第五讲二次型 一，相关的概念及结论 1,二次型及其矩阵表示设P是一个数域，a,∈P,n个文字x1,2,…,xn的二次齐次多项式 f( 当a与为实数时，称f为实二次型.当a为 复数时，称∫为复二次型. 令x=(1,x2,…,xn丫，A=(ay,则二次型可用矩阵乘法表示为f(1,2,…,n)=丈A红，其 中A是n阶实对称矩阵(A'=A),称A为二次型f(红1,2，·，工n)的矩阵矩阵A的秩(4A)称为二次型f的秩，记 作r(n. 2,二次形的标准形与规范形如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项x位≠)的系数全是 零，即fx1,2,…,En)=xAx=d1x+d山2+…+dnc2,d,(i=1,2,·,n为实数，则称这样的二次型为 标准形，在标准形中，正平方项的个数称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数g称为二次型的负惯性 指数。若d为1，-1或0，这样的标准中称为规范形.-仁一)=2p-r称为12，)的符号差 3,合同矩阵两个n阶实对称矩阵A和B,如存在可逆矩阵C,使得CAC=B,则称矩阵A和B合同 4.正定二次型与正定矩阵对二次型xA红，如对任何x≠0，恒有士Ax>0,则称二次型士Ax是正定 二次型.正定二次型的矩阵A称为正定矩阵 5.半正定矩连设f( .,工)是实二次型对于任意一组不全为零的实数c cn,若f…,cn)< )称 负定的若fc,, n)≥0，则f ,)称为半正定的：若fC 及霜为致定a果不是正定的文木是半负定的为不定酮 6.化二次型为标准形的方法 (四)配方法：回如二次型中至少有一个平方项，不妨设a11≠0，则对所有含1的项配方（经配方后所余 各项中不再含x)如此继续配方，直到每一项都包含在各完全平方项中，引入新变量班，2，…，如由Y一 C-1X,得XTAX=d2+d2呢+…+dn2. ()如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设120，则可令=1+2,2=班一=，…，工= ,经此坐标变换二次型中出现a22 -12好后，再按(1)实行配方法。 (2),初等变换法用非退化线性 替换X Cy化 次型∫=X'AX为标准形，相当于对于对称矩阵A找 个可逆矩阵C,使CAC=D为对角阵.由于可逆矩阵C可以写成若干个初等矩阵乃，乃，·，P.的乘积，即C 乃乃…P,从而有P…PAnB…P=D:E乃B…P,=C 根据初等矩阵的有关性质（用初等矩阵左（右）乘矩阵A相当于对A作一次初等行（列）变换)，由上式可得 到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下： 第一步：写出=次萄的矩阵人并构造如×定阵（公）片 第二步：对A进行初等行变换和同样的初等列变换，把A化成对角矩阵D,并对E施行与A相同的初等列 变换化为矩阵C,此时CAC=D. :写出非退化线性替换X =CY化二次型为标准形f=YD 个方法可示意如下： 【)一（已）时健行同样的初等行变换和切等列换对E只进行共中的初等列测 注：P6,Y=Pi,),P()Y=P((),P,j)y=PG,)》. 第1页
1 ˘ g. ò, É'Vg9(ÿ 1, g.9Ÿ› L´ P¥òáÍç, aij ∈ P,ná©ix1, x2, · · · , xng‡gıë™ f(x1, x2, · · · , xn) = Pn i=1 Pn j=1 aijxixj , aij = aji °èng.. °èÍçP˛òáng., {°g..aijè¢Íû,°fè¢g.. aijè EÍû,°fèEg.. -x = (x1, x2, · · · , xn) 0 , A = (aij ), Kg.å^› ¶{L´èf(x1, x2, · · · , xn) = x 0Ax, Ÿ •A¥n ¢È°› (A0 = A),°Aèg.f(x1, x2, · · · , xn) › .› Aùr(A)°èg.fù,P är(f). 2, g/IO/Ü5â/ XJg.•ê¹kC˛²êë,§k·‹ëxixj (i 6= j)XÍ ¥ ",=f(x1, x2, · · · , xn) = x 0Ax = d1x 2 1 + d2x 2 2 + · · · + dnx 2 n , di(i = 1, 2, · · · , n) è¢Í, K°˘g.è IO/. 3IO/•,²êëáÍp °èg..5çÍ,K²êëáÍq °èg.K.5 çÍ. ediè1, −1½0, ˘IO•°è5â/. p − (r − p) = 2p − r°èf(x1, x2, · · · , xn)Œ“ . 3, ‹”› ¸án ¢È°› A⁄B,X3å_› C,¶C 0AC = B,K°› A ⁄B ‹”. 4. ½g.ܽ› Èg.x 0Ax, XÈ?¤x 6= 0, ðkx 0Ax > 0, K°g.x 0Ax ¥½ g.. ½g.› A °è½› . 5. å½› f(x1, · · · , xn)¥¢g.,Èu?øò|ÿ è"¢Íc1, · · · , cn, ef(c1, · · · , cn) < 0, Kf(x1, x2, · · · , xn) °èK½;ef(c1, c2, · · · , cn) ≥ 0, Kf(x1, · · · , xn) °èå½; ef(c1, · · · , cn) ≤ 0, Kf(x1, · · · , xn) °èåK½;XJßQÿ¥å½qÿ¥åK½,@of(x1, , · · · , xn)°èÿ½. 6. zg.èIO/ê{ (1) ê{ :(i)Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0,Kȧk¹x1ëê(²ê§{ àë•ÿ2¹x1).XdUYê, Üzòë—ù¹3à ²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dY = C −1X,XT AX = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (ii)Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa126=0,Kå-x1 = y1+y2, x2 = y1−y2, x3 = y3, · · · , xn = yn,²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2,2U(1)¢1ê{. (2), – CÜ{ ^öÚzÇ5OÜX = CY zg.f = X0AXèIO/,ÉuÈuÈ°› AÈò áå_› C,¶C 0AC = DèÈ .duå_› C屧eZá– › P1, P2, · · · , Ps¶»,=C = P1P2 · · · Ps,l kP 0 s · · · P 0 2P 0 1AP1P2 · · · Ps = D; EP1P2 · · · Ps = C. ä‚– › k'5ü(^– › Ü(m)¶› AÉuÈAäòg– 1()CÜ),d˛™å ^– CÜ{zg.