = b—|. , ‡gêß|kö")½ A¥m × n › ,K (1) ‡gêß|Ax = 0kö")øá^á¥r(A) < n,½=Aï˛Ç5É'.AO/,XA¥n › ,Ax = 0kö")øá^á¥|A| = 0. (2) Ax = 0kö")ø©^á¥m < n(=êßáÍ<ôÍáÍ) AO/,XAB = 0,KBzò—¥Ax = 0),B 6= 0û,%ºAx = 0kö"),? kr(A) + r(B) ≤ n. n,ö‡gÇ5êß|k)½ (1) A¥m × n › , Ç5êß|Ax = bk)ø©7á^á¥r(A) = r(A) (½ˆ`,b ådA ï˛α1, α2, · · · , αn Ç5L—,½”uα1, α2, · · · , αn Üα1, α2, · · · , αn, b ¥dï˛|) (2) A¥m × n› ,Kêß|Ax = b (1)kçò)⇔ r(A) = r(A) = n (2)kðı)⇔ r(A) = r(A) < n (3)Ã)⇔ r(A) + 1 = r(A) ⇔ bÿUdAï˛Ç5L— 5 1. XAx = b kçò),KAx = 0 êk")¶áÉ,Ax = 0 êk")û, Ax = bvkðı)(å UÃ),èåUêkçò),˘ò:án)òŸ). 2. Ax = bkðı)Ük¸áÿ”)d. o,Ç5êß|5ü 1. XJξ1, ξ2¥Ax = b¸á),Kξ1 − ξ2¥Ax = 0) 2. XJη1, η2¥Ax = 0¸á),KŸÇ5|‹k1η1 + k2η2 E¥Ax = 0). 3. XJξ ¥Ax = b),η¥Ax = 0 ),Kξ + ηE¥Ax = b ). , ƒ:)X9Ç5êß|k)( 1

令5={x4缸=0以，即S是4x=0的所有解的集合，则S为一个向量空间，称为4x=0的解空间5= {Az=6≠0)，3是A红=的所有解的集合. ()S={4=0一个极大线性无关组（即：S的一个基）m, 称为A =0一个的基础解系.此 时x=h+k22+…+m是A缸=0的通解，其中h,2,·,k是任意常数，其中基础解系中解向量的个 数t=n-r(A)=自由变量的个数S的维数，即为r(S)=n-r(A). (2)若o是A红=的一个特解，m1,2,…,n为其导出组Az=0一个的基础解系，则x=k1m+22+ …+k4+n是Ax=0的通解，其中k1:2,·,k,是任意常数. (③)A=b无解时，5为空集有解时5不作成一个向量空间， (④若 是S的k个线性无关的解，则对某个固定的g点-6…61-6641-，-6为AX 0的k-1个线性无关的解，因此r(≤r(S)+1 (⑤)若6，…，是S的k个线性无关的解，50是Ax-b(b≠0)的解，则51+60，…，+50，+5o是5的k+1个 线性无关的解，因此(S)+1≤r(⑤ (6)(5=r(S)+1 六，线性方程组的解法 设4=b(6≠0)，r(A)=r,则r(4)=r(4,b)或r(A)=r(4,b)-1. 1 ..0 0, 1 b (Ab) o dr+ 0 00 .00 ()若d, ≠0，则r(A)=r(A,)-1,A b无解(2)若d,+1=0,则r(A)=r(A,)=,可得到出 组A=0的基础 新为 -b1r+1 52 =b的特解 于是Ax 的工=k1++k-r5n-r+0,其中 ,kn-为任意常数 七，常考题型及其解题方法与技巧 题型一，线性方程组的求解 例9.1解方程 6x1-2x2+2xg+x4=3 (1) 《x1-T2 +x4=1,(②)x1+2+…+n=1. 2x1 +xg+3x4=2

