第二节：化二次型为标准型 正交替换法 配方法 三 初等变换法 上页 区回
第二节：化二次型为标准型 • 一， 正交替换法 • 二， 配方法 • 三， 初等变换法
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形. 设 x1=c11y1+c12y2++cinyn> x2 =C21V1+c22V2++c2nyn xn=cnly+Cn2y2++cmym 记C=(ci), 则上述可逆线性变换可记作 x=Cy
= + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , 设 , 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy
将其代入f=xAx,有 f=xTAx=(Cy)A(Cy)=y"(CTAC)y 定理1任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A为对称 矩阵，则B也为对称矩阵且R(B)=R(A) 证明A为对称矩阵即有A=AT,于是 BT=CTAC)=CTAC=CTAC=B, 即B为对称矩阵. B=CIAC,.R(B)≤R(AC)≤R(A), 又A=(C）BC-,.R(A)≤R(BC)sR(B) .R(A)=R(B) 上页
f x Ax T = 证明 A为对称矩阵,即有A = A T ,于是 ( ) T T T B = C AC 将其代入 f = x T Ax,有 y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = , , ( ) ( ). 1 , , B R B R A C B C AC A T = = 矩 阵 则 也为对称矩阵且 定 理 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 C A C T T = C AC B, T = = B C AC, T = R(B) R(AC) R(A), ( ) , 1 1 − − A = C BC 又 T ( ) ( ) ( ). 1 R A R BC R B − R(A) = R(B). 即 B 为对称矩阵
说明 1.二次型经可逆变换x=Gy后，其秩不变，但f 的矩阵由A变为B=CTAC; 2.要使二次型经可逆变换x=C变成标准形， 就是要使 yC ACy=kiy+k+kn -(y2, 也就是要使CTAC成为对角矩阵 王
说明 2 2 2 2 2 1 1 n n T T y C ACy = k y + k y + + k y 就是要使 2. 要使二次型f经可逆变换 x = Cy变成标准形, ( , , , ) , 2 1 2 1 1 2 = y y y k k k y y y n n n 也就是要使C AC成为对角矩阵. T ; 1 , , A B C AC . x Cy f T = = 的矩阵由 变为 二次型经可逆变换 后 其秩不变 但
正交替换法 由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP=人，即PTAP=人.把此结论应用于二次 型，有 定理2 任给二次型f=0gx,x,(a,=a人总有 正交变换x=Py,使f化为标准形 f=+++ 其中21,22，…，2是f的矩阵A=(a)的特征值
型 有 使 即 把此结论应用于二次 由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 , , . , , 1 = = − P AP P AP A P T ( ) 正交变换 使 化为标准形 定 理 任给二次型 总 有 x Py f f a x x aij a ji n i j ij i j , 2 , , 1 = = = = , 2 2 2 2 2 1 1 n n f = y + y ++ y , , , ( ) . 其中1 2 n是 f 的矩阵A = aij 的特征值 一， 正交替换法
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1.将二次型表成矩阵形式f=xTAx,求出A; 2.求出A的所有特征值1,22，，2n; 3.求出对应于特征值的特征向量51,52，，5n; 4.将特征向量51,52，，5正交化，单位化，得 71,72,,7n,记C=(71,72,,7n)方 5.作正交变换x=Cy,则得f的标准形 f=1y2+.+ny2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1. f x Ax, A; 将二次型表成矩阵形式 = T 求出 2. , , , ; 求出A的所有特征值1 2 n 3. , , , ; 求出对应于特征值的特征向量 1 2 n , , , , ( , , , ); 4. , , , , , 1 2 1 2 1 2 n n n C 记 = 将特征向量 正交化 单位化 得 . 5. , 2 2 1 1 n n f y y x Cy f = + + = 作正交变换 则得 的标准形
例2将二次型 f=17x7+14x2+14x3-4x1x2-4x1x3-8x2x3 通过正交变换x=Py,化成标准形 解 1.写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 -2 -2 A= -2 14 -2 -4 14 17-2 -2 -2 A-E= -2 14-元 -4卡(-18)2(-9) -2 -4 14- 区回
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A − − − − − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A E ( 18) ( 9) 2 = − − , . 17 14 14 4 4 8 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 通过正交变换 化成标准形 将二次型 x Py f x x x x x x x x x = = + + − − − 例2
从而得特征值21=9，九2=23=18. 2.求特征向量 将1=9代入(A-2E)x=0,得基础解系 51=(1/2,1,1) 将22=3-18代入(A-2E)x=0,得基础解系 52=(-2,1,0),53=(-2,0,1) 3.将特征向量正交化 取 [,5」 01=51,a2=52,43=53- 得正交向量组 o:.@.jo a1=(1/2,1,1),a2=(-2,1,0)', a3=(-2/5,-4/5,10
从而得特征值 9, 18. 1 = 2 = 3 = 将1 = 9代入(A − E)x = 0,得基础解系 2．求特征向量 将2 = 3 = 18代入(A− E)x = 0,得基础解系 ( 2,1,0) , 2 = − T ( 2,0,1) . 3 = − T 3．将特征向量正交化 , 1 1 取 = (1 2,1,1) . 1 T = , 2 = 2 , , , 2 2 2 2 3 3 3 = − 得正交向量组 ( 2 5, 4 5,1) . 3 = − − T ( 2,1,0) , 2 = − T 1 (1 2,1,1) , T =
4.将正交向量组单位化，得正交矩阵P 令 =0=12认 (13 -2/5 -2/W45 得 1=2/3n2= -4/45 2/3 5/W45 1/3 -2/5 -2/W45 所以 P 2/3 1/5 -4/V45 2/3 0 5/45
= , (i = 1,2,3), i i i 令 得 , 0 1 5 2 5 2 − , = 2 3 2 3 1 3 1 = . 5 45 4 45 2 45 3 − − = . 2 3 0 5 45 2 3 1 5 4 45 1 3 2 5 2 45 − − − 所以 P = 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为 1 1/3-2/W5-2/W45 X2 = 2/3 1/W5 -4/√45 2/3 0 5/V45 且有 f=9y2+18y陉+18y3. 上页
于是所求正交变换为 , 2 3 0 5 45 2 3 1 5 4 45 1 3 2 5 2 45 3 2 1 3 2 1 − − − = y y y x x x 9 18 18 . 2 3 2 2 2 1 且有 f = y + y + y
