习题解答 第九章坐标变换与点变换 习题91 1.两直角坐标系O:m,ml与0，l有公共原点在原坐标系0：m,m下，新坐标系的基向量 -(送)-() (1)写出坐标变换公式： 阅写出原坐标系中的基向量m-(日)必一()在新坐标系下的坐标分量 同已知向量节在口-m,同的分量为(）求花在新坐标系O成对下的分量 解()因为(，)=(m,)江，其中T= ,所以坐标变换公式为 日r60-毫)0 因由0知a四=6形T其中T4一兰誉 ,所以=号%-2呢 倒从()）-=T(矿)可推知()-T(（日)现在寸=m-所烈 -(等)-(a 这就是在新坐标系下的分量 2.在平面直角坐标系10：m,归中，已知新的直角坐标系[0：，的原点0的坐标为(3,2)，点 M(5,3)在新坐标系的x轴上，且点M的新坐标士>0.试用矩阵形式写出从[O:m,2]到[O;,的 坐标变换公式 解因为X0=（ 份8：（⊙）二目-（目元的（登 即cos0=25,im9=5.所以T= 25 1
9–1 1. [O; η1, η2] [O; η 0 1 , η0 2 ] . [O; η1, η2] , : η 0 1 = Ã √ 2 √ 2 2 2 ! , η0 2 = Ã − √ 2 √ 2 2 2 ! . (1) ; (2) η1 = µ 1 0 ¶ , η2 = µ 0 1 ¶ !; (3) "# −→v [O; η1, η2] ! µ 1 −1 ¶ , $% [O; η 0 1 , η0 2 ] !. : (1) & (η 0 1 , η0 2 ) = (η1, η2)T, ' T = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! , () µ x y ¶ = T µ x 0 y 0 ¶ = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! µ x 0 y 0 ¶ . (2) * (1) #: (η1, η2) = (η 0 1 , η0 2 )T −1 , ' T −1 = Ã √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ! , () η1 = √ 2 2 η 0 1 − √ 2 2 η 0 2 , η2 = √ 2 2 η 0 1 + √ 2 2 η 0 2 , +: η1 = Ã √ 2 2 − √ 2 2 ! , η2 = Ã √ 2 √ 2 2 2 ! . (3) , µ x y ¶ = T µ x 0 y 0 ¶ -.# µ x 0 y 0 ¶ = T −1 µ x y ¶ . / −→v = η1 − η2, () µ x 0 y 0 ¶ = Ã √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ! µ 1 −1 ¶ = µ 0 − √ 2 ¶ , 012 −→v !. 2. 34 [O; η1, η2] , "# [O0 ; η 0 1 , η0 2 ] O0 (3, 2), M(5, 3) x 0 56, 7 M x 0 > 0. 89:;?# −−→O0M = µ 5 3 ¶ − µ 3 2 ¶ = µ 2 1 ¶ , @ −−→O0M AB2 Ã 2 √ 5 √ 5 5 5 ! , + cos θ = 2 √ 5 5 , sin θ = √ 5 5 . () T = Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! . &C x y 1 = 2 √ 5 5 − √ 5 5 3 √ 5 5 2 √ 5 5 2 0 0 1 x 0 y 0 1 . · 1 ·
3.设二次曲线C在直角坐标系O1,2l中的方程是 x2-xy+y2+2x-4g+1=0. (1)取新的直角坐标系[0：，1，使0在旧坐标系下的坐标为(0,2)，且有 ∫=m+号 6=-要m+要m, 试用矩阵形式写出坐标变换公式 (2)求曲线C在新坐标系下的方程 ②C的方程为号+号=1 4.设有平面直角坐标系[O:1,小，若新的直角坐标系[0：，吲满足：x轴和y轴在旧坐标系中 的方程分别是r-2y+2=0和2x+y+4=0. ()求从旧坐标系到新坐标系的变换公式 (②)求直线x一y+2=0在新坐标系中的方程 (3)求直线3x++1=0在旧坐标系中的方程 x-2y+2=0 解国因0点的坐标的是方程组{红)十-。的解即=（细）-() 显然-2y+2=0的方向系数为2：1,2r+y+4二0的方向系数为-1：2所以=29m+ =1,,项构成 右手系所以坐标变换公式为 日（管章）0 (2)x-y+2=0在新坐标系中的方程为： (25-9-2-(5+25）+2-0 即-3=0. (③)由(1)的坐标变换公式可以得到 ) 2