èIO/⁄½Xe: 1ò⁄:—g.f› A,øE2n × n› A E ! ; 1⁄:ÈA?1– 1CÜ⁄”– CÜ,rAz§È› D,øÈEñ1ÜAÉ”– CÜzè› C,dûC 0AC = D. 1n⁄:—öÚzÇ5OÜX = CY zg.èIO/f = Y 0DY . ˘ áê{å´øXe: A E ! −→ D C ! (ÈA?1”– 1CÜ⁄– CÜ;ÈEê?1Ÿ•– CÜ) 5: P(i, j) 0 = P(i, j), P(i(k))0 = P(i(k)), P(i, j(k))0 = P(j, i(k)). 1 1 ê
(3)用正交变换化二次型为标准形 第一步：把二次型表示成矩阵形式XTAX: 第二步：求A的特征值及相应的特征向量（当A1≠2时，最好检验所求的X1,X2是否正交）： 第三步：若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要Schmide正交化， 第四步：把特征向量单位化为1,2，·， 第五步：构造正交矩阵C=(1,2,…,m: 第六步：令X=CY,得xTAX=1听+2呢+…+n层 定理5.1任意的n元二次型4r都可以通过坐标变换 Cy(注意C是可逆矩阵)化成标准形 即tAr=Ag=dy听+d听+…+dn后，其中A=CAC.特别地，存在正交变换x=Cy(C是正交知 阵)化Ar为标准形，即rAz=A听+2呢+…+n品，A=CAC=C-1AC,这里，A2,…,Xm是 次型矩阵A的m个特征值. 任意一个句系数的二次型经话当的非化线性替换可以变成仅含平方项系数皆为1的却荒性日却 范形是唯一的。 复 系数的对称矩阵合同于主对角线上元素皆为1或0的对角矩阵1的个数就是该对称矩阵的秩 数：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 定理52惯性定理任意一个实数域上的二次型，经过适当的非退化线性替换，可以变成仅含系数 为士1的平方项的规范形，且规范形是唯一的。 在实二次型f(1,2,…,xn)的规范形好+…+号-子+1-…一中，正平方的个数即称为f的正惯性 指数，负平方的个数r-p称为f的负惯性指数，它们的差印-(r-p)=2印-r称为f的符号差. 任一实对称矩阵A都合同于一个对角阵diag1,·,1,-1…,-1,0,…,0),其中对角线上1的个数知 1的个数r-p其中r=rmk(A),0的个数n-r都是唯一确定的，p与r一p分别称为A的正，负惯性指数，它 们的差2即-r称为A的符号差 定理5,3二次型正定的充分必要条件元二次型x'Ax正定 台Ax的正惯性指数m ÷A与E合同，即有可逆矩阵C,使CAC=E 台A的所有特征值全大于零 台A的顺序主子式全大于零 ÷存在可逆矩阵C,使得A=CC 定理5.4二次型半正定的充分必要条件n元二次型f红1,2，…，工n)=A半正定 ÷它的正惯性指数与秩相等 d 台有可逆矩阵C,使得CAC 其中d2ci=1,2,,n d ÷有实矩阵C使得A=CC 片A的所有主子式皆大于或等于零， 定理5.5两矩阵合同的充分必要条件实对称矩阵A≈B的充要条件是：二次型A与B有相同 的正，负惯性指数. 定理5.6两矩阵合同的充分条件实对称矩阵AB的充分条件是A~B 因为若A~B,则A,B有相同的特征值，从而二次型x'A与士Bx有相同的标准形，即有相同的正，负惯 性指数，从而A~B. 第2页
(3) ^CÜzg.èIO/ 1ò⁄:rg.L´§› /™XT AX; 1⁄:¶AAä9ÉAAï˛(λ1 6= λ2û,Å–u§¶X1, X2¥ƒ); 1n⁄:eAäkä,KÈ䧶Aï˛áSchmidez; 1o⁄:rAï˛¸†zèγ1, γ2, · · · , γn; 1 ⁄:E› C = (γ1, γ2, · · · , γn); 18⁄:-X = CY ,XT AX = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . ½n5.1 ?øng.x 0Ax —屜LãICÜx = Cy (5øC ¥å_› ) z§IO/, =x 0Ax = y 0Λy = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n , Ÿ•Λ = C 0AC. AO/, 3CÜx = Cy (C ¥› )zx 0Ax èIO/, =x 0Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n , Λ = C 0AC = C −1AC, ˘pλ1, λ2, · · · , λn ¥ g.› A náAä. ?øòáEXÍg.,²L·öÚzÇ5OÜå±C§=¹²êëXÍè15â5,Ö5 â/¥çò. ?òEXÍÈ°› ‹”uÃÈDzÉè1½0È› ;1áÍ“¥TÈ°› ù Í;¸áEÈ°› ‹”øá^á¥ßÇùÉ . ½n5.2 .5½n ?øòá¢Íç˛g., ²L·öÚzÇ5OÜ, å±C§=¹XÍ è±1²êë5â/, Ö5â/¥çò. 3¢g.f(x1, x2, · · · , xn)5â/z 2 1 + · · · + z 2 p − z 2 p+1 − · · · − z 2 r•, ²êáÍp°èf.5 çÍ,K²êáÍr − p°èfK.5çÍ,ßÇ p − (r − p) = 2p − r°èfŒ“ . ?ò¢È°› A—‹”uòáÈ diag(1, · · · , 1, −1 · · · , −1, 0, · · · , 0), Ÿ•ÈDz1áÍp, - 1áÍr − p(Ÿ•r = rank(A)), 0áÍn − r—¥çò(½, pÜr − p©O°èA,K.5çÍ, ß Ç 2p − r°èAŒ“ . ½n5.3 g.