习题解答 第一章向量代数 习题1-1 1.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1CD,E、F分别是棱BC、CD1的中点.设A店=a, 而=万AA=亡.试用云，万，亡表示下列向量 (1)AC:(2)BD:(3)A正：(4E. 解：()因为 BC=AD.CC=AA.AC=AB+BC+CCi. 所以 A可=a+万+元 (2因为可=面+D可，而 BD=AD-AB=-DD:=AA. 所以 BD=6-元+元 (3)A正=AD+DD+D正，而 D=4, F-号DG=5a孤， 所以 菲-云+可+己 (④EF-A正-A正=A正-(A店+B)=A-(4店+B)=A正-(A店+号C)=分云+ 万+元-可-号万=-石+号万+元 6 第1题图 第31)题图 2.要使下列各式成立向量云，应满足什么条件？ (1)1a+b1=1a1+161 (2)1a+1=|a1-6 (3)1a-1=a1- (4a-1=1a1+6 解(1)利用三角形两边之和大于第三边”可知下.且要使云+1-1+1必须：云 与同向，或a,中至少有一为0 1…
1–1 1. , ABCD−A1B1C1D1, E F BC C1D1 . −→AB = −→a , −→AD = −→b , −−→AA1 = −→c . −→a , −→b , −→c : (1) −−→AC1; (2) −−→BD1; (3) −→AF; (4) −→EF. : (1) !" −→BC = −→AD, −−→CC1 = −−→AA1, −−→AC1 = −→AB + −→BC + −−→CC1, #$ −−→AC1 = −→a + −→b + −→c . (2) !" −−→BD1 = −→BD + −−→DD1, % −→BD = −→AD − −→AB = −→b − −→a , −−→DD1 = −−→AA1. #$ −−→BD1 = −→b − −→a + −→c . (3) −→AF = −→AD + −−→DD1 + −−→D1F, % −−→DD1 = −−→AA1, −−→D1F = 1 2 −−−→ D1C1 = 1 2 −→AB, #$ −→AF = 1 2 −→a + −→b + −→c . (4) −→EF = −→AF − −→AE = −→AF − ( −→AB + −→BE) = −→AF − ( −→AB + −→BE) = −→AF − ³−→AB + 1 2 −→BC´ = 1 2 −→a + −→b + −→c − −→a − 1 2 −→b = − 1 2 −→a + 1 2 −→b + −→c . uuu uuu uuu !:F ' v . } / ' . > > ? > 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? > ? > ? > ? 6 6 6 6 6 6 6 n / n / n / n / o / n / n / n / o / n / n / n / C C C C C D C C C C C C D C C P P P P P P P P A B D C A1 B1 D1 C1 F E −→a −→c −→b 1 o n o o n o o n o o n o o n o o n (uuuuuuuu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D ?/ 0 ;: EF g c v u −→b − −→a −→b −→a 3(1) 2. &' ()*+, −→a , −→b ,-./012? (1) | −→a + −→b | = | −→a | + | −→b |; (2) | −→a + −→b | = | −→a | − |−→b |; (3) | −→a − −→b | = | −→a | − |−→b |; (4) | −→a − −→b | = | −→a | + | −→b |. : (1) 3“456789:; : −→a //−→b . ?&' | −→a + −→b | = | −→a | + | −→b | @A: −→a B −→b C , D −→a , −→b EFGH" 0. · 1 ·
(②)令元=云+6，则云=己-万，原式化为1己-=1+1所以/且反向.由 此可得a/,反向，且I1≥，或万=0. (3)令=石-方，则a=万+，原式化为：1+1=万+.由()知：∥且同向， 所以云/6且同向.又因云-≥0，所以a1≥，或元=0. (④)令-a-万，则a-五+，原式化为：万+1=1-.由（②）知∥石且反向， 或6=0，同时，1≥1.所以/6且反向，或6=0或a=0. 3.证明下列不等式并说明等号什么时候成立， (1)16-a1≥1a1-1b (2)1a+6+1≤1a1+161+1c 证明：()如图，利用“三角形两边之差小于第三边”可得欲证的不等式.等式成立的条件可参见习 题2(3：/6，同向，且a1≥1，或万=0. (2)令d=万+.