-S = {x|Ax = 0}, =S¥Ax = 0§k)8‹,KSèòáï˛òm,°èAx = 0)òm.S = {x|Ax = b}(b 6= 0),S¥Ax = b§k)8‹, (1) S = {x|Ax = 0}òá4åÇ5Ã'|(=:Sòáƒ)η1, η2, · · · , ηt°èAx = 0òáƒ:)X.d ûx = k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt¥Ax = 0œ),Ÿ•k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í,Ÿ•ƒ:)X•)ï˛á Ít = n − r(A) =gdC˛áÍSëÍ,=èr(S) = n − r(A). (2) eη0¥Ax = bòáA),η1, η2, · · · , ηt蟗|Ax = 0òáƒ:)X,Kx = k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt + η0¥Ax = 0œ),Ÿ•k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í. (3) Ax = bÃ)û, Sèò8;k)ûSÿä§òáï˛òm. (4) eξ1, · · · , ξk¥SkáÇ5Ã'),KÈ,á½ξi ,ξ1−ξi , · · · ξi−1−ξi , ξi+1−ξi , ξk−ξièAX = 0k − 1áÇ5Ã'),œdr(S ≤ r(S) + 1. (5) eξ1, · · · , ξk¥SkáÇ5Ã'),ξ0¥Ax = b(b 6= 0)), Kξ1+ξ0, · · · , ξk+ξ0, +ξ0¥Sk+1á Ç5Ã'),œdr(S) + 1 ≤ r(S. (6) r(S = r(S) + 1. 8,Ç5êß|){ Ax = b(b 6= 0), r(A) = r, Kr(A) = r(A, b)½r(A) = r(A, b) − 1. (A . . .b) ∼   1 · · · 0 b1r+1 · · · b1n d1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 1 brr+1 · · · brn dr 0 · · · 0 0 · · · 0 dr+1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 0 · · · 0 0   , (1) edr+1 6= 0, Kr(A) = r(A, b) − 1, Ax = bÃ);(2) edr+1 = 0, Kr(A) = r(A, b) = r, å— |Ax = 0ƒ:)¤è: ξ1 =   −b1r+2 . . . −brr+2 1 0 . . . 0   , ξ2 =   −b1r+1 . . . −brr+1 0 1 . . . 0   , · · · , ξn−r =   −b1r+1 . . . −brr+1 0 0 . . . 1   , Ax = bA)ξ0 =   d1 . . . dr 0 . . . 0   , u¥Ax = bœ)èx = k1ξ1 + · · · + kn−rξn−r + ξ0, Ÿ•k1, · · · , kn−rè?ø~Í. ‘, ~K.9Ÿ)Kê{ÜE| K.ò,Ç5êß|¶) ~9.1 )êß (1)    6x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 3 x1 − x2 + x4 = 1, 2x1 + x3 + 3x4 = 2 (2) x1 + x2 + · · · + xn = 1. 2

1 (四求满足A=,AP=6的所以向量2， (四)对（四）中任意向量2,5s,证明1,52，线性相关 题型二，线性方程组解的基本概念 121 例9.3(1)设A= 23a+2 b= 、10 - (四若齐次方程组 =0只有非零解，则a的取值范围为 (四)若齐次方程组A红=无解，则a= (②)己知a1,a2是方程组 21 的两个不同的解向量，则a= -2x+ax2+10rg=4 (3)设A是秩3的5×4矩阵，a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若m+a2+2ag 2,0,0,0)7,3a1+a2=(2,46,8)7,则方程组4=b的通解为 3

~9.2 A =   1 −1 −1 −1 1 1 0 −4 −2   , ξ1 =   −1 1 −2   (I) ¶˜vAξ2 = ξ1, A2 ξ3 = ξ1§±ï˛ξ2, ξ3. (II) È(I)•?øï˛ξ2, ξ3,y²ξ1, ξ2, ξ3Ç5É'. K.,Ç5êß|)ƒVg ~9.3 (1) A =   1 2 1 2 3 a + 2 1 a −2   , b =   1 3 0   , x =   x1 x2 x3   (I)e‡gêß|Ax = 0 êkö"),Kaäâåè . (II)e‡gêß|Ax = bÃ),Ka = . (2) Æα1, α2¥êß|    x1 − x2 − ax3 = 3 2x1 − 3x3 = 1 −2x1 + ax2 + 10x3 = 4 ¸áÿ”)ï˛,Ka = . (3) A¥ù35 × 4› , α1, α2, α3¥ö‡gÇ5êß|Ax = bnáÿ”),eα1 + α2 + 2α3 = (2, 0, 0, 0)T , 3α1 + α2 = (2, 4, 6, 8)T ,Kêß|Ax = bœ)è . 3