½ø©7á^á n g.x 0Ax ½ ⇔ x 0Ax .5çÍp = n ⇔ A ÜE‹”,=kå_› C,¶C 0AC = E; ⇔ A§kAä åu"; ⇔ A^SÃf™ åu"; ⇔ 3å_› C,¶A = C 0C. ½n5.4 g.å½ø©7á^á n g.f(x1, x2, · · · , xn) = x 0Ax å½ ⇔ ß.5çÍÜùÉ . ⇔ kå_› C,¶C 0AC = d1 d2 . . . dn , Ÿ•di ≥ 0;i = 1, 2, · · · , n. ⇔ k¢› C¶A = C 0C ⇔ A§kÃf™åu½ u". ½n5.5 ¸› ‹”ø©7á^á ¢È°› A ' B øá^á¥:g.x 0Ax Üx 0BxkÉ” ,K.5çÍ. ½n5.6 ¸› ‹”ø©^á ¢È°› A ' B ø©^á¥A ∼ B. œèeA ∼ B, KA, BkÉ”Aä,l g.x 0Ax Üx 0Bx kÉ”IO/,=kÉ”,K. 5çÍ,l A ' B. 1 2 ê
二，解题方法与技巧 1用正交变换化二次型为标准形的解题步骤 第一步，把二次型表示为矩阵形式x'A: 第二步，求A的特征值及相应的特征向量（当入1≠为2时最好检验你所求X1,X2是否正交）： 第三步，若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需Schmidt正交化 第四步，把特征向量单位化为1,2， 第五步，构造正交矩阵C=(1,2,…,) 第六步，令x=C,得Ar=1听+2呢+…+m2 2用配方法化二次型为标准形的解题步骤为 1)如 二次型中至少有 个平方项不妨设1≠0则对所有含，的项配方（经配方后所余各项中不再 含1)如此继续配方，直至每一项都含在各完全平方项中，引入新变量功，，…，n.由y=C-1x,得A江= 山听+d2明+…+dn编 (②)如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设12≠0，则可令x1=1+,2=劝一2，g ·,n=经此坐标变换，二次型中出现a12听-a12后，再按(1)实行配方法 例5.1有三种方法化二次型fc1,x2,z3)=2x1x2+2x1x3-6x23为标准形. 解（配方法）.（特征值法）.（合同变换法） 例5.2求正交变换化二次型2r-2红12+213-223为标准形，并写出所用正交变换. 0-1 1 -1 [+1+10 解二次型矩阵A -1 IE-Al= 1A1 2 -11入-2 (+1)(2-3)得到4的特征值是3，-1,0 31-1] 对=3.由(3E-A)x=0.即131.解得a1=(1.-1.2'. 111 类似地，对入=-1，a2=1,1,0:入=0时，a (~1,1,1以.特征值无重根，仅需单位化：1=高 1 -1 构造正交矩阵C三 ,那么 2 0 令x=C,二次型A=3-好为所求标准形， 练习1.己知a=(1,-2,2y是二次型A红=ar子+4号+bz-4红12+4红14-823矩阵A的特征 向量，求正交变换化为二次型为标准形，并写出所用正交变换。 2.设二次型x+号+x号-412-41+2r2经正交变换化为3+3+b.求a,b的值及所用 正交变换 3.已知二次型f1,2,)=(1-a+(1-a+2z+201+)x12的秩为2.（四求a的值：四求正 交变换x=Q,把f1,2,xg)化成标准形：（四）求方程f(1,x2,x3)-0的解. 第3页
, )Kê{ÜE| 1 ^CÜzg.èIO/)K⁄½ 1ò⁄,rg.L´è› /™x 0Ax; 1⁄,¶A Aä9ÉAAï˛(λ1 6= λ2 û,Å–u\§¶X1, X2 ¥ƒ); 1n⁄,eAäkä,KÈ䧶Aï˛á5ø,eÿ,KISchmidt z; 1o⁄,rAï˛¸†zèγ1, γ2, · · · , γn; 1 ⁄,E› C = (γ1, γ2, · · · , γn) 18⁄,-x = Cy, x 0Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . 2 ^ê{zg.èIO/)K⁄½è (1) Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0, Kȧk¹x1 ëê(²ê§{àë•ÿ2 ¹x1).XdUYê,Üñzòë—¹3à ²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dy = C −1x,x 0Ax = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (2) Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa12 6= 0,Kå-x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3, · · · , xn = yn.²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2,2U(1)¢1ê{. ~5.1 kn´ê{zg.f(x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3èIO/. ) (ê{), (Aä{), (‹”CÜ{) ~5.2 ¶CÜzg.2x 2 3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3èIO/,ø—§^CÜ. ) g.› A = 0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 2 . |λE − A| = λ 1 −1 1 λ 1 −1 1 λ − 2 = λ + 1 λ + 1 0 1 λ 1 −1 1 λ − 2 = (λ + 1)(λ 2 − 3λ)A Aä¥3, −1, 0. Èλ = 3, d(3E − A)x = 0, = 3 1 −1 1 3 1 −1 1 1 , )α1 = (1, −1, 2)0 . aq/,Èλ = −1, α2 = (1, 1, 0)0 ; λ = 0û,α3 = (−1, 1, 1)0 . AäÃä,=I¸†z: γ1 = α1 ||α1|| = √ 1 6 1 −1 2 , γ2 = α2 ||α2|| = √ 1 2 1 1 0 , γ3 = α3 ||α3|| = √ 1 3 −1 1 1 . E› C = √ 1 6 √ 1 2 − √ 1 3 − √ 1 6 √ 1 2 √ 1 3 √ 2 6 0 √ 1 3 , @o -x = Cy,g.x 0Ax = 3y 2 1 − y 2 2觶IO/. ˆS 1. Æα = (1, −2, 2)0 ¥g.x 0Ax = ax2 1 + 4x 2 2 + bx2 3 − 4x1x2 + 4x1x3 − 8x2x3 › AA ï˛,¶CÜzèg.