3. DEFGH C [O; η1, η2] IJ2: x 2 − xy + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0. (1) K [O0 ; η 0 1 , η0 2 ], L O0 M (0, 2), 7 η 0 1 = √ 2 2 η1 + √ 2 2 η2 η 0 2 = − √ 2 2 η1 + √ 2 2 η2, 89:;D, X0 = µ 0 2 ¶ , T = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! , 7OP |T| = 1. () : x y 1 = √ 2 2 − √ 2 2 0 √ 2 2 √ 2 2 2 0 0 1 x 0 y 0 1 . (2) C IJ x 02 6 + y 02 2 = 1. 4. D34 [O; η1, η2], Q [O0 ; η 0 1 , η0 2 ] RS: x 0 5T y 0 5M IJ!U2 x − 2y + 2 = 0 T 2x + y + 4 = 0. (1) $,M = ; (2) $H x − y + 2 = 0 IJ; (3) $H 3x 0 + y 0 + 1 = 0 M IJ. : (1) & O0 (x0, y0) 2IJV ( x − 2y + 2 = 0 2x + y + 4 = 0 W, + X0 = µ x0 y0 ¶ = µ −2 0 ¶ . XYx−2y+2 = 0I Z2 : 1, 2x+y+4 = 0I Z−1 : 2. ()η 0 1 = 2 √ 5 5 η1+ √ 5 5 η2, η 0 2 = − √ 5 5 η1 + 2 √ 5 5 η2, + (η 0 1 , η0 2 ) = (η1, η2) Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! . *[ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1, η 0 1 , η0 2 \] ^_ . () x y 1 = 2 √ 5 5 − √ 5 5 −2 √ 5 5 2 √ 5 5 0 0 0 1 x 0 y 0 1 . (2) x − y + 2 = 0 IJ: Ã 2 √ 5 5 x 0 − √ 5 5 y 0 − 2 ! − Ã √ 5 5 x 0 + 2 √ 5 5 y 0 ! + 2 = 0, + x 0 − 3y 0 = 0. (3) * (1) -)`= x 0 y 0 1 = 2 √ 5 5 √ 5 5 4 √ 5 5 − √ 5 5 2 √ 5 5 − 2 √ 5 5 0 0 1 x y 1 , · 2 ·
故3x++1=0在旧坐标系下的方程为： (++）+(g+25,-）1- 即5z+5y+10+V5=0. 习题92 1.化简二次曲线的方程 5x2+4ry+2y2-24z-12y+12=0, 并画出它的图形以及新的坐标轴. 解矩阵4=（合2）B-(6）因此五-I=7>06-M=6>06- =-108<0.此曲线是椭圆.A的特征值是方程X2-7A+6=0的根，解得1=6， -12-612 2=1.故简化后的方程为62+-0s=0,即琴+长=1 为画出其大致图形，需要求出坐标变换公式，对应于特征根6与1的单位特征向量分别是 (单9)与（华）彩7-（签￥）且四-1得李中心而 25-51 坐标系的原点)O(x0,),解线性方程组 56+20-12=0 20+20-6=0 得。=(0)-()因此坐标变换公式是 求出新坐标系中士轴与寸轴在日坐标系中的方程分别是x-2y-0(即寸-0)与2x+y-5=0(即 x=0. 第1题图 3
@ 3x 0 + y 0 + 1 = 0 M IJ: 3 Ã 2 √ 5 5 x + √ 5 5 y + 4 √ 5 5 ! + Ã − √ 5 5 x + 2 √ 5 5 y − 2 √ 5 5 ! + 1 = 0, + 5x + 5y + 10 + √ 5 = 0. 9–2 1. abEFGHIJ 5x 2 + 4xy + 2y 2 − 24x − 12y + 12 = 0, cd %e 0, I2 = |A| = 6 > 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 2 −12 2 2 −6 −12 −6 12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −108 < 0. CGH2gh. A ijk2IJ λ 2 − 7λ + 6 = 0 l, W` λ1 = 6, λ2 = 1. @bamIJ 6x 02 + y 02 − 108 6 = 0, + x 02 3 + y 02 18 = 1. d 'noe<, pq$ . rs[ijl 6 1 ABij!U2 µ 2 √ 5 5 , √ 5 5 ¶ µ − √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ , () T = Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. t$GH u (+ ) O0 (x0, y0), WHvIJV ( 5x0 + 2y0 − 12 = 0 2x0 + 2y0 − 6 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = µ 2 1 ¶ . &C 2 x y 1 = 2 √ 5 5 − √ 5 5 2 √ 5 5 2 √ 5 5 1 0 0 1 x 0 y 0 1 . $ x 0 5 y 0 5M IJ!U2 x − 2y = 0 (+ y 0 = 0) 2x + y − 5 = 0 (+ x 0 = 0). 0 1 2 4 8 < C HLMPQRJVPT[Z \ _ ab bf g i k k m m o o p q r s t t u v w x y y n / . n n / / 0 0 / o | n / m z y x w v v t t s r q q o o n l l k i h f d b ^ \ X[ZPWVUSRPNM HE 9 5 2 2 0 uuuuuuu@P t t t t t t t t t t p 00000 000000 00000 00000 00000 000H ,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p !:F z / (7 h w - x y x 0 y 0 O O0 1 · 3 ·
2。化简二次曲线方程 x2-4ry-2y2+10r+4y=0, 并画出它的图形以及新的坐标轴. 解矩阵4=(2二2)B=(③）因此=T=-10比我双线A的特狂值方程+A-6=0的银解得2一 520 故简化后的方程为22-32-1=0，即号-=1 为画出其大致图形，需要求出坐标变换公式 对应于特征根2与-3的单位特征向量分别是 (2,-)与(9，)所以T= ,且T=1.再求曲线的中心（即新 坐标系的原点)O'(x0,0),解线性方程组 ∫0-2+5=0 1-2x0-20+2=0 得=()=(）因此坐标变换公式是 求出新坐标系中x轴与轴在旧坐标系中的方程分别是x+2y-3-0与2红-y+4=0 3.化简二次曲线方程 x2-3xy+y2+10x-10g+21=0, 并作出它的图形以及新的坐标钟。 解矩阵A=（一号 ）B=（53)因此4=T(A=2>0h=1M=-是<0 1 11-号5 -5=-乏<0.此曲线是双曲线A的特征值是方程2-2入-5=0的根，解得 -521 .4
2. abEFGHIJ x 2 − 4xy − 2y 2 + 10x + 4y = 0, cd %e 0. CGH2wGH. A ijk2IJ λ 2 + λ − 6 = 0 l, W` λ1 = 2, λ2 = −3. @bamIJ 2x 02 − 3y 02 − 1 = 0, + x 02 1 2 − y 02 1 3 = 1. d 'noe 0, I2 = |A| = − 5 4 < 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − 3 2 5 − 3 2 1 −5 5 −5 21 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − 5 4 < 0. CGH2wGH. A ijk2IJ λ 2 − 2λ − 5 4 = 0 l, W` · 4 ·
加=是如=-子放衡化后的方程为多-+1=6即号-兰=1 为画出其大致图形，需要求出坐标变换公式。对应于特征根号与一一的单位特征向量分别是 (停-9），停9到ar-(季岁》n-i*tmee 原点)O(x0,0),解线性方程组 ∫0-受0+5=0 (-号0+0-5=0 得一（细）一(？）因此坐标变换公式是 求出新坐标系中x轴与轴在旧坐标系中的方程分别是x+y-0与x-y+4-0. 第3题图 4.化简二次曲线方程 4r2-4ry+y2+6x-8y+3=0, 并面出它的图形以及新的坐标轴。 解矩A-()B-()因此=-5>-=0 14-231 -21-4=-25<0.此曲线是抛物线.A的特征值是方程2-5入=0的根，解得入1=0,2=5.对 3-43 度于0际分a(答9)4（华9）mr-(盖送） 且T=1. 5
