第二节基坐标及其变换 一线性空间的基、向量的坐标 P(x,y,Z) (00.1) (0.1,0)1 (1,00) X 上页 返回
第二节 基 坐标及其变换 一 线性空间的基、向量的坐标 (1, 0, 0） (0, 1, 0） (0, 0, 1) X Z o P(x, y, z) A B
在三维实向量形成的线性空间中，常常选择一组向量： e=(1,0,0),e2=(0,1,0),e=(0,0,1)',空间中任意一 个向量可以表示成： =xe,ye,+ze,=(eee 在例4的线性空间中也存在一个向量组： 1,x,…,x”,空间中任意一个向量可以表示成 p(x)=，x,…, r" 4.… 上页
在三维实向量形成的线性空间中，常常选择一组向量： T T T e (1, 0,0) , e (0,1, 0) , e (0,0,1) 1 = 2 = 3 = ，空间中任意一 个向量可以表示成： ( ) = + + = z y x x y z xe ye ze e e e T 1 2 3 1, 2 3 ( , , ) , 在例 4 的线性空间中也存在一个向量组： 1, , , ; n x x 空间中任意一个向量可以表示成 ( ) = n n a a a p x x x 1 0 ( ) 1, ,
定义3设V是线性空间，a,C2,…,0n 是V中n个向量，如果存在一组不全为零的实数 ki k, ,kn,使得： ka,+k02+…+kan=0 则称向量组a,g,·,Q,是V中线性无 关的向量组。 显然e=(L,0,0),e2=(0,1,0),e=(0,0,1)7 线性无关； L,X,…,x线性无关。 上页 区回
定义 3 设V 是线性空间， , , , , 1 2 n 是V 中n 个向量，如果存在一 组不全为零的实数 n k , k , k 1 2 ，使得： k11 + k22 ++ k n n = 0 则称向量组 , , , , 1 2 n 是V 中线性无 关的向量组。 显 然 T T T e (1, 0,0) , e (0,1, 0) , e (0,0,1) 1 = 2 = 3 = 线性无关； 1, , , ; n x x 线性无关
定义4设V是线性空间，Q,o2,, c,是V中n 个向量 (1),,,an,线性无关： (2)V中任意一个向量Q可以表示成 01,02, ,αn,的，线性组合，既是： =x0+x2+…+x,n=(a,2,…, 称0， 02,…, n,是线性空间V的一个基（底），其 个数n称为V的维数，记为 dimV=n X=x,x2,,x,)称为向量a在这个基下的坐标。 注意：1.在线性空间中基不唯一； 2.在同一个基下，向量和它的坐标一一对应
定 义 4 设V 是线性空间， , , , , 1 2 n 是V 中n 个向量 （1） , , , , 1 2 n 线性无关； （ 2 ） V 中任意一个向量 可 以 表 示 成 , , , , 1 2 n 的 ， 线 性 组 合 ， 既 是 ： ( ) = + + + = n n n n x x x x x x 2 1 1 1 2 1 2 , , , 称 , , , , 1 2 n 是 线性空间V 的一个基（底），其 个 数 n 称 为 V 的 维 数 ， 记 为 dimV = n ， ( ) T n X x , x , , x = 1 2 称为向量在这个基下的坐标。 注意： 1. 在线性空间中基不唯一； 2. 在同一个基下，向量和它的坐标一一对应
例在3维实向量空间R中选择两个基 (1)e,=(1,0,0)',e2=(0,1,0),e=(0,0,1) (2)e=(1,0,0),e2=(L,1,0)',e=(1,1,1) 求向量α=(10，-2,3)'在两个基下的坐标。 解求坐标方程为： 0 xe1+xe2+x,e3=a→x 解得坐标(x,x2,x)'=(10, -2, 3) ye1+ye2+y,e3=a→x 解得坐标 (y,y2,y)y=12,-5, 3 回
例 在 3 维实向量空间 3 R 中选择两个基 （1） T T T e (1, 0,0) , e (0,1, 0) , e (0,0,1) 1 = 2 = 3 = （2） T T T e (1,0,0) , e (1,1,0) , e (1,1,1) ' 3 ' 2 ' 1 = = = 求向量 T = (10, − 2, 3) 在两个基下的坐标。 解 求坐标方程为： = − + + + + = 3 2 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 x e x e x e x x x 解得坐标 ( ) ( ) T T x1 , x2 , x3 = 10, − 2, 3 。 = − + + + + = 3 2 10 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ' ' ' 1 1 2 2 3 3 1 2 3 y e y e y e x x x 解得坐标 ( ) ( ) T T y1 , y2 , y3 = 12, − 5, 3