èIO/,ø—§^CÜ. 2. g.x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 4x1x3 + 2ax2x3²CÜzè3y 2 1 + 3y 2 2 + by2 3 . ¶a,bä9§^ CÜ. 3. Æg.f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2 ùè2.(I)¶aä;(II)¶ CÜx = Qy, rf(x1, x2, x3)z§IO/;(III) ¶êßf(x1, x2, x3) = 0 ). 1 3 ê
4.设二次型f(1,工2，x)=ar+a号+(a-1)号+2红1-2红23.()求二次型f的矩阵的所有特征 值：（山）若二次型的规范形为+好，求a的值. 5.设三元二次型Ax=2+02+2+2灯 ,-2红0 -2ax,ra的正.负惯性指数都是1.T①求a的值并 用正交变换 次型为标准形：（如B 43 5A+E,求二次型Bz的规范形 答案1.2- 二次型化为标准形Ar-Ay=9. 10 方] 2.a=-2b=-3,C=(y1,2,3)= 方 经x=C,二次型化为3所+3明-3听. 0 0 3.(①a=0(四x=Q,其中Q=(,2,3)= 二次型f(1,x2,)化为标准 010 形f(x1,x2,x3)=YAx=Ay=2好+2好：（四方程f(x1,x2,x3)=0的解为k(1,-1,0吖，其中k为任意常 数： 4.f矩阵A的特征值为A1=a,2=a+1,A=a-2:(m)a=2. 5.0a9 -2.x=Q4,Q=（1,2,81 4,0,1,2=(1，-2，-1y,=(-1,-1,1y ∫=x'A江=Ay=3-3始.（四士Bx的规范形是+6-. 例5.3证明：秩为的对称矩阵可以表示成个秩为1的对称矩阵的利 例5.4设A为m阶钜陈.证明 例5.5证明：A 合同，其中1，…，n是1，…，n的 一个排列】 第4页
4. g.f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3,(I)¶g.f› §kA ä;(II)eg.f5â/èy 2 1 + y 2 2 ,¶aä. 5. ng.x 0Ax = x 2 1 + ax2 2 + x 2 3 + 2x1x2 − 2x2x3 − 2ax1x3,K.5çÍ—¥1,(I)¶aä,ø ^CÜzg.èIO/;(II)XB = A3 − 5A + E,¶g.x 0Bx5â/. âY 1. x1 x2 x3 = √ 2 5 − 2 3 √ 5 1 3 √ 1 5 4 3 √ 5 − 2 3 0 5 3 √ 5 2 3 y1 y2 y3 . g.zèIO/x 0Ax = y 0Λy = 9y 2 3 . 2. a = −2b = −3, C = (γ1, γ2, γ3) = √ 1 2 √ 1 6 √ 1 3 − √ 1 2 √ 1 6 √ 1 3 0 − √ 2 6 √ 1 3 , ²x = Cy, g.zè3y 2 1 + 3y 2 2 − 3y 2 3 . 3. (I) a = 0; (II) x = Qy, Ÿ•Q = (γ1, γ2, γ3) = √ 1 2 0 √ 1 2 √ 1 2 0 − √ 1 2 0 1 0 , g.f(x1, x2, x3)zèIO /f(x1, x2, x3) = x 0Ax = y 0Λy = 2y 2 1 + 2y 2 2 ; (III) êßf(x1, x2, x3) = 0)èk(1, −1, 0)0 , Ÿ•k è?ø~ Í; 4. I) f› AAäèλ1 = a, λ2 = a + 1, λ3 = a − 2;(II)a = 2. 5. I) a = −2.x = Qy, Q = (γ1, γ2, γ3), γ1 = √ 1 2 (1, 0, 1)0 , γ2 = √ 1 6 (1, −2, −1)0 , γ3 = √ 1 3 (−1, −1, 1)0 . f = x 0Ax = y 0Λy = 3y 2 1 − 3y 2 2 . (II) x 0Bx5â/¥y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 . ~5.3 y²: ùèrÈ°› å±L´§ráùè1È°› ⁄. ~5.4 Aèn › , y²: (1) A èáÈ°› Ö=È?òánëï˛X, kX0AX = 0; (2) eA èÈ°› ÖÈ?òánëï˛XkX0AX = 0, KA = 0. ~5.5 y²: A = λ1 λ2 . . . λn ÜB = λi1 λi2 . . . λin ‹”, Ÿ•i1, · · · , in¥1, · · · , n òá¸. 1 4 ê
证明：A,B对应的二次型分别为f(红1，…，工n)=X1子+…+入x品，f(1,…,n)=入，好++入层 作可逆的线性替换=工，1≤t≤几，则/(1…，n)化为c1…,工n,于是A与B合同. 例5.6一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是它的秩为2且 符号差为0，或者秩为1. 证明：充分性)设()=2且符号差为0，则存在可逆线性替换x=CY使得f=好-场=（助十 2(1-2）=(a1x+ +anEn)1+ ()设r(f)=1,则存在可逆线性替换X=PY使得f=听=c(a1x1+…+anrn)P=(a11+…+ anxn(ca1I1++canIn）. 必要性设f=(a1x1+…+anxn)b1x1+…+bnn,其中a4,b,位=1，…，m)为实数且不全为0. 记=&」=2 a1a2a3am bbg… 6 )若r(B)=2,不妨设= aa ≠0，令1 001.. ,由线性替换X=CY可 000.. 1 得f=班班.再令1=1+2，班=1一2张=张，k=3…,n.则f=号-场，于是f的秩为2且符号差 为0. (间)若r(B)=1,不妨设a≠0，且可设==…=会=k.令h=a1+…+anxn,=工，j= 2…,n,则f =k呢，于是∫的秩为 例5.7设实二次型f(x1,n)=∑1(a1西1+a21+…+anxn尸. 证明r(f)=r(A),其中A= as1a2…an 证明f1,…,xn)= a11r1+·+01m工n a21工1十"··十02工n (+...+ainin),a2+...+....as+.+asnin) =(4Xy(4X)=X(4A)X.由于r(4'A=r(A),所以r()=(A) 例5.8求二次型+455n,的与符号差 22··2 解已知二次型矩阵为A= 212..2 ,A的特征多项式 22 2 1 A-1 f)= 2入-12… =[A-1+2(n-1)1(入-3)n-1,所以A的特征值为2(n-1)-1(单 29..31 根)，3m-1重.于是A的正惯性指数为1，负正惯性指数为m-1,符号差为1-（n-1)=2-m 第5页