λ1 = 5 2 , λ2 = − 1 2 . @bamIJ 5 2 x 02 − 1 2 y 02 + 1 = 0, + y 02 2 − x 02 2 5 = 1. d 'noe 0, I2 = |A| = 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 −2 3 −2 1 −4 3 −4 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −25 < 0. CGH2yzH. Aijk2IJλ 2−5λ = 0l, W`λ1 = 0, λ2 = 5. r s[ijl0 5ABij!U2µ √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ µ − 2 √ 5 5 , √ 5 5 ¶ , ()T = Ã √ 5 5 − 2 √ 5 5 2 √ 5 5 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. · 5 ·
先用T作旋转坐标变换，可得 969-(日 即以=-V5,防=-2V5.取 -(）() 用X0作平移坐标变换 ()-(6)() 可得 低6-( 即方程化简为52-2V5”=0.其简化方程为？=5.总的坐标变换公式为 --摩￥间 这条抛物线的顶点坐标是TX。=（一品)'.新坐标系中口轴与y轴在旧坐标系中的方程分别是 2x-y+2=0与2x+4g+1=0. 第4题图 5.化简下列二次曲线的方程并指出它们是什么曲线： (1)4r2-4红y+32+4z-2y=0: @2-2++2-223=0 解国矩阵A=(3)B=()因此4==5>0五=W=06- 4-221 -2】-1=0为确定曲线的类型需要进一步计算A的特征值是方程2一5=0的根解得 2-10 1=0,如=5.对应于特征根0与5的单位特征向量分别是(，2）与(-25，)，所以
{9 T x|} , -` µ T T 0 0 1 ¶ µ A B BT 3 ¶ µ T 0 0 1 ¶ = 0 0 − √ 5 0 5 −2 √ 5 − √ 5 −2 √ 5 3 . + b 0 1 = − √ 5, b 0 2 = −2 √ 5. K X0 = b 02 2 − λ2c 2b 0 1λ2 − b 0 2 λ2 = Ã − √ 5 10 2 √ 5 5 ! , 9 X0 x3~ µ X0 1 ¶ = µ E X0 0 1 ¶ µ X00 1 ¶ , -` µ E 0 XT 0 1 ¶ 0 0 − √ 5 0 5 −2 √ 5 − √ 5 −2 √ 5 −2 µ E X0 0 1 ¶ = 0 0 − √ 5 0 5 0 − √ 5 0 0 , +IJab 5y 002 − 2 √ 5x 00 = 0. 'baIJ y 002 = 2 √ 5 5 x 00 . µ X 1 ¶ = µ T T X0 0 1 ¶ µ X00 1 ¶ = √ 5 5 − 2 √ 5 5 − 9 10 2 √ 5 5 √ 5 5 1 5 0 0 1 x 00 y 00 1 . 0yzH 2 T X0 = ³ − 9 10 , 1 5 ´T . x 0 5 y 0 5M IJ!U2 2x − y + 2 = 0 2x + 4y + 1 = 0. 0 1 2 2 5 0 | / l . - - g ) (%$TPNKJHG F* & $ # uuur@ t t t t t t t t t p 8 PPPPPPPPPP !:F z / IX# x y x 0 y 0 O O0 4 5. abPEFGHIJ, c %2GH: (1) 4x 2 − 4xy + y 2 + 4x − 2y = 0; (2) x 2 − 2xy + y 2 + 2x − 2y − 3 = 0. : (1) :; A = µ 4 −2 −2 1 ¶ , B = µ 2 −1 ¶ , &C I1 = Tr(A) = 5 > 0, I2 = |A| = 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 −2 2 −2 1 −1 2 −1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. GH pq . A ijk2IJ λ 2 − 5λ = 0 l, W` λ1 = 0, λ2 = 5. rs[ijl 0 5 ABij!U2 µ √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ µ − 2 √ 5 5 , √ 5 5 ¶ , () · 6 ·
r-()m 先用T作旋转坐标变换，可得 G9台g》- 即丝=0,6=-6取X。=气_是)=（经)）用X作平移坐标变换可得 (号Gg)G /000 即方程化简为52-1=0，即”=士5，这是一对平行直线.总的坐标变换公式为 ()-(6))- g)矩阵A=(已1)B=（已)因此h=T)=2>0h=M=0,6- 1】-=心为确定由浅的类室需要进-步计算A的特征值起方程P一2以=0的根解 得1=0，如=2对应于特征根0与2的单位特征向量分别是（要，号）与（-要，号）所以 -()m 先用T作旋转坐标变换，可得 9()6)-(68 即以=06=-反取x=(_是)=（是）用0作平移坐标变换可得 0-2-3/ 100-4 方程化简为2-4-0,即”-±V2,这是一对平行直线.总的坐标变换公式为 -g-)间 6.求下列二次曲线的渐近线： (1)6x2-xy-y2+3红+y-1=0 (22xy-4r-2y+3=0. 7