则1a+6+=|a+a1≤|a1+|1=1a1+1b+1≤Ia1+61+1cl 等号成立当且仅当)，万，。互相平行且同向，或（仙）云，万，中至少两个为0（也可看成（①）的特 例). 4.在四边形ABCD中，正=云+26，BC=-4云-万，CD=-5云-36(a,元都是非零 向量).证明ABCD为梯形 证明：：A⑦=A市+BC+C品=-8d-26=2BC,:AD/B配.但4D=2BC,所以 ABCD是梯形. 5.设ABCDEF为正六边形，求A花+A记+A币+花+A正. 解：A=A0+A正=A正+A,.A店+A记+而+正+A示=3A而. 第6题图 第5题图 6.设L,M,V分别是三角形ABC的三边BC,CA,AB的中点，证明三中线向量立，B,C示可 以构成一个三角形。 证明因为A配，，C示可以构成一个三角形，当且仅当将这三个向量之和为零向量由 正-2(+0，-2+，示-2+ 可得：立++示=0. 7.在三角形ABC中求一点O,使 0i+0元+0元=0. 2…
(2) I −→c = −→a + −→b , J −→a = −→c − −→b , K)L": | −→c − −→b | = | −→c | + | −→b |. #$ −→b //−→c ?M . N O>P: −→a //−→b , M , ? | −→a | > | −→b |, D −→b = 0. (3) I −→c = −→a − −→b , J −→a = −→b + −→c , K)L": | −→b | + | −→c | = | −→b + −→c |. N (1) : −→b //−→c ?C . #$ −→a //−→b ?C . Q! | −→a − −→b | > 0, #$ | −→a | > | −→b |, D −→b = 0. (4) I −→c = −→a − −→b , J −→a = −→b + −→c , K)L": | −→b + −→c | = | −→c | − |−→b |. N (2) : −→c //−→b ?M , D −→b = 0, CR, | −→c | > | −→b |. #$ −→a //−→b ?M , D −→b = 0 D −→a = 0. 3. ST UV), WXTVY/0RZ*+. (1) | −→b − −→a | > | −→a | − |−→b |; (2) | −→a + −→b + −→c | 6 | −→a | + | −→b | + | −→c |. : (1) , 3“456789[\P]SUV). V)*+12>^_` a 2(3): −→a //−→b , C , ? | −→a | > | −→b |, D −→b = 0. (2) I −→d = −→b + −→c . J: | −→a + −→b + −→c | = | −→a + −→d | 6 | −→a |+| −→d | = | −→a |+| −→b + −→c | 6 | −→a |+| −→b |+| −→c |. VY*+b?cb (i) −→a , −→b , −→c de ?C , D (ii) −→a , −→b , −→c EF7f" 0 (g>h* (i) i j). 4. kl86 ABCD , −→AB = −→a + 2 −→b , −→BC = −4 −→a − −→b , −→CD = −5 −→a − 3 −→b ( −→a , −→b mno ). ST ABCD "p6. : −→AD = −→AB + −→BC + −→CD = −8 −→a − 2 −→b = 2 −→BC, −→AD//−→BC. q | −→AD| = 2| −→BC|, #$ ABCD p6. 5. ABCDEF "r86, s −→AB + −→AC + −→AD + −→AE + −→AF. : −→AD = −→AC + −→AF = −→AE + −→AB, −→AB + −→AC + −→AD + −→AE + −→AF = 3 −→AD. uuuu@P n m n m n m n m n m n m n m n + P@uuuu +n m n m n m n m n m n m n m n uuuuuuuur F. @P - . - . - . . - . - . - . - . - . - . - . - . - . RSRSRSRSRSRSRSRSRSRRSRSRSRZ = ce u t 5C%4 KL ][ ;: EF A D F B E F 5 o n o o n o o n o o n o o n o o n (uuuuuuuu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D 666666666666 V 6 M 66666676666666 NMM MNMMMNMMMNMMMNMM : / GUH $u*Hf456. : !" −→AL, −−→BM, −−→CN >$u*Hf456, b?cbvw4f 9:"o . N −→AL = 1 2 ( −→AB + −→AC), −−→BM = 1 2 ( −→BA + −→BC), −−→CN = 1 2 ( −→CA + −→CB), >P: −→AL + −−→BM + −−→CN = 0. 7. k456 ABC sH O, ' −→OA + −→OB + −→OC = 0. · 2 ·