y²: A, BÈAg.©Oèf(x1, · · · , xn) = λ1x 2 1 +· · ·+λnx 2 n , f(y1, · · · , yn) = λi1 y 2 1 +· · ·+λin y 2 n , äå_Ç5OÜyt = xit , 1 ≤ t ≤ n, Kf(y1, · · · , yn) zèf(x1, · · · , xn), u¥AÜB‹”. ~5.6 òá¢g.屩)§¸á¢XÍòg‡gı뙶»ø©7á^á¥ßùè2Ö Œ“ è0, ½ˆùè1. y²: ø©5 (i) r(f) = 2ÖŒ“ è0, K3å_Ç5OÜX = CY ¶f = y 2 1 − y 2 2 = (y1 + y2)(y1 − y2) = (a1x1 + · · · + anxn)(b1x1 + · · · + bnxn). (ii) r(f) = 1, K3å_Ç5OÜX = P Y ¶f = y 2 1 = c(a1x1 + · · · + anxn) 2 = (a1x1 + · · · + anxn)(ca1x1 + · · · + canxn). 7á5 f = (a1x1 + · · · + anxn)(b1x1 + · · · + bnxn), Ÿ•ai , bi(i = 1, · · · , n) è¢ÍÖÿ è0. PB = " a1 a2 · · · an b1 b2 · · · bn # , Kr(B) = 2 ½1. (i) er(B) = 2, ÿî= a1 a2 b1 b2 6= 0, -C1 = a1 a2 a3 · · · an b1 b2 b3 · · · bn 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 , dÇ5OÜX = C1Y å f = y1y2. 2-y1 = z1 + z2, y2 = z1 − z2, yk = zk, k = 3, · · · , n. Kf = z 2 1 − z 2 2 , u¥fùè2ÖŒ“ è0. (ii) er(B) = 1, ÿîa1 6= 0, Öåa1 b1 = a2 b2 = · · · = an bn = k. -y1 = a1x1 + · · · + anxn, yj = xj , j = 2, · · · , n, Kf = ky2 1 ,u¥fùè1. ~5.7 ¢g.f(x1, · · · , xn) = Ps i=1(ai1x1 + ai2x1 + · · · + ainxn) 2 . y² r(f) = r(A), Ÿ•A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · as1 as2 · · · asn . y² f(x1, · · · , xn) = (a11x1 + · · · + a1nxn), a21x1 + · · · + a2nxn, · · · , as1x1 + · · · + asnxn) a11x1 + · · · + a1nxn a21x1 + · · · + a2nxn . . . as1x1 + · · · + asnxn = (AX) 0 (AX) = X”(A0A)X. dur(A0A) = r(A), §±r(f) = r(A). ~5.8 ¶g. Px 2 t + 4P 1≤i<j≤n xixjùÜŒ“ . ) Æg.› èA = 1 2 2 · · · 2 2 1 2 · · · 2 · · · · · · · · · · · · · · · 2 2 2 · · · 1 , AAıë™ f(λ) = λ − 1 2 2 · · · 2 2 λ − 1 2 · · · 2 · · · · · · · · · · · · · · · 2 2 2 · · · λ − 1 = [λ−1+2(n−1)](λ−3)n−1 , §±AAäè2(n−1)−1(¸ ä), 3(n − 1. u¥A.5çÍè1, K.5çÍèn − 1, Œ“ è1 − (n − 1) = 2 − n. 1 5 ê
例5.9设B为n阶正定矩阵，N为n×k的列满秩矩阵，A= B N N'0 证明()二次型f=X'AX的正负惯性指数分别为n与k;(②)A可逆， 证明()因为B为正定矩阵，所以B可逆.因为 0 B 0 合同，因此由N为列满秩及B为正定矩阵得-N'BN正 定于是(。-NBN)】 /B0 的正负惯性指数分别为m与k,从而∫=X'AX的正负惯性指数分别为n与k (②)由(1)知A可逆 例5.10设A为m阶实对称矩阵证明存在正实数c使得对任意n为实向量X有X'AX≤cXX 证明因为A为n阶实对称矩阵，所以在正交矩阵P使得PAP 其中，…，A 为A的特征值.任意n为实向量X,令y=TX,c=mar{1l,·,入.则 X'AXI=IY'T'ATYI =++...+er'Y =cX'T'TX cX'X. 例5.11设A为m阶实对称矩阵且40,XAX20,X5AX24,令n=…=h=1购+1=…=聊=0，孙+1=…=物n=1则由X=CY得存在非零 向量Xo使得XAX0=0. 。 ·=p=p+1= …=+g=1,则同样由X=CY得存在非零向量Xo使 ()若p0,X3AX20,X5AK20，方程有两个不同的实数解1，k2.令X 1X1+X2,X=kX1+X2.因为X1,X2线性无关，所以X,X线性无关，（若相关则必有=k2矛盾），且 有XAX3=XAX4=0. 第6页