例9.4(1)对于元方程组，下列命题正确的是 (A)如果A红=0只有零解则A红=有唯一解：(B)如果A红=0有非零解，则A红=b有无穷多解： (C)如果A=有两个不同的解，则A =0有无穷多解(D)A b有 一解的充要条件是r(A (②)已知，32是Ax=b的两个不同的解，1，Q2是相应齐次方程组4红=0的基础解系，k1,k2是任意常 数则Ax=b的通解是 (4)1a1+2(a1+a2)+B=B(B)101+2(a1-02)+凸+ (Ck1a1+k2(B1-B2)+g品D)k1a1+k2(B1-B2)++拉 (3)设A是秩为m-1的n阶矩阵，a1与a2是方程组4r=0的两个不同的解向量，则4x=0的通解必定 是 (A)a+02 (B)ka (C)k(a+a2)(D)k(a-02) 题型三，基础解系的问题 例9.5(1)(2011,1,2)设A=(a (A)a1.03 (B)a1.a2 (C)a1.a2.03 (D)02.03.04 (2②)(2011,3)设A为1×3矩阵，m,2,%是非齐次线性方程组A=的3个线性无关的解，1，k2,为任 意常数Ax=3的通解为 (A)+(-m.(B)+k(e-m】 (C)+k(-m)+k2(m-m小.(D)+k2(p-m)+(g-m). (3)设a1,02,a3是四元线性方程组Az=b的3个解向量，(A)=3,1=(1,2,3,4)T,a2+g= (0,1,2,37 的通解为 (A) 日-目-目目目目目 (4)设阶矩阵A的伴随矩阵A”≠0，若1,2,6,5是非齐次方程组Az-b的互不相等的解，则对应的 齐次方程组A红=0的基础解系 (A)不存在(B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量(D)含有三个线性无 关的解向量。 ()己知1,2，，是Ar=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用 (A)1+2,h+a,g+4,+1; (B)1,2,B,%的等价向量组a1,2,a3,04 (C)m,2,B,4的等秩向量组a1,a2,a3,a4 (D)1+,+,形-，1-m

~9.4 (1) Èunêß|,e·K(¥ (A) XJAx = 0êk"),KAx = bkçò); (B) XJAx = 0kö"),KAx = bkðı); (C) XJAx = bk¸áÿ”),KAx = 0kðı); (D) Ax = bkçò)øá^á¥r(A) = 0. (2) Æβ1, β2¥Ax = b¸áÿ”),α1, α2¥ÉA‡gêß|Ax = 0ƒ:)X,k1, k2¥?ø~ Í,KAx = b œ)¥ (A) k1α1 + k2(α1 + α2) + β1−β2 2 (B) k1α1 + k2(α1 − α2) + β1+β2 2 (C) k1α1 + k2(β1 − β2) + β1−β2 2 (D) k1α1 + k2(β1 − β2) + β1+β2 2 (3) A¥ùèn − 1n› ,α1Üα2¥êß|Ax = 0¸áÿ”)ï˛,KAx = 0 œ)7½ ¥ (A) α1 + α2 (B) kα1 (C) k(α1 + α2) (D) k(α1 − α2) K.n, ƒ:)XØK ~9.5 (1) (2011,1,2 ) A = (α1, α2, α3, α4)¥4› ,A∗èAäë› . e(1, 0, 1, 0)T¥êß|Ax = 0òáƒ:)¤,KA∗x = 0ƒ:)Xè (A) α1, α3 (B) α1, α2 (C) α1, α2, α3 (D) α2, α3, α4. (2) (2011,3) Aè4 × 3› ,η1, η2, η3¥ö‡gÇ5êß|Ax = β3áÇ5Ã'),k1, k2, k3è? ø~Í,Ax = βœ)è (A) η2+η3 2 + k1(η2 − η1). (B) η2−η3 2 + k2(η2 − η1). (C) η2+η3 2 + k1(η3 − η1) + k2(η2 − η1). (D) η2−η3 2 + k2(η2 − η1) + k3(η3 − η1). (3) α1, α2, α3¥oÇ5êß|Ax = b3á)ï˛,r(A) = 3, α1 = (1, 2, 3, 4)T , α2 + α3 = (0, 1, 2, 3)T , cè?ø~Í, KAx = bœ)è (A)   1 2 3 4   + c   1 1 1 1   (B)   1 2 3 4   + c   0 1 2 3   (C)   1 2 3 4   + c   0 3 4 5   (D)   1 2 3 4   + c   3 4 5 6   . (4) n› Aäë› A∗ 6= 0,eξ1, ξ2, ξ3, ξ4 ¥ö‡gêß|Ax = bpÿÉ),KÈA ‡gêß|Ax = 0ƒ:)X (A) ÿ3 (B) =¹òáö")ï˛ (C) ¹k¸áÇ5Ã')ï˛ (D) ¹knáÇ5à ')ï˛. (5) Æη1, η2, η3, η4¥Ax = 0ƒ:)X,Kdêß|ƒ:)XÑå¿^ (A) η1 + η2, η2 + η3, η3 + η4, η4 + η1; (B) η1, η2, η3, η4dï˛|α1, α2, α3, α4; (C) η1, η2, η3, η4ùï˛|α1, α2, α3, α4; (D) η1 + η2, η2 + η3, η3 − η4, η4 − η1. 4