基变换与坐标变换 线性空间V两个基 01,02,,0n *B,B2, B. B=p1a1+p212+…+pn1a。 f2=p121+p202+…+Pn2C (1) B.=pud+pan++pa 记成： P Pi2 … (B,B,、n)=(a,a,…,an P21 Pa (2) Pn2 上页
二 基变换与坐标变换 线性空间V 两个基 * , , , ; 1 2 n ** , , , ; 1 2 n = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n p p p p p p p p p 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 .................................. （1） 记成： ( ) ( ) = n n nn n n n n p p p p p p p p p 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 1 2 , , , , , , （2）
Pu P2 Pin 矩阵 P : 过渡矩阵 (3) Pn2 (2)式可以写成 (B,B,, B.)=(aa,.a)P (4) 分析过渡矩阵P 1.第j列是*基底的第广个向量在*基底下的坐标 2.*和**都是线性无关的，所以过渡矩阵P满秩。 上页 区回
矩阵 = n n nn n n p p p p p p p p p P 1 2 21 22 2 11 12 1 过渡矩阵 （3） （2）式可以写成 (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )P （4） 分析 过渡矩阵P: 1.第 j列是**基底的第 j个向量在*基底下的坐标; 2.* 和 ** 都是线性无关的，所以过渡矩阵P满秩
例已知R[x]的两个基： (1) 1,x,x2,x3 (2)1,1+x,(1+x)2,(1+x)3; *求由基(1)到基(2)的过渡矩阵 1=1.1+0x+0·x2+0x 1+x=11+1x+0·x2+0x3 (1+x)2=11+2·x+1x2+0x (1+x)3=11+3·x+3x2+1x2 可以统一表示成： (11+x(1+x)2(1+x)3）= 111 1 3 001 3 0 0 0
例 已知 [ ] 4 R x 的两个基： （1） 1, , , ; 2 3 x x x （2） 1, 1 , (1 ) , (1 ) ; 2 3 + x + x + x * 求由基（1）到基（2）的过渡矩阵 2 3 1 =11+ 0 x + 0 x + 0 x 2 3 1+ x =11+1 x + 0 x + 0 x 2 2 3 (1+ x) =11+ 2 x +1 x + 0 x 3 2 3 (1+ x) =11+ 3 x + 3 x +1 x 可以统一表示成： ( ) ( ) + + + = 0 0 0 1 0 0 1 3 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 3 2 3 x x x x x x
11%1 1) 0123 过渡矩阵 P= 001 3 0001 *求由基(2)到基(1)的过渡矩阵G 1-1 1%-1 01-23 G-P 001 -3 0001 求向量f(x)=a,x3+a,x2+ax+a,在 第(2)个基下的坐标 区回
过渡矩阵 = 0 0 0 1 0 0 1 3 0 1 2 3 1 1 1 1 P * 求由基（2）到基（1）的过渡矩阵G − − − − = = − 0 0 0 1 0 0 1 3 0 1 2 3 1 1 1 1 1 G P * 求向量 1 0 2 2 3 3 f (x) = a x + a x + a x + a 在 第（2）个基下的坐标
f(x)=(xx2 (1+x(1+x2(+x) 4 a; -41+2-a3 41-2a2+3a3 42-303 43 上页
( ) ( ) + + + = = 3 2 1 0 2 3 3 2 1 0 2 3 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 a a a a x x x G a a a a f x x x x ( ) − − + − + − = + + + 3 2 3 1 2 3 0 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 (1 ) (1 ) a a a a a a a a a a x x x