~5.9 Bèn ½› , Nèn × k˜ù› , A = B N N0 0 ! . y² (1) g.f = X0AXK.5çÍ©OènÜk; (2) Aå_. y² (1) œèBè½› ,§±Bå_. œè En 0 −N0B−1 Ek ! B N N0 0 ! En −B−1N 0 Ek ! = B 0 0 −N0BN ! , §± B N N0 0 ! Ü B 0 0 −N0BN ! ‹”, œddNè˜ù9Bè½› −N0BN ½, u¥ B 0 0 −N0BN ! K.5çÍ©OènÜk, l f = X0AXK.5çÍ©OènÜk; (2) d(1)Aå_. ~5.10 Aèn ¢È°› .y²3¢Íc¶È?ønè¢ï˛XkX0AX ≤ cX0X. y² œèAèn ¢È°› , §±3› P¶P 0AP = λ1 λ2 . . . λn , Ÿ•λ1, · · · , λn èA Aä. ?ønè¢ï˛X, -Y = T 0X, c = max{|λ1|, · · · , |λn|}. K |X0AX| = |Y 0T 0AT Y | = |λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n | ≤ cY 0Y = cX0T 0T X = cX0X. ~5.11 Aèn ¢È°› Ö|A| 0, X0 2AX2 0, X0 2AX2 q, -y1 = · · · = yq = 1, yq+1 = · · · = yp = 0, yp+1 = · · · = yp+q = 1, KdX = CY 3ö" ï˛X0¶X0 0AX0 = 0. (ii) ep = q, -y1 = · · · = yp = yp+1 = · · · = yp+q = 1, K”dX = CY 3ö"ï˛X0¶ X0 0AX0 = 0. (iii) ep 0, X0 2AX2 0, X0 2AX2 0,êßk¸áÿ”¢Í)k1, k2.-X3 = k1X1 + X2, X4 = k2X1 + X2.œèX1, X2Ç5Ã',§±X3, X4Ç5Ã',(eÉ'K7kk1 = k2gÒ),Ö kX0 3AX3 = X0 4AX4 = 0. 1 6 ê
例5.14判断n元二次型∑1x+∑s n工，的正定性 1 2 …凯 解法一：（顺序主子式）二次型矩阵A 多1…，其顺序主子式 …1 「1…] k= =共，由于顺序主子式全大于0，所以二次型正定 解法二：（特征值法） 111..1 1 121.. 由于A=112 =号E+ (1,1,…,1)记B= 1,1,…,1,由于r(B)=1, 知B2=nB.那么B的特征值是与0m-1重.于是A的特征值是0n+1,0- 1重).A的特征值全大 于0，故A正定，即二次型是正定二次型。 例5.15()设A,B为n阶实正定矩阵.证明 A1,kA(k>0),A,A,A+B仍为正定矩阵；（间 若g)=amrm+…+a1x+a0,其中a:之0且其中至少有 个a>0,则g(4)正定 (2)已知二次型x4x是正定二次型，x=Cy是坐标变换，证明二次型yBy是正定二次型，其中B= CAC. (3)已知A是n阶可逆矩阵，证明4'A是对称.正定矩阵 证明(句A,B为实正定对称矩阵，则4=A,B=B,因此(4y=(41=A1,(A+By A+ A+B,即A ,A+B对称.因为A正定，所以存在可逆矩阵P使得A=PP,于是A~1=P-1(P-1y, 即A1与单位阵合同，故A1正定 对任意n为非零列向量x,由A.B正定得Ax>0,士Bx>0,因此x(A+B)x>0,故A+B正定. (②)0≠0，设x0=C0,由矩阵C可逆知x0≠0，那么由Ax是正定二次型而知按定义，By是正定 一次刑 (3)法一：（与E合同）因为4Ay=A(4y=AA),所以A'A是正定矩阵 法 :(定义法z≠0，由A可逆，必有A≠0，则r(4)=(4(A)=(4,Ax)>0,(4A)z是正 定二次型，故AA是正定矩阵。 例5.16设A为n阶实对称矩阵，r为任意正整数.证明A为正定矩阵当且仅当存在阶正定矩阵B使 得A=B 例5.17设A,B为n阶实正定矩阵.证明：AB正定÷A与B可交换 证明必要性若AB正定，则(ABy=BAN=BA=AB. 充分性（法一）充分性=由AB=BA=BA'=(AB,所以AB为对称的.又A为正定的，故存在正交 入 阵T,使TAT ,A>0.令TB=(y),于是 第7页
~5.14 ‰n g. Pn i=1 x 2 i + P 1≤i 0), A∗ , As , A + BEè½› ; (ii) eg(x) = amxm + · · · + a1x + a0, Ÿ•ai ≥ 0ÖŸ•ñkòáai > 0, Kg(A) ½. (2) Æg.x Ax¥½g., x = Cy¥ãICÜ,y²g.y 0By ¥½g.,Ÿ•B = C 0AC. (3) ÆA ¥n å_› ,y²A0A¥È°,½› . y² (1) (i) A, B袽Ȱ› , KA0 = A, B0 = B, œd(A−1 ) 0 = (A0 ) −1 = A−1 , (A + B) 0 = A0+B0 = A+B, =A−1 , A+BÈ°. œèA½, §±3å_› P¶A = P 0P, u¥A−1 = P −1 (P −1 ) 0 , =A−1ܸ† ‹”,A−1½. È?ønèö"ï˛x,dA, B½x 0Ax > 0, x0Bx > 0,œdx 0 (A + B)x > 0,A + B½. (2) ∀y0 6= 0, x0 = Cy0, d› C å_x0 6= 0, @odx 0Ax ¥½g. U½¬,y 0By¥½ g.. (3) {ò:(ÜE‹”)œè(A0A) 0 = A0 (A0 ) 0 = A0A), §±A0A¥½› . {: (½¬{)∀x 6= 0, dA å_,7kAx 6= 0, Kx 0 (AA)x = (Ax) 0 (Ax) = (Ax, Ax) > 0, x 0 (A0A)x¥ ½g.,A0A ¥½› . ~5.16 Aèn ¢È°› , rè?øÍ. y²Aè½› Ö=3n ½› B¶ A = Br . ~5.17 A, Bèn ¢½› . y²: AB½⇔ AÜBåÜ. y² 7á5 eAB½, K(AB) 0 = B0A0 = BA = AB. ø©5 ({ò) ø©5⇐dAB = BA = B0A0 = (AB) 0 ,§±ABèÈ°.qAè½, 3 T, ¶T 0AT = λ1 . . . λn , λi > 0. -T 0BT = (bij ), u¥ 1 7 ê