T = Ã √ 5 5 − 2 √ 5 5 2 √ 5 5 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. {9 T x|} , -` µ T T 0 0 1 ¶ µ A B BT 0 ¶ µ T 0 0 1 ¶ = 0 0 0 0 5 − √ 5 0 − √ 5 0 . + b 0 1 = 0, b 0 2 = − √ 5. K X0 = µ 0 − b 0 2 λ2 ¶ = µ √ 0 5 5 ¶ , 9 X0 x3~ , -` µ E 0 XT 0 1 ¶ 0 0 0 0 5 − √ 5 0 − √ 5 0 µ E X0 0 1 ¶ = 0 0 0 0 5 0 0 0 −1 , +IJab 5y 002 − 1 = 0, + y 00 = ± √ 5 5 , 02 r3OH. µ X 1 ¶ = µ T T X0 0 1 ¶ µ X00 1 ¶ = √ 5 5 − 2 √ 5 5 − 2 5 2 √ 5 5 √ 5 5 1 5 0 0 1 x 00 y 00 1 . (2) :; A = µ 1 −1 −1 1 ¶ , B = µ 1 −1 ¶ , &C I1 = Tr(A) = 2 > 0, I2 = |A| = 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. GH pq . A ijk2IJ λ 2 − 2λ = 0 l, W ` λ1 = 0, λ2 = 2. rs[ijl 0 2 ABij!U2 µ √ 2 2 , √ 2 2 ¶ µ − √ 2 2 , √ 2 2 ¶ , () T = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! , 7 |T| = 1. {9 T x|} , -` µ T T 0 0 1 ¶ µ A B BT −3 ¶ µ T 0 0 1 ¶ = 0 0 0 0 2 − √ 2 0 − √ 2 −3 . + b 0 1 = 0, b 0 2 = − √ 2. K X0 = µ 0 − b 0 2 λ2 ¶ = µ √ 0 2 2 ¶ , 9 X0 x3~ , -` µ E 0 XT 0 1 ¶ 0 0 0 0 2 − √ 2 0 − √ 2 −3 µ E X0 0 1 ¶ = 0 0 0 0 2 0 0 0 −4 , IJab 2y 002 − 4 = 0, + y 00 = ± √ 2, 02 r3OH. µ X 1 ¶ = µ T T X0 0 1 ¶ µ X00 1 ¶ = √ 2 2 − √ 2 2 − 1 √ 2 2 2 √ 2 2 1 2 0 0 1 x 00 y 00 1 . 6. $PEFGHH: (1) 6x 2 − xy − y 2 + 3x + y − 1 = 0; (2) 2xy − 4x − 2y + 3 = 0. · 7 ·
孕>0.此曲线是双曲线曲线的中心(0，物)满足线性方程组 ∫6r0-0+号=0 (-号0-%+号=0 得。=（倒）=(）渐无线方程为 6(+)-(（+)(-)-(-)=0 上式可分解为 3(+)+(-)((+)-（-)》=0 所以渐近线方程为3x+=0和2红-+1=0 ②矩阵A=(0）B=（仁）因此5=4=-11或入0.当入>1时，与3 同号曲线是虚椭圆：当入0可知曲 线是一对虚平行直线 8.就入的值讨论方程 x2+2Xg+2-2x-2g+A=0 所表示曲线的形状 解矩阵A=(（)B=(C)因此4=T=1+=4=1-0方= 8
: (1) :;A = à 6 − 1 2 − 1 2 −1 ! , B = à 3 2 1 2 ! , &CI2 = |A| = − 25 4 0. CGH2wGH. GH u (x0, y0)RSHvIJV ( 6x0 − 1 2 y0 + 3 2 = 0 − 1 2 x0 − y0 + 1 2 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = à − 1 5 3 5 ! . HIJ 6 µ x + 1 5 ¶2 − µ x + 1 5 ¶ µy − 3 5 ¶ − µ y − 3 5 ¶2 = 0. 6 -!W µ 3 µ x + 1 5 ¶ + µ y − 3 5 ¶¶ µ2 µ x + 1 5 ¶ − µ y − 3 5 ¶¶ = 0, ()HIJ 3x + y = 0 T 2x − y + 1 = 0. (2) :; A = µ 0 1 1 0 ¶ , B = µ −2 −1 ¶ , &C I2 = |A| = −1 0. CG H2wGH. GH u (x0, y0)RSHvIJV ( y0 − 2 = 0 x0 − 1 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = µ 1 2 ¶ . HIJ 2(x − 1)(y − 2) = 0, + x = 1 T y = 2. 