北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 矩阵的对角化 第三节 向量的内积和Schmidt正交化

第三节向量的内积和Schmi dt正交化 一、内积的定义和性质 二、向量的长度和性质 三、正交向量组的概念和求法 四、正交矩阵和正交变换 五、小结 思考题

第三节 向量的内积和Schmidt正交化 一、内积的定义和性质 二、向量的长度和性质 三、正交向量组的概念和求法 四、正交矩阵和正交变换 五、小结 思考题

、 内积的定义及性质 定义1 设有n维向量 x= y : Xn 令 [x,y]=x1y+x2y2+.+xnyn 称[x,y]为向量x与y的内积

定义1 设有n维向量 , , 2 1 2 1               =               = n n y y y y x x x x     n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、内积的定义及性质

说明 1n(n≥4维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义。 2内积是向量的一种运算，如果x,都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为： [,川=

说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n  4)  ,  . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列

内积的运算性质 其中x,y,z为n维向量，为实数)： [,]=[b,x (2)2,y川=2x,] 3)[x+y,=[x,z+[y,z (4)儿x,≥0，且当x≠0时有，x>0

内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y =  y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z + y,z; (4)[x, x]  0,且当x  0时有[x, x]  0

二、向量的长度及性质 定义2令 x=√x,=V+++2 称x为n维向量x的长度（或范数） 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当x≠0时，x>0;当x=0时，x=0; 2.齐次性2x=2x 3.三角不等式x+≤+

定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 ,  , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x  0时, x  0;当x = 0时, x = 0; x =  x ; x + y  x + y . 二、向量的长度及性质

单位向量及n维向量间的夹角 ()当x=1时，称x为单位向量 (2)当x≠0，y川≠0时，0=arccos [,y y 称为n维向量x与y的夹角.0≤O≤π 例 求向量a=(1,2,2,3)与B=(3,1,5,1)的夹角. 解cos0= 182 aB 32.62 ∴.0

单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解       cos = 2 2 3 2 6 18 =  = . 4   = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( )   x y x y x y , 2 当  0,  0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角 . （0 )    

三、正交向量组的概念及求法 1正交的概念 当x,y川=0时，称向量x与y正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 2正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组

１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法

3 正交向量组的性质 定理1 若n维向量a1,a2,,a,是一组两两正交的 非零向量，则a必，a2,,a,线性无关 证明设有几1,2，，2，使 20%+元22+…+0=0 以a左乘上式两端得21a,a1=0 由a1≠0→a,7a1=a12≠0，从而有2=0. 同理可得人2=…=人，=0.故C1,Q2,,,线性无关

0 0, 2 1   1 1 = 1  T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1  2   r线性无关 证明 设有 1 ,2 ,  ,r 使     1 1 2 2 r + + + =r 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r         1 2 1 2 1

性质2：正交向量组单位化后仍是正交向量组 叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。 如果o?C2…m 是标准正交向量组， a1- (i,手1,2…m》

性质2 : 正交向量组单位化后仍是正交向量组 叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。 如果   1 ， 2 m 是标准正交向量组， i j 1,i=j , 0,i j        =    则 （i,j= 1,2 m )

例如 0 0 0 0 1 0 0 1= 0 &n 0 83 1 0 0 0 0 就是一个标准正交向量组

. 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 1 2 3 4               =               =               =                =    例如 就是一个标准正交向量组