入 TABT=(T'AT)(T'BT) 入b TABT的r阶顺序主子式为 所以TABT正定，从 .1 而AB正定 (法二)从特征值的角度分析因为A正定，所以A可逆且A1也正定.注意到AE-AB=AAA1- 队，因此 当且仅当AA B=0 由A 1也正定，于是有可逆矩阵Q使QA 此A-1-B=0当且仅当QIAA-1-BQ=AE-QBQ1=0.由B正定可知QBQ正定，于是存在 正交矩阵T使得T'(QBQ)T-D-dig(A,·,入n),其中A1,·,入n为QBQ的特征值，因而大于0.因此， IAE-QBQ1=0当且仅当1T'IAE-&'BQIT1=|E-D=0.于是IAE-AB=0当且仅当AE-D=0, 这样AB的特征值为A1,·,入m,从而AB正定。 例5.18设A为实对称矩阵.证明当实数充分大后，tE+A是正定矩阵。 证明设A为切阶实对称矩阵.入， ,入m为A的特征值，则tE+A也为n阶实对称矩阵t+1,t+…,t n为E+A的特征值.因此当t充分大后，t+A1,t+ ,t+入n为正数，因此E+A是正定矩阵 例5.19(1)设A,A一E都是n阶实对称正定矩阵，证明E-A-1是正定矩阵 (②)设4B B都是n阶正定矩阵，证明B-1-一A-1是正定矩阵。 证明()（特征值法）由(E-A-1y=B-(4-1y =E-(A■ =E-A-1知，E-A1是对称矩阵 设1,2，·，入m是A的特征值，则A-E与E-A1的特征值分别是入-1,2-1，…，入-1与1-六，1 名，…，1一之.由于A-E正定，其特征值X-1全大于0，那么是0时，B是正定矩阵. ③)设AB为实对称矩阵，证明A0 是正定矩阵当且仅当A,B是正定矩阵。 证明：(1)显然，tA+B是对称矩阵，由于A是正定矩阵，A与E合同，故存在可逆矩阵C,使CAC=E. 因为CBC是实对称矩阵，经正交变换可化为对角形，设设D是正交矩阵，使D(CBCD=D-1(CBCD= A.令P=CD,则P可逆，且P'(tA+B)P=tDY(CAC)D+A=tDD+A=tE+A t+ t+2 tA+B= 由于存在t.使得+入>0i=1.2.,,,,n).即E+A正定，从 t+入n 而tA+B正定 (2)(定义法)因为B=(AE+A'Ay=E+A'A=B,故B是n阶实对称矩阵，n维实向量x≠0， 有YBx=xx+xA'Ax=Ax'x+(Ax(Ar)=lz2+IAx.由于x≠0，入>0，恒有Alz>0, 而AxP≥0，因此xBx>0(Wx≠0)，即B正定. 第8页
T 0ABT = (T 0AT)(T 0BT) = λ1 . . . λn b11 · · · b1n . . . . . . bn1 · · · bnn = λ1b11 · · · λ1b1n . . . . . . λnbn1 · · · λnbnn . T 0ABTr ^SÃf™è λ1b11 · · · λ1b1r . . . . . . λrbr1 · · · λrbrr = λ1 · · · λr b11 · · · b1r . . . . . . br1 · · · brr > 0. §±T 0ABT½,l AB½. ({) lA䛩¤ œèA½, §±Aå_ÖA−1è½. 5ø|λE − AB| = |A||λA−1 − B|, œd|λI − AB| = 0 Ö=|λA−1 − B| = 0. dA−1è½,u¥kå_› Q¶Q0A−1Q = E, œ d|λA−1 − B| = 0Ö=|Q0 ||λA−1 − B||Q| = |λE − Q0BQ0 | = 0. dB½åQ0BQ0½, u¥3 › T¶T 0 (Q0BQ)T = D = diag(λ1, · · · , λn), Ÿ•λ1, · · · , λnèQ0BQ0Aä, œ åu0. œd, |λE −Q0BQ0 | = 0Ö=|T 0 ||λE −Q0BQ0 ||T| = |λE −D| = 0. u¥|λE −AB| = 0 Ö=|λE −D| = 0, ˘ABAäèλ1, · · · , λn, l AB½. ~5.18 Aè¢È°› . y²¢Ítø©å, tE + A¥½› . y² Aèn ¢È°› , λ1, · · · , λn èAAä, KtE + Aèèn ¢È°› t + λ1, t + · · · , t + λnètE + AAä. œdtø©å, t + λ1, t + · · · , t + λnèÍ, œdtE + A¥½› . ~5.19 (1) A, A − E—¥n ¢È°½› ,y²E − A−1¥½› ; (2) A, B, A − B—¥n ½› , y²B−1 − A−1¥½› . y² (1) (Aä{)d(E − A−1 ) 0 = E0 − (A−1 ) 0 = E − (A0 ) −1 = E − A−1, E − A−1 ¥È°› . λ1, λ2, · · · , λn ¥AAä,KA − E ÜE − A−1 Aä©O¥λ1 − 1, λ2 − 1, · · · , λn − 1 Ü1 − 1 λ1 , 1 − 1 λ2 , · · · , 1 − 1 λn . duA − E ½,ŸAäλi − 1 åu0,@o 1 λi 0û,B¥½› . (3) A, B è¢È°› , y² " A 0 0 B # ¥½› Ö=A, B¥½› . y²: (1) w,, tA + B¥È°› ,duA¥½› , A ÜE‹”,3å_› C,¶C 0AC = E. œèC 0BC¥¢È°› ,²CÜåzèÈ/,D¥› ,¶D0 (C 0BC)D = D−1 (C 0BC)D = Λ.-P = CD, KPå_,ÖP 0 (tA + B)P = tD0 (C 0AC)D + Λ = tD0D + Λ = tE + Λ. tA + B = t + λ1 t + λ2 . . . t + λn . du3t, ¶t + λi > 0(i = 1, 2, · · · , n), =tE + Λ½,l tA + B ½. (2) (½¬{)œèB0 = (λE + A0A) 0 = λE + A0A = B, B ¥n ¢È°› , ∀n ë¢ï˛x 6= 0, kx 0Bx = λx0x + x 0A0Ax = λx0x + (Ax) 0 (Ax) = λ||x||2 + ||Ax||2 . dux 6= 0, λ > 0, ðkλ||x||2 > 0, ||Ax||2 ≥ 0, œdx 0Bx > 0(∀x 6= 0), =B ½. 1 8 ê