解设L,BC的中点，则证=号（正+AC).在线段AL上取O点，A0=号立=专（正+AC, 则O点在△ABC的内部，证 0员+0丽+00=0+(01+A+(o+4C=30A+A正+AG =-(A花+AC)+AB+AC=0. 8.设A,B,C,D,一个四面体的四个顶点，M,N分别/边AB,CD的中点.证明 MN=号(AD+BC). 证明1图， C成=C成+.C示=c币， 所以 N=m-Cm=动-20i+0=而+0. 第8题图 第9题图 9.设M,1行四边形ABCD的中心O,任意一点.证明： 0A+0i+0元+0品=40. 证明，图，因为 O=号oA+0C,O=号(oi+0i, 所以 0+i+0元+0i=4m. 10.设ABCD11行四边形，PQ分别边BC,CD的中点.证明APAQ与对角线BD相交于 E,F,而、BD三等分. 证明设花=元，币-可，则 苏=AD-店=6- 币=花+就=元+2不， 0-而+号元-万+2元 又设 正=k莎(k>0),证=m40(m>0) 多 正=ka+专方，证=m+0云 正=A正+i=云+t(万-a)=(1-)云+t万t>0), 3
: LBC , J −→AL = 1 2 ( −→AB+ −→AC). ktxALyzO, ' −→AO = 2 3 −→AL = 1 3 ( −→AB+ −→AC), J O k 4ABC {|. }S: −→OA + −→OB + −→OC = −→OA + (−→OA + −→AB) + (−→OA + −→AC) = 3−→OA + −→AB + −→AC = −( −→AB + −→AC) + −→AB + −→AC = 0. 8. A, B, C, D Hfllf~, M, N 8 AB, CD . ST: −−→MN = 1 2 ( −→AD + −→BC). : , −−→CM = 1 2 ( −→CA + −→CB), −−→CN = 1 2 −→CD, #$ −−→MN = −−→CN − −−→CM = 1 2 −→CD − 1 2 ( −→CA + −→CB) = 1 2 ( −→AD + −→BC). ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( s s s s s ` ? XQQRQQQQQQQ QP ab \ & \& \& ] & \ ' \& \& M M M M L M M M M L M M M M L M M B D C A M N 8 010010010100100100 10 01010 0100100 7 Puuuuuu 7 uuuuuuP '^\ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \ A C B D M O 9 9. M l86 ABCD , O H. ST: −→OA + −→OB + −→OC + −→OD = 4−−→OM. : , !" −−→OM = 1 2 ( −→OA + −→OC), −−→OM = 1 2 ( −→OB + −→OD), #$ −→OA + −→OB + −→OC + −→OD = 4−−→OM. 10. ABCD l86, P, Q 8 BC, CD . ST AP, AQ B5t BD e 0), −→AF = m −→AQ (m > 0), J −→AE = k −→a + k 2 −→b , −→AF = m −→b + m 2 −→a . q −→AE = −→AB + t −→BD = −→a + t( −→b − −→a ) = (1 − t) −→a + t −→b (t > 0). · 3 ·
所以 ka+女万=1-元+t万， k+t-=（-) 由于云与万不平行，所以 同理，由 A正=A店+sBD=(1-s)万+s万(s>0), 可得： {罗+8-1=0 8-m=0, 最后得到： B=2B成，B配=丽， 说明E,F是线段BD的三等分点 11.0为正多边形A142…An的中心证明 OA+可42+…+0A=0. 证明：先考虑n为偶数的情形.此时.显然有：OA+…+OA=0.再看n为奇数的情形：我们增 加一倍顶点B1,·,Bn使原来正n边形A1…An成为：A1B1A2B2…An-1Bn-1AnBm,这是一个2n边 形.所以 0Aj+0B+042+0B+...+A+OB =0. 注意到可成是由可A旋转一个定角9而得到(0<0<x),若记 寸-0A+…+0A 寸=Og+…+OB, 那么可是由下旋转0角而得到.由于0<0<元，可与节不平行，故节+可=0当且仅当下=可=0. 12.0为正多边形AA2…An的中心P是任意一点.证明 P4+P4+.…+PA=nP6】 证明因为 P6=pA+A06=1,2…,n, 所以 nP0=F4+…+PA+(4d+…+A可)=PA+…+P (利用第11题的结论)， 习题1-2 1.已知平行四边形ABCD的对角线为AC和BD.设AC=元，面=石.求A正C元，DA 解如图， 花=0+0苑=号C+号丽=2石-， 4
