第一节向量的内积与欧氏空间 一、欧氏空间的定义 在线性空间中,向量之间的基本运算只有加 法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作 为线性空间理论的一个具体模型,那么就会发现 向量的度量性质,如长度、夹角等,在线性空间 理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许 多问题中有着特殊的地位,因此有必要引入度量 的概念。 回
第一节 向量的内积与欧氏空间 一、欧氏空间的定义 在线性空间中,向量之间的基本运算只有加 法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作 为线性空间理论的一个具体模型,那么就会发现 向量的度量性质,如长度、夹角等,在线性空间 理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许 多问题中有着特殊的地位,因此有必要引入度量 的概念
在解析几何中,向量的长度与夹角等度量 性质是通过向量的内积来表示的,而向量的内 积具有明显的代数性质,所以在抽象的讨论中, 我们取内积作为基本的概念。 定义1设V是实数域R上的线性空间,对V中任 意两个元素,, 确定一个实数(,),如 果它具有以下性质 (1)(a,B)=(B,a); (2)(ka,B)=k(a,B);
在解析几何中,向量的长度与夹角等度量 性质是通过向量的内积来表示的,而向量的内 积具有明显的代数性质,所以在抽象的讨论中, 我们取内积作为基本的概念。 定义 1 设V是实数域R上的线性空间,对V中任 意两个元素 , ,确定一个实数( , ),如 果它具有以下性质 (1) (, ) = ( ,); (2) (k, ) = k(, );
(3)(a+B,y)=(a,y)+(B,y); (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时(a,a)=0; 这里 是中任意的向量,是任意实 数, (a,a) 这样的线性空间称为欧几里得空间, 称为 例气对单腔罐向量空间取中的向量 0=(a,42,…,n),B=(1,b2,,bn)7 定义 (a,β)=ab+ab2+…+anbn=∑a,b
(3) ( + , ) = (, ) + ( , ); (4) (,) 0, 当且仅当 = 0 时 (,) = 0; 这里 , , 是V中任意的向量,k是任意实 数, 这样的线性空间称为欧几里得空间, 称为 与 的内积。 (,) 例 1 对于n 维向量空间Rn中的向量 T n T (a ,a ,...,an ) , (b ,b ,...,b ) = 1 2 = 1 2 定义 = = + + + = n i a b a b anbn aibi 1 1 1 2 2 (, )
则数(,)被唯一确定,并且满足 (1)(a,B=2ab=2,a,=(p,a (2)(ka,f)=∑ka,b,=k∑b,=k(a,B月 (3) 如果y=(c,c2,,cn),则(a+B,y)= 2a+6k,-2ac+6c)-a,r)+(B,7片 (4)(a,a)=∑a≥0,当且仅当a=0时 i-1 (a,a)=O;所以向量空间R"在所定义的内积下 构成一个欧氏空间
则数( , )被唯一确定,并且满足 (1) ( , ) ( , ); = = = = = n i n i aibi biai 1 1 (2) ( , ) ( ) ( , ); = = = = = n i i i n i k kai bi k a b k 1 1 (3)如果 ( , ,..., ) , T n c c c = 1 2 则 ( + , ) = ( + ) = ( + ) =(, ) + ( , ); = = n i n i i i i i i i i a b c a c b c 1 1 (4) ( , ) 0, 1 2 = = n i ai 当且仅当 ai = 0 时 (,) = 0; 所以向量空间Rn在所定义的内积下 构成一个欧氏空间
二、向量的长度和夹角 在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹 角的概念。 定义2非负实数、√(a,a)称为向量的长度,记 为a。显然ka=ka。 定理1(Cauchy--Schwarz不等式)对于欧氏空 间中任意两个向量, 有 (a,β)≤aβl 当且仅当 线性相关时,等号成立。(证 略)
二、向量的长度和夹角 在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹 角的概念。 定义 2 非负实数 称为向量 的长度,记 为 。显然 。 (,) k = k 定理1 (Cauchy-Schwarz不等式)对于欧氏空 间中任意两个向量 , 有 (, ) 当且仅当 , 线性相关时,等号成立。(证 略)
定义3设 是欧氏空间中的两个非零向量, 规定 =arccos (a,B) (0≤0≤π) aB 为向量 与 的夹角。 定义4设V是一个欧氏空间, V。如 果(,)=0,则称与是正交的, 记作 上页
定义 3 设 , 是欧氏空间中的两个非零向量, 规定 ( , ) = arccos (0 ) 为向量 与 的夹角。 定义 4 设V 是一个欧氏空间, , V。如 果( , ) = 0 ,则称 与 是正交的,记作