例9.6已知3阶是对称矩阵A的特征值为1,2，-1，相应的特征向量依次为a1=(a-1,1,1)T,a2= (4,-a,1)T,a3=(a,2,b)T,A是A的伴随矩阵，求(4+E)x=0的基础解析. 题型三，含有参数的方程组解的讨论 +++4=-1 例9.7(2006)己知非齐次线性方程组 4如1+32+53-r4=-1有3个线性无关的解 E1+r2+33+z4= (四证明方程组系数矩阵A的秩r(4)=2(四)求a,b的值及方程组的通解 例9.8(2008)设n元线性方程组4r=b,其中 2a.1 a22a1 a22a1 a22a1 a2 2a ()证明行列式4=n+1) nxn (2)当a为何值时， 该方程组有唯一解，并求1； (3)当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解 5

~9.6 Æ3¥È°› AAäè1, 2, −1,ÉAAï˛ùgèα1 = (a − 1, 1, 1)T , α2 = (4, −a, 1)T , α3 = (a, 2, b) T , A∗¥Aäë› , ¶(A∗ + E)x = 0ƒ:)¤. K.n,¹kÎÍêß|)?ÿ ~9.7 (2006) Æö‡gÇ5êß|    x1 + x2 + x3 + x4 = −1 4x1 + 3x2 + 5x3 − x4 = −1 ax1 + x2 + 3x3 + bx4 = 1 k3áÇ5Ã'). (I) y²êß|XÍ› Aùr(A) = 2; (II) ¶a, bä9êß|œ). ~9.8 (2008) nÇ5êß|Ax = b,Ÿ• A =   2a 1 a 2 2a 1 a 2 2a 1 . . . . . . . . . a 2 2a 1 a 2 2a   n×n , x =   x1 x2 . . . xn   , b =   1 0 . . . 0   . (1) y²1™|A| = (n + 1)a n; (2) aè¤äû, Têß|kçò),ø¶x1; (3) aè¤äû, Têß|kðı),ø¶œ). 5

例9.9(2012)设A e- a001 (四)计算行列式4：（②）当实数a为何值时，方程组Ax-有无穷多解，并求其通解。 入11 例9.10(2010)设A=0A-10,b=1 已知线性方程组4=存在2个不同的解 11 (1)求入，a,(②)求方程组Ar=的通解. 题型四，关于线性方程组公共解，同解问题 ()公共解：设有线性方程组Ax=b1及Bx=b2,其解的集合分别为S,S2,则它们的公共解为线性方 的解，即SnS2 一般有两种解法：一是根据两个方程组有公共解的条件知，把这两个方程组联立后的方程组也应有 解，且其解即为 所求的公共解 二是把 一个方程组的解代入到另 、 个方程组，确立它们的公共解 (2)同解问题：A红=b1与Bx=2同解=(4,1)与(B,2)的行向量组等价，其中1,2可以为零向量 6