#$ k −→a + k 2 −→b = (1 − t) −→a + t −→b , : (k + t − 1)−→a = µ t − k 2 ¶ −→b , N 0), >P: ( m 2 + s − 1 = 0 s − m = 0, : ( m = 2 3 s = 2 3 . P: −→BF = 2 3 −→BD, −→BE = 1 3 −→BD, XT E, F tx BD 4V. 11. O "r 86 A1A2 · · · An . ST: −−→OA1 + −−→OA2 + · · · + −−→OAn = 0. : n " 6. OR. G: −−→OA1 + · · · + −−→OAn = 0. h n "6: H~ B1, · · · , Bn 'Kr n 86 A1 · · · An *": A1B1A2B2 · · · An−1Bn−1AnBn, wHf 2n 8 6. #$ −−→OA1 + −−→OB1 + −−→OA2 + −−→OB2 + · · · + −−→OAn + −−→OBn = 0. −−→OBi N −−→OAi Hf 5 θ %P (0 < θ < π), : −→p = −−→OA1 + · · · + −−→OAn, −→q = −−→OB1 + · · · + −−→OBn, 0 −→q N −→p θ 5%P. N< 0 < θ < π, −→q B −→p U , ! −→p + −→q = 0 b?cb −→p = −→q = 0. 12. O "r 86 A1A2 · · · An , P H. ST: −−→P A1 + −−→P A2 + · · · + −−→P An = n −→P O. : !" −→P O = −−→P Ai + −−→AiO (i = 1, 2, · · · , n), #$ n −→P O = −−→P A1 + · · · + −−→P An + (−−→A1O + · · · + −−→AnO) = −−→P A1 + · · · + −−→P An (3= 11 a"#). 1–2 1. l86 ABCD 5t" AC : BD. −→AC = −→a , −→BD = −→b . s −→AB, −→CD, −→DA. : , −→AB = −→AO + −→OB = 1 2 −→AC + 1 2 −→DB = 1 2 ( −→a − −→b ), · 4 ·
C币=-A丽=-(a-). D列=-而=-(0+0=-号元+万 M 第1题图 第2题图 2.在一一ABC中，点M,N1AB边上的，等分点.设C=云，C丽=下.求C,C示 解如图，因为 =子花，成-子 所以 Ci=ci+A=c4+号A正=c+号Ci-cA=号i+号， =+-1+花=1+言C防-动=号不+a 3.在四面体0-ABC中，设点G,一一一ABC的重心.用OA,O成，O记来示向量OG. 解：如图，、 6-01+G,花-号茄， AD=上A丽+AC, 可得G=(花+4C.,花=0苑-0，元=元-01所以 G-=0i+0元-20i,0元-301+0丽+60. 第3题图 第4题图 4.设AT1一一一ABC中∠A的，分、（与BC交T点），将A证用A正，AC来/出. 解设立=元，则T元=1-k利武.、一1分的性质可，：配=k:1-从，因此 AT=AB+BT=AB+kBC=(1-k)AB+kAC +c证+aC, 5.已云，万、共，则向量=3a+万与=2a-6,香、性、关？ 5
−→CD = − −→AB = − 1 2 ( −→a − −→b ), −→DA = − −→AD = −( −→AO + −→OD) = − 1 2 ( −→a + −→b ). 010010010100100100 100 10 10 010 0100 7 Puuuuuu 7 uuuuuuP '^\ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \ SZ 7D)7 % f c A C B D O 1 o n o o n o o n o o n o o n o o n (uuuuuuuu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D A BNM C 2 2. k456 ABC , M, N AB 8y4V. −→CA = −→a , −→CB = −→b . s −−→CM, −−→CN. : , !" −−→AM = 1 3 −→AB, −→AN = 2 3 −→AB, #$ −−→CM = −→CA + −−→AM = −→CA + 1 3 −→AB = −→CA + 1 3 ( −→CB − −→CA) = 1 3 −→b + 2 3 −→a , −−→CN = −→CA + −→AN = −→CA + 2 3 −→AB = −→CA + 2 3 ( −→CB − −→CA) = 2 3 −→b + 1 3 −→a . 