例5.21证明：实对称矩阵A的特征值均在闭区间[a,上，当且仅当矩阵At-E的二次型对t>时为负 定，对tb,有X'AX≤bX'X0. 充分性：若A的特征值不全在a,内，则必然有入b.当入>b时，由已知，对任意X∈，X≠ 0都有X'(A-AnE)X0,即(0.y'x',y) -1 Y y(B-CA1CY>0.按定义，Y"(B-CA-lCY为 正定二次型，所以矩阵B一C'A1C为正定矩阵。 例5.23设A=(a)为n阶正定矩阵，证明 011 012 1n 021 a22…02mh (1)f1欢，…，)= 是负定二次型： n 0 第9页
~5.21 y²:¢È°› AAä˛34´m[a, b]˛, Ö=› At − Eg.Èt > bûèK ½, Èt b,kX0AX ≤ bX0X 0. ø©5: eAAäÿ 3[a, b]S,K7,kλ b.λn > bû,dÆ,È?øX ∈ Rn, X 6= 0—kX0 (A − λnE)X 0,=(0, Y 0 )(X0 , Y 0 ) " A 0 0 B − C 0A−1C # " 0 Y # = Y 0 (B − C 0A−1C)Y > 0. U½¬,Y 0 (B − C 0A−1C)Y è½g.,§±› B − C 0A−1Cè½› . ~5.23 A = (aij )èn ½› , y²: (1) f(y1, y2, · · · , yn) = a11 a12 · · · a1n y1 a21 a22 · · · a2n y2 . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann yn y1 y2 · · · yn 0 ¥K½g.; 1 9 ê
(②)4≤an Pa-l,1Pn-1为A的n-1级顺序主子式：因此进一步有4≤a11a2…an (3)如果T=(化y)是n阶实可逆矩阵，那么TP≤卫(+…+经). 证明(1)令y=AZ,则 0 f(1,2,…,m)= ..dar =-A(h4+…+h)=-4Y'Z= 0 -AZA.因为A为正定矩阵，所以0n -( 回因为为正定蓝所以也为正定矩年二试室 a11 012 2 a22 d2n 2 f1,,…,-1） 是负定二次型，所以 an-1.1 an-1.2 ..dn-1.n-1 Un-1 h…-1 0 a1,n-1 …an-1n- an-1.n dn.n-1 a11 … a1.n-1 41·a1n-1 0 + fn-l(a,·,an.n-+ dn-1.1...dn-1.n-1 dn-1.n an-1.1·an-1.n-1 0 a1…a,n-1 0 an.n-1 aan -14 当anl,…,a.m-1）中至少有一个不为0时，fn-1(an1,…,an.m-1)0.故B的特征根大于0.充分性台 由上证明可得。 例5.25(1)设A为实对称矩阵.B为正定阵.则AB的特征值全为实数 (②设A为实可逆矩阵，则存在正交矩阵Q及正定矩阵B使得A=QB 证明(1)因 B为正定矩阵，故存在( =C,所以AB= -1(CAC)C.又CAC为 对称阵，其特征根为实数，因而C-1(CAC)C的特征根为实的，即AB的特征根为实数 (②)因为A为实可逆矩阵，所以A'A为正定矩阵，因此存在正定矩阵B使得A'A=B,即B-1A'AB-1= E.因为B-1=(B-1y,所以(4B-1y(4B-1)=E.令Q=AB-1,则QQ=E,于是A=QB. 第10页
(2) |A| ≤ ann|Pn−1|, |Pn−1|èAn − 1?^SÃf™;œd?ò⁄k|A| ≤ a11a22 · · · ann; (3) XJT = (tij )¥n ¢å_› , @o|T| 2 ≤ Qn i=1(t 2 1i + · · · + t 2 ni). y² (1) -Y = AZ, K f(y1, y2, · · · , yn) = a11 · · · a1n 0 . . . . . . . . . an1 · · · ann 0 y1 · · · yn −(y1z1 + · · · + ynzn) = −|A|(y1z1 + · · · + ynzn) = −|A|Y 0Z = −|A|Z 0AZ. œèAè½› , §±f(y1, y2, · · · , yn)¥K½g.. (2) œèAè½› , §±Pn−1èè½› , d(1) f(y1, y2, · · · , yn−1) = a11 a12 · · · a1n y1 a21 a22 · · · a2n y2 . . . . . . . . . . . . an−1,1 an−1,2 · · · an−1,n−1 yn−1 y1 y2 · · · yn−1 0 ¥K½g., §± |A| = a11 · · · a1,n−1 a1n . . . . . . . . . an−1,1 · · · an−1,n−1 an−1,n an1 · · · an,n−1 ann = a11 · · · a1,n−1 a1n . . . . . . . . . an−1,1 · · · an−1,n−1 an−1,n an1 · · · an,n−1 0 + a11 · · · a1,n−1 0 . . . . . . . . . an−1,1 · · · an−1,n−1 0 an1 · · · an,n−1 ann = fn−1(an1, · · · , an,n−1) + ann|Pn−1|. an1, · · · , an,n−1) •ñkòáÿè0û, fn−1(an1, · · · , an,n−1) 0. §±P 0ABP = (P 0AP)(P −1BP) = P −1BP = λ1 . . . λn , λi > 0. BAäåu0. ø©5⇐ d˛y²å. ~5.25 (1) Aè¢È°› ,Bè½ ,KABAä è¢Í. (2) Aè¢å_› , K3› Q9½› B ¶A = QB. y² (1) œèBè½› ,3C,¶B = C 2 ,ÖC 0 = C,§±AB = AC2 = C −1 (CAC0 )C.qCAC0è È° ,ŸAäè¢Í,œ C −1 (CAC0 )CAäè¢,=ABAäè¢Í. (2) œèAè¢å_› , §±A0Aè½› , œd3½› B¶A0A = B2 , =B−1A0AB−1 = E. œèB−1 = (B−1 ) 0 , §±(AB−1 ) 0 (AB−1 ) = E. -Q = AB−1 , KQ0Q = E, u¥A = QB. 1 10 ê