~9.9 (2012) A =   1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1   , β =   1 −1 0 0   . (1) Oé1™|A|; (2) ¢Íaè¤äû, êß|Ax = βkðı), ø¶Ÿœ). ~9.10 (2010) A =   λ 1 1 0 λ − 1 0 1 1 λ   , b =   a 1 1   ÆÇ5êß|Ax = b32áÿ”). (1) ¶λ, a, (2) ¶êß|Ax = bœ). K.o,'uÇ5êß|˙
),”)ØK (1) ˙
): kÇ5êß|Ax = b19Bx = b2,Ÿ)8‹©OèS1, S2, KßÇ˙
)èÇ5ê ß| ( Ax = b1 Bx = b2 ), =S1 ∩ S2. òÑk¸´){: ò¥ä‚¸áêß|k˙
)^á,r˘¸áêß|È·￾êß|èAk ),ÖŸ)=觶˙
);¥ròáêß|)ì\,òáêß|,(·ßÇ˙
). (2) ”)ØK:Ax = b1ÜBx = b2”) (A, b1)Ü(B, b2)1ï˛|d, Ÿ•b1, b2å±è"ï˛. 6

+2+=0 例9.11(2007)设线性方程组() +2，+a西=0与方程01+22+=a-1有公共解， I1+412+aI3=0 求a的值及所有公共解 例9.12设4元齐次线性方程组 ∫2m1+3r2-=0 0 而已知另一4元齐次线性方程组四的 个基础解系为a =e-1a+2rg--12a+ 1 ()求方程组()的一个基础解系 (2)当为何值时，方程组与山有非零公共解？若有，求出其所有非零公共解。 例9.13已知1=(0,0,1,0)T,2=(-1,1,0,1)7是齐次线性方程组（四的基础解系，m=(0,1,1,0)7,m= (-1,2,2,1)T是齐次线性方程组(I)的基础解系，求齐次线性方程组（①）与（四）的公共解

~9.11 (2007)Ç5êß|(I)    x1 + x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 + ax3 = 0 x1 + 4x2 + a 2x3 = 0 Üêß(II)x1 + 2x2 + x3 = a − 1k˙
), ¶aä9§k˙
). ~9.12 4‡gÇ5êß|(I)( 2x1 + 3x2 − x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0 Æ,ò4‡gÇ5êß|(II)ò áƒ:)Xèα1 = (2, −1, a + 2, 1)T , α2 = (−1, 2, 4, a + 8)T . (1)¶êß|(I)òáƒ:)X; (2)aè¤äû,êß|Ü(II)kö"˙
)?ek,¶—Ÿ§kö"˙
). ~9.13 Æξ1 = (0, 0, 1, 0)T , ξ2 = (−1, 1, 0, 1)T¥‡gÇ5êß|(I)ƒ:)X,η1 = (0, 1, 1, 0)T , η2 = (−1, 2, 2, 1)T¥‡gÇ5êß|(II)ƒ:)X,¶‡gÇ5êß|(I)Ü(II)˙
). 7

例9.14设有齐次线性方程组Ar=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵，则下列命题 ()若Ar=0的解均是Bx=0的解，则秩r(A)≥r(B). (2)若秩r(A≥r(B,则A 0的解均是B 0的解 (3)若Ax=0与Bx=0同解，则秩r(4)=r(B) (4)若秩r(A)=r(B),则Az=0与Bx=0同解 中正确的是 (A)()2) (B)()(3) (C2(4) (D)(3)4) x1+2r2+3xg=0 阳15时已知*放线雀方程里0+。0m{a-0 r1+r2+ar3=0 同解，求a,,c值

~9.14 k‡gÇ5êß|Ax = 0⁄Bx = 0,Ÿ•A, B˛èm × n › ,Ke·K (1) eAx = 0)˛¥Bx = 0),Kùr(A) > r(B). (2) eùr(A) > r(B), KAx = 0)˛¥Bx = 0). (3) eAx = 0ÜBx = 0”),Kùr(A) = r(B). (4) eùr(A) = r(B), KAx = 0ÜBx = 0”) •(¥ (A) (1)(2) (B) (1)(3) (C) (2)(4) (D) (3)(4) ~9.15 (2005)ƇgÇ5êß|(I)    x1 + 2x2 + 3x3 = 0 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0 x1 + x2 + ax3 = 0 ⁄(II)( x1 + bx2 + cx3 = 0 2x1 + b 2x2 + (c + 1)x3 = 0 ”),¶a, b, cä. 8