3. kl O − ABC , G 456 ABC $. −→OA, −→OB, −→OC −→OG. : , N −→OG = −→OA + −→AG, −→AG = 2 3 −→AD, −→AD = 1 2 ( −→AB + −→AC), >P −→AG = 1 3 ( −→AB + −→AC). % −→AB = −→OB − −→OA, −→AC = −→OC − −→OA, #$ −→AG = 1 3 ( −→OB + −→OC − 2 −→OA), −→OG = 1 3 ( −→OA + −→OB + −→OC). %YQRRRRQRRRQRR q q q q q q q l l l l l l l l l l l + p N N M N N M N N N N N N M ! NQ! S Q" Q" Q" Q" Q" Q" Q" Q" Q" 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 B D C G O A 3 o n o o n o o n o o n o o n o o n (uuuuuuuu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D 565565565565565565565565565 , | −→AB| : | −→AC| = k : (1 − k), !O k = | −→AB| | −→AB| + | −→AC| . < −→AT = −→AB + −→BT = −→AB + k −→BC = (1 − k) −→AB + k −→AC = 1 | −→AB| + | −→AC| (| −→AC| −→AB + | −→AB| −→AC). 5. −→a , −→b U(t, J −→c = 3−→a + −→b B −→d = 2−→a − −→b )t&e*? · 5 ·
解设有k、m使：k己+md=0,即 3ka+k6+2ma-m万=0， 整理后为 (3k+2m)a+(k-m)=0. 由于石，万不共线故a,线性无关所以 ∫3k+2m=0 解得k=m=0, k-m=0 即己，线性无关 6.证明三个向量1-2万，2万-k3,kg-k1共面 证明：由等式 (k1-k2)+(万-k)+(k-k1)=0, 可知这3个向量线性相关，所以共面. 7.O是一个定点，证明：对于不在一直线上的3个点A,B,C,点M位于平面ABC上的充分必要 条件是存在实数1,2，，使得 OM=k10A+k20B+kaOC,k++k=1. 证明：已知AB、C三点不共线，故A正，AC线性无关.任意点M位于平面ABC上当且仅当 ,A店，A记共面，即：，A，A记线性相关，当且仅当存在不全为0的实数m1,m2,m,使 m1+m2A花+m3AC-0, 当且仅当对于定点O有 m1(-A)+m2(o元-ō+m(-0=0, 当且仅当 m1Od=（m1+m2+m3)O-m20B-m0元 显然m1≠0，不然与A店，AC线性无关矛盾.因此若记 k -m (m ++ma). 多 Od=k1Oi+k20店+kOC, 且的1+2+=1. 8.O是一个定点，证明：点M位于△ABC上（包括它的边）的充分必要条件是存在非负实数 1,2,3,使得 O=kOA+k20元+kO元，且k1+k2+k=1. 证明延长AM,必可交BC于D点因此A=A⑦，其中0≤1≤1.由于D在线段BC上，根据 例2.1，存在实数m1,m2,使得 =m1i+m20, m1+m2=1,m1,m2≥0 于是 oM=oA+AM=(1-1)0A+1OD=(1-1)0A+im10B+im20C
: G k m ': k −→c + m −→d = 0, 3k −→a + k −→b + 2m−→a − m −→b = 0, +" (3k + 2m) −→a + (k − m) −→b = 0. N w 3 f t&e*, #$(. 7. O Hf , ST: BC j 2.1, 1k2 m1, m2, 'P −→OD = m1 −→OB + m2 −→OC, m1 + m2 = 1, m1, m2 > 0. < −−→OM = −→OA + −−→AM = (1 − l) −→OA + l −→OD = (1 − l) −→OA + lm1 −→OB + lm2 −→OC. · 6 ·