7. 1 λ kIJ λx2 − 2xy + λy2 − 2x + 2y + 5 = 0 (GH 1 λ 0. λ > 1 , I1 I3 , GH2!gh; λ 0, -#G H2 r!3OH. 8. 1 λ kIJ λx2 + 2λxy + y 2 − 2x − 2λy + λ = 0 (GH<. : :; A = µ λ λ λ 1 ¶ , B = µ −1 −λ ¶ , &C I1 = Tr(A) = 1 + λ, I2 = |A| = λ(1 − λ), I3 = · 8 ·
入入-1 入1-A=-(A-1)2(2入+1).分几种情况来讨论 -1-Ax ()当入≠1,0时，2≠0.又可分为两种情况.(a)00，h>0,31，此时20,令 △1=V+民，△2=V店+则L1,2的单位方向向量以=（会是）与呢=（念是）构 1 成一个规范正交组.令T=合 则有（以，%）=(m,2)T,T是一个正交矩阵且T=1.因 N△1 此，呢构成一个右手系 如果令 =++ =是x+是+8 就有 0-( 1 ￥1 这是一个直角坐标变换公式在新的坐标系0：，中，曲线的方程化简为△x2+2△Y'=0.显然 △：≠0，因此2+是y=0,这是一条抛物线 (2)此抛物线的对称轴是轴，方程为x=0,即A1x+B1y+C=0. 10.设二次曲线方程为 a11x2+2a12xy+a22+2b1x+2b2y+c=0. 证明 (1)二次曲线为一条等轴双曲线或两条相互垂直的直线的充分必要条件是五=0： (②)二次曲线为圆的充分必要条件是？=42，hh<0 (3)二次曲线若表示一个椭圆，试求该椭圆面积 证明：(1)若此二次曲线为等轴双曲线，则由于I1是正交不变量，从等轴双曲线的标准方程易知 h=0:若是两条互相垂直的直线，则其标准方程为2+加2=0且1加<0，即/=士√☆ 表示两条互相垂直的直线，因此√之(（√☆)-1推得治=1，即4=0 9
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ λ λ −1 λ 1 −λ −1 −λ λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −(λ − 1)2 (2λ + 1). !. (i) λ 6= 1, 0 , I2 6= 0. -!. (a) 0 0, I1 > 0, I3 1, C I2 0, 3 ∆1 = p A2 1 + B2 1 , ∆2 = p A2 2 + B2 2 , 4 L1, L2 ABI η 0 1 = ³ A1 ∆1 , B1 ∆1 ´ η 0 2 = ³ A2 ∆2 , B2 ∆2 ´ \ ] 5671$V. 3 T = Ã A1 ∆1 A2 ∆2 B1 ∆1 B2 ∆2 ! , 4 (η 0 1 , η0 2 ) = (η1, η2)T, T 2 51$:;, 7 |T| = 1. & C η 0 1 , η0 2 \] 5^_ . 893 x 0 = A1 ∆1 x + B1 ∆1 y + C1 ∆1 y 0 = A2 ∆2 x + B2 ∆2 y + C2 ∆2 , 1 x 0 y 0 1 = A1 ∆1 B1 ∆1 C1 ∆1 A2 ∆2 B2 ∆2 C2 ∆2 0 0 1 x y 1 , 02 5 . [O0 ; η 0 1 , η0 2 ] , GHIJab ∆2 1x 02 + 2∆2Y 0 = 0. XY ∆1 6= 0, &C x 02 + 2∆2 ∆2 1 y 0 = 0, 02 yzH. (2) CyzHr.52 y 0 5, IJ x 0 = 0, + A1x + B1y + C1 = 0. 10. DEFGHIJ a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2b1x + 2b2y + c = 0. ,-: (1) EFGH :5wGH #0;H2 I1 = 0; (2) EFGHh2 I 2 1 = 4I2, I1I3 < 0; (3) EFGHQ 5gh, 8$?gh4@. : (1) QCEFGH:5wGH, 4*[ I1 21$( , ,:5wGH AIJB# I1 = 0; Q20#;H, 4' AIJ λ1x 02 + λ2y 02 = 0, 7 λ1λ2 < 0, + y 0 = ± r −λ1 λ2 x 0 0#;H, &C r −λ1 λ2 · µ − r −λ1 λ2 ¶ = −1, .` −λ1 λ2 = 1, + I1 = 0. · 9 ·