令1=1-l,2=lm1,k3=lm2,即得 ON=k 0A+k20B+OC.k+k2+ks=1.k1,ka,ka0 反之，不妨设≠1，解方程组 (1-1=k (1=1-k, m1=k2 可得{m1=1 m2=ks （m2=1 则有 m1+m2=1, m1,m2≥0,0<l≤1. 0元=m0i+m20C 则D点在线段BC上由 N=1-1)0A+oD 可以得出=A远，因此M在线段AD上，从而在△ABC上 9.证明：任意不同的三点A,B,C共线的充分必要条件是存在不全为零的实数1,2，，使得 0=kOi+O正+kOC,且的1+k2+3=0, 证明A.B.C共线，当且仅当A店+mA记-0亿，m都不为零)，当且仅当 1(o店-0A+m(oC-0A=0, 当且仅当 -(l+m)ōA+ioi+m0元=0. 令1=-(+m,2=1,k3=m,显然它们不全为零，且： k10i+k20i+kOC=0,M+2+=0 10.证明：任意不同的四点A,B,C,D共面的充分必要条件是存在四个不全为零的实数，使得 0=kOi+k20B+O0+k,O元，且1+++k:=0. 证明AB.C、D共面当且仅当A,AC,A线性相关当且仅当有不全为零的数1，m,n使： 1A正+mAC+nAD-0, 当且仅当 1(ō元-ōi+m(o元-ōA+n(ō元-ōd=0, 当且仅当 -(l+m+n)OA+10B+mOC+nOD=0. 记1=-(+m+n),2=1,=m,=n,显然它们不全为零，使得 k1Oi+kO+kO元+kO品=0，k1+2++k4=0 7
I k1 = 1 − l, k2 = lm1, k3 = lm2, P −−→OM = k1 −→OA + k2 −→OB + k3 −→OC, k1 + k2 + k3 = 1, k1, k2, k3 > 0. M9, U? k1 6= 1, -@AB 1 − l = k1 lm1 = k2 lm2 = k3 >P l = 1 − k1, m1 = k2 1 − k1 , m2 = k3 1 − k1 , JG m1 + m2 = 1, m1, m2 > 0, 0 $P% −−→AM = l −→AD, !O M ktx AD y, C%k 4ABC y. 9. ST: UC4 A, B, C (t0@&121kU3"o2 k1, k2, k3, 'P 0 = k1 −→OA + k2 −→OB + k3 −→OC, ? k1 + k2 + k3 = 0. : A B C (t, b?cb l −→AB + m −→AC = 0 (l, m mU"o), b?cb l( −→OB − −→OA) + m( −→OC − −→OA) = 0, b?cb −(l + m) −→OA + l −→OB + m −→OC = 0. I k1 = −(l + m), k2 = l, k3 = m, 8U3"o, ?: k1 −→OA + k2 −→OB + k3 −→OC = 0, k1 + k2 + k3 = 0. 10. ST: UCl A, B, C, D (0@&121klfU3"o2, 'P 0 = k1 −→OA + k2 −→OB + k3 −→OC + k4 −→OD, ? k1 + k2 + k3 + k4 = 0. : A B C D (b?cb −→AB, −→AC, −→AD t&e*, b?cbGU3"o l, m, n ': l −→AB + m −→AC + n −→AD = 0, b?cb l( −→OB − −→OA) + m( −→OC − −→OA) + n( −→OD − −→OA) = 0, b?cb −(l + m + n) −→OA + l −→OB + m −→OC + n −→OD = 0. k1 = −(l + m + n), k2 = l, k3 = m, k4 = n, 8U3"o, 'P k1 −→OA + k2 −→OB + k3 −→OC + k4 −→OD = 0, k1 + k2 + k3 + k4 = 0. · 7 ·
第11题图 *11.用向量的方法证明契维定理：若三角形ABC的三条边AB,BC,CA依次被分制成AF:FB= :2,BD:DC=3:1,CE:EA=k2:3,其中，1，应3均为正数.则三角形ABC的顶点与它对 边的分点的连线交于一点M,且对于任意一点O有 丽=5++5，i+k丽+k元 证明根据分点D与E的定义可得 丽=年配=年记 于是 而-花+而-+年成-+6年花- 年6而+年孤 所-花-=午c-应 设AD与BE交于M,则有 =AD.B=mB正. 把前面得到的表达式代入以下等式：=A正+，得到 (年5亚+6和）-+加（年6和-） k. 由于AB与AC线性无关由上述等式得到方程组： 十=2+布 解得 1=中 =1-m m=年转石 =全而 又设AD与CF相交于M',同理可得 AM= k+AD k1+k2+k3 即M与M'重合，因此AD,BE,CF交于同一点M. 对任意点O,有 丽=研+丽-耐+年（中+年列 =丽++房+5m-列+++60d-列 3 +妇+5O1+h0i+k0d
o n o o n o o n o o n o o n o o n (uuuuuuuu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D 54555455545554555455545554K VKLKLKKLKLKLKLKKLKLKLK A F B C D E M 11 ∗11. @DSTEF : 456ABC 418AB, BC, CAGHIJ*AF : F B = k1 : k2, BD : DC = k3 : k1, CE : EA = k2 : k3, D B E M>P −→BD = k3 k1 + k3 −→BC, −→AE = k3 k2 + k3 −→AC. P −−→ AM0 = k1 + k3 k1 + k2 + k3 −→AD, M B M0 $T, !O AD, BE, CF <CH M. O, G −−→OM = −→OA + −−→AM = −→OA + k1 + k3 k1 + k2 + k3 µ k2 k1 + k3 −→AB + k3 k1 + k3 −→AC¶ = −→OA + k1 k1 + k2 + k3 ( −→OB − −→OA) + k3 k1 + k2 + k3 ( −→OC − −→OA) = 1 k1 + k2 + k3 (k2 −→OA + k1 −→OB + k3 −→OC). · 8 ·
习题1-3 1.设P,Q两点在标架[O,,下的坐标分别是(2,2,1)，(-1，-1,3).试画出PQ点的位置 解见附图。 解(-1，-1,3) P2,2, 第2题图 第1题图 2.对于平行四边形ABCD,求A,D,A正，D店在标架C:AC,B下的坐标 解C=-AC=(-1)4C+0B元，点A坐标为(-1,0： 0=2+2筋=-240+2航， 点D坐标为(-宁)月 而=号记+号励， 而坐标为（会号）月 D丽=-D=0A记+(-1)品， D店坐标为(0，-1). 设,万，的坐标分别是(1,5,2)，(0，-3,4，(-2,3，-1).求向量2+,-3+2万+4 的坐标 解2a+2=2(1,5,2)+(-2,3,-1)=(2,10,4)+(-2,3,-1)=(0,13,3). -3a+2万+4元--3(1,5,2)+20，-3,4)+4-2,3，-1) =(-3-15,-6)+(0,-6,8)+(-8,12,-4=(-11,-9,-2). 4.证明三角形的三条中线交于一点（重心）. 证明设D,E,F分别是边BC,CA,AB上的中点.AD与BE交于G,AD与CF交于G.则 6=k西=k(2花+号C)=+记 若建立仿射标架[A:花，d,则点G坐标为（货，）又 酝=m酝=m(号成+号配)-m号+d-可 =受d-m花， 所以C坐标为(-m,受）但AG=A店+BG,所以， (传)=a0+(m罗)】
1–3 1. P, Q 7kUV [O; −→e1 , −→e2 , −→e3 ] WU (2, 2, 1), (−1, −1, 3). X% P, Q /Y. : _Z . . . / . . . u@ . l x x x x x & C 55 ;: EF r r ~ ~ . . . / . . uur . l x x x x x G G G G P P P . l . l . l . l . l . l . l . l . l . l . l O −→e1 −→e2 −→e3 P(2, 2, 1) Q(−1, −1, 3) 1 0100 100 10 10 010 010010010100100100 7 Puuuuuu 7 uuuuuuP '^\ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \ A C B D O 2 2. < l86ABCD, sA, D, −→AD, −→DBkUV[C; −→AC, −→BD] WU. : −→CA = − −→AC = (−1)−→AC + 0 −→BD, A WU" (−1, 0); −→CD = 1 2 −→CA + 1 2 −→BD = − 1 2 −→AC + 1 2 −→BD, D WU" ³ − 1 2 , 1 2 ´ ; −→AD = 1 2 −→AC + 1 2 −→BD, −→AD WU" ³ 1 2 , 1 2 ´ ; −→DB = − −→BD = 0 −→AC + (−1)−→BD, −→DB WU" (0, −1). 3. −→a , −→b , −→c WU (1, 5, 2), (0, −3, 4), (−2, 3, −1). s 2 −→a + −→c , −3 −→a + 2 −→b + 4−→c WU. : 2−→a + −→c = 2(1, 5, 2) + (−2, 3, −1) = (2, 10, 4) + (−2, 3, −1) = (0, 13, 3). −3 −→a + 2 −→b + 4−→c = −3(1, 5, 2) + 2(0, −3, 4) + 4(−2, 3, −1) = (−3, −15, −6) + (0, −6, 8) + (−8, 12, −4) = (−11, −9, −2). 