反之，若=0，则因1=+2=0，.知为=-（≠0，并且2=-号0，h·30，，，、圆.又因1-1+2,2-A12,由=42 得为=2，故此圆 同)在标准圆方.号+卡=1(a>0,6>0)中、圆的面积S=b,若。表示一个、圆 2 42 、·面积S=√ “=业丝 11.已知圆长、短，分别在直x+y-1=0、x-y+1=0上，且长短，长分别为4与2. 、此圆的方· 解不妨设长，在士，（即=0）上，短在，（即士=0）上，作变换 ∫=-要y+ y=9+9,-9, 写成矩阵形式为 - 其左上角的子矩阵 - 适行.式等干1的正交矩阵因此，右手直角坐标系间的坐标变 换在新的坐标系里：的方：应为子+弋=1.利用坐标变换式，得在日坐标系下的方。： 青(9：-9+9）)+(9+号g-号)°-1，即为52+6y+5-6r-10w-3=0 。 题9-3 1.判别下.对应法则否为实数域到自身的映射，并指出哪些，单射？满射 (1)x-x2 (2)x→x: (3)x+x (④x2; (6)）x-sin(x2): (6)x一tanz. 解(1)-(5)都R到自身的映射，其中(2)，（④），单射，(2)，满射，()不映射. 2.设S表示平面上·点组成的集合.L,一条直，把平面上每个点P(红，)对应到关于L的 对称点P(,):·S到自身的一个变换，称为关于直L的反射，称L,反射· ()、出平面关于直y=x的反射.式 (②)设反射，为A红+By+C=0.、出，时的反射式 (3)设71,72，关于平面上两条平行直，L1,L2的反射.证明7271，一个平移. 解()已知P(红，)关于直=x的对称点为P(,)则 =-1, .10
CD, Q I1 = 0, 4& I1 = λ1 + λ2 = 0, -# λ2 = −λ1(6= 0), c7 I2 = −λ 2 1 0, I1 · I3 0, GH2gh. & I1 = λ1 + λ2, I2 = λ1λ2, * I 2 1 = 4I2 -` λ1 = λ2, @CGH2h. (3) AghIJ x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (a > 0, b > 0) , gh4@ S = πab. QGH 5gh, 4GHI Dm-`%baIJ λ1x 02 + λ2y 02 + I3 I2 = 0, + x 02 −I3 I2 · 1 λ1 + y 02 −I3 I2 · 1 λ2 = 1. ()4@ S = π r I 2 3 I 2 2 · 1 λ1λ2 = π|I3| √ I2 I 2 2 . 11. "#ghJ5TK5!UH x + y − 1 = 0 T x − y + 1 = 0 6, 7JK5J!U 4 2. $CghIJ. : (2DJ5 x 0 5 (+ y 0 = 0) 6, K5 y 0 5 (+ x 0 = 0) 6, x x 0 = √ 2 2 x − √ 2 2 y + √ 2 2 y 0 = √ 2 2 x + √ 2 2 y − √ 2 2 , ]:;< x 0 y 0 1 = √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 0 0 1 x y 1 , 'L6 M:; Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! 2OP :[ 1 1$:;, &C02^_ N . OGHIJs x 02 4 + y 02 1 = 1. &9 , -`M IJ: 1 4 µ √ 2 2 x − √ 2 2 y + √ 2 2 ¶2 + µ √ 2 2 x + √ 2 2 y − √ 2 2 ¶2 = 1, + 5x 2 + 6xy + 5y 2 − 6x − 10y − 3 = 0. 9–3 1. PUPrsQ42RSZT R =UVWX, c YZ2AX? RX? (1) x 7→ x 2 ; (2) x 7→ x 3 ; (3) x 7→ |x|; (4) x 7→ 2 x ; (5) x 7→ sin(x 2 ); (6) x 7→ tan x. : (1)–(5) [2 R =UVWX, ' (2), (4) 2AX, (2) 2RX, (6) (2WX. 2. D S 346(V]\+. L 2 H, ]346^5 P(x, y) rs=%/[ L r. P 0 (x 0 , y0 ), 02 S =UV 5 , ./[H L CX, . L 2CX5. (1) $ 34/[H y = x CX ; (2) DCX5 Ax + By + C = 0. $ 0 CX ; (3) D S 1,S 2 2/[3463OH L1, L2 CX. ,- S 2S 1 2 53~. : (1) "# P(x, y) /[H y = x r. P 0 (x 0 , y0 ). 4 x + x 0 2 = y + y 0 2 y − y 0 x − x 0 = −1, · 10 ·