4. ST45641t<H ($). : D, E, F 8 BC, CA, AB y. AD B BE < G, AD B CF < G0 . J −→AG = k −→AD = k µ 1 2 −→AB + 1 2 −→AC¶ = k 2 −→AB + k 2 −→AC. [+\]UV [A; −→AB, −→AC], J G WU" ³ k 2 , k 2 ´ . Q −→BG = m −→BE = m µ 1 2 −→BA + 1 2 −→BC¶ = m · − 1 2 −→AB + 1 2 ( −→AC − −→AB) ¸ = m 2 −→AC − m −→AB, #$ −→BG WU" ³ −m, m 2 ´ . q −→AG = −→AB + −→BG, #$, µ k 2 , k 2 ¶ = (1, 0) + ³ −m, m 2 ´ , · 9 ·
解必程与 ∫-1-m = 得k=m=景·所以G的坐不为（信，）同解可以推得G的坐不为（传）证得G=G. 第4题图 第5题图 5.证明三角形的三条角平分线证于一点. 证明设△ABC的三条角平分线分别为AD,BE和CF.且设AD与BE证于T点.令 示=k而网+G+G, 电立物时不等认成且令=，衣-了则7坐不(T我还 知道 配-+远风+6. 1 所以 B所=mB正= 1+16--6-+石- m =-md+ 由于7=丽+立，所以 多 1a+1-1-m m a (++1-可 解得 k= 1a1+61 @1+11+1元- 又设AD与CF证于T'点， A7=$而= @+1+ s 得T点的坐不为+1+可】 CT=CF= 石 +面+0=6+-- 10
-@AB ( k 2 = 1 − m k 2 = m 2 P k = m = 2 3 . #$ G WU" ³ 1 3 , 1 3 ´ . C, >$^P G0 WU" ³ 1 3 , 1 3 ´ . SP G = G0 . o n o o n o o n o o n o o n o o n (uuuuuuuu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D 666666666666 V 6 M 66666676666666 NMMMNMMMNMMMNMMMNMM A F B C DE M 4 o n o o n o o n o o n o o n o o n (uuuuuuuu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D 565565565565565565565565565 %YSSSSSSSSSSSSSSSSS A F B C D E M 5 5. ST456415 t<H. : 4ABC 415 t" AD, BE : CF. ? AD B BE < T . I −→AT = k −→AD = k | −→AB| + | −→AC| (| −→AC| −→AB + | −→AB| −→AC). [+\]UV [A; −→AB, −→AC], ?I −→AB = −→a , −→AC = −→b . J T WU Ã k| −→b | | −→a | + | −→b | , k| −→a | | −→a | + | −→b | ! . _ ` −→BE = 1 | −→BA| + | −→BC| (| −→BC| −→BA + | −→BA| −→BC), #$ −→BT = m −→BE = m | −→a | + | −→b − −→a | (−|−→b − −→a | −→a + | −→a |( −→b − −→a )) = −m−→a + m| −→a | | −→a | + | −→b − −→a | −→b . N< −→AT = −→AB + −→BT, #$ Ã k| −→b | | −→a | + | −→b | , k| −→a | | −→a | + | −→b | ! = (1, 0) + Ã −m, m| −→a | | −→a | + | −→b − −→a | ! , : k| −→b | | −→a | + | −→b | = 1 − m k| −→a | | −→a | + | −→b | = m| −→a | | −→a | + | −→b − −→a | -P: k = | −→a | + | −→b | | −→a | + | −→b | + | −→b − −→a | . Q AD B CF < T 0 , −−→ AT0 = s −→AD = s| −→b | | −→a | + | −→b | −→a + s| −→a | | −→a | + | −→b | −→b . P T 0 WU" Ã s| −→b | | −→a | + | −→b | , s| −→a | | −→a | + | −→b | ! . −−→ CT0 = t −→CF = t | −→CA| + | −→CB| (| −→CB| −→CA + | −→CA| −→CB) = t| −→b | | −→b | + | −→a − −→b | −→a − t −→b , · 10 ·