习题解答 第五章线性空间与欧几里得空间 习题5-1 1.按通常数的加法与乘法，下列集合是否构成实数域R上的线性空间 (1)整数集2：(2)有理数集Q:(3)实数集R:(4)复数集C. 解()与(2)都不是实数域R上的线性空间，因为标量乘法不封闭.（③）和（④）都是R上的线性室 间。 2.若K为复数域C,问以实数为元素的一切n×n矩阵的集合对矩阵的加法与标量乘法是否构成 K上的线性空间？为什么？ 解否，关于标量乘法不封闭 3.检验下列集合对于所给的运算是否构成实数域上的线性空间： (I)全体实对称（反称，上三角形）矩阵对于矩阵的加法与标量乘法： (②)次数等于n(n≥)的实系数多项式全体，对于多项式的加法与乘法 (③)平面上全体向量，对于向量的加法与如下定义的标量乘法： ko =o; (④全体正实数R+,加法和标量乘法定义为： aΦb=ab, koa=ak. 解：(1)是（②）否，零多项式不在集合中：(3)否，因为当a≠0时，0a≠0：(4)是 4.计算上题中所出现的线性空间的维数和基 解()实对称n”+维，基{E,+Ei≤ 反称二维基(B-Bni<小 上三角形：+卫维，基Ei≤》 (④)1维，任何不等于1的正实数都可作为基 5.证明：全体以零为极限的实数列 5={an}=(a,a2,ag,…,a,…)川a4eR,iman=0} 按如下定义的加法与标量乘法 {an}+{on}={an+on}: kfan}=(kan} 构成实数域R上的一个无限维线性空间 证明：验证线性空间略.为说明它是无限维的，对任意的正整数n,有一个收敛于0的数列：an= {0,…,0,1(第n项)，0,0，…人.于是对于任意大的n,总有n个向量a1,…,an线性无关 1
5–1 1. [r6DBD, T)u*2 R yt&pq? (1) + Z; (2) G Q; (3) 2 R; (4) @ C. : (1) B (2) mU2 R yt&pq, !"U DU. (3) : (4) m R yt&p q. 2. K "@ C, $2" XHA n × n ]^ T]^DBU D)u* K yt&pq? "/0? : ), * 1) 2j :)3, /"z. 5. ST: 3$o" s2 S = n {an} = (a1, a2, a3, · · · , an, · · ·) | ai ∈ R, limn→∞ an = 0o [ MDBU D: {an} + {bn} = {an + bn}; k{an} = {kan} u*2 R yHf,sFt&pq. : }St&pqi. "XT8,sF, r+ n, GHfCD< 0 : αn = {0, · · · , 0, 1(= n :),0, 0, · · · }. <<; n, 8G n f α1, · · · , αn t&,*. · 1 ·
6.设 P=()a.Beck ()证明：P按矩阵的加法与标量乘法构成实数域R上的一个线性空间： (②)求P的维数与基 解)路阅mP-4基(（日)（后9）(9)( 7.设R为实数域在它自身上的线性空间，R+为第3题（④中的向量空间.证明：R与R+同构. 证明令 p:二 则(a)夕是映射 (b)p是单的：因为2”=2”←一n1=r2; ()p是满的：因为对任意的a∈R+,a=2o:,而log2a∈R,于是p(log2a=2w:=a四 (d)~保持运算 9(r1+r2)=2”+n=212”=21Φ2”=p(m)⊕p(r2 p(kr1)=2n=(2")*=ko2”=kop(n). 所以是同构 8.设F为全体形如 (1,x2,x3,…,工n…h工n=工n-1+工n-2,n≥3 的实数列所组成的集合，其加法与标量乘法的定义如第5题 ()证明：F构成R上的一个二维线性空间 (②)给出F的一个由等比数列所组成的基 (③)求斐波那契(Fibonacci)数列 (0.1.1,2.3.5.8.··） 的通项公式 证明：()F为R上线性空间的证明略。下面求F的维数 考察数列a1=(01,1,2,3,5,…)与2=(1,1,2,3,5，…)，显然a1,2∈F. (a)设11+202=0，则(2,1+2，k1+2,2k1+32,…)=0,所以2=0，从而k1=0.这说 明a1,a2线性无关 ()对任意的 g=(a1,a2,a3,…,an….an=an-1+an-2,n≥3 考家 y=(a2-a)a1+a1a2-B∈E 则y=(0,0,x4正4，…).因为y∈F,所以3=0+0-0，x4=4+0-0,由归纳法可知=0.这就证 明了B=(a2-a1)a1+a1a2.因此a1,a2构成F的基，dimF=2. (2)设有等比数列 (aag,ag2,）∈F 则对n≥2有ag”-ag-1+ag-2,从而=g+1,得到g=1±5 .21
6. P = ½µ α β −β α ¶¯ ¯ ¯ ¯ α, β ∈ C ¾ . (1) ST: P []^DBU Du*2 R yHft&pq; (2) s P FBz. : (1) i. (2) dimR P = 4, z": µ 1 0 0 1 ¶ , µ i 0 0 −i ¶ , µ 0 1 −1 0 ¶ , µ 0 i i 0 ¶ . 7. R "2 k8gEyt&pq, R + "= 3 a (4) pq. ST: R B R + Cu. : I ϕ : R −→ R + r 7−→ 2 r J (a) ϕ F]; (b) ϕ : !" 2 r1 = 2r2 ⇐⇒ r1 = r2; (c) ϕ -: !" a ∈ R +, a = 2log2 a . % log2 a ∈ R, 3 2 #B* T, 3 γ = (a2 − a1)α1 + a1α2 − β ∈ F, J γ = (0, 0, x3, x4, · · ·). !" γ ∈ F, #$ x3 = 0 + 0 = 0, x4 = x3 + 0 = 0, NPD> γ = 0. woS Tr β = (a2 − a1)α1 + a1α2. !O α1, α2 u* F z, dim F = 2. (2) GVe (a, aq, aq2 , · · ·) ∈ F, J n > 2 G aqn = aqn−1 + aqn−2 , C% q 2 = q + 1, P q = 1 ± √ 5 2 . · 2 ·
易知 2=1, 又n,2线性无关，而dimF=2,所以m,2构成F的基 (③)斐波那契数列 p=(0,1,1,2,3,58.…)eF 因此存在c1,c2∈R,使 =cim +cam2 从而 「0=c1+c2 解得 {1=a15+15 2 5 5 由此可得斐波那契数列得通项公式是 -（ 9.所谓n阶魔阵，是指其各行各列以及主对角和次对角元素之和都相等的n阶方阵，如 /618N ( 就是一个三阶魔阵 ()证明：实数域上全体n阶魔阵的集合M按矩阵的加法与标量乘法构成R上的一个线性空间 (②)求山的维数 解(2)3维，基为 习题5-2 1.设W1,W2是线性空间V的子空间，证明以下三个论断是等价的： ()WW2 (②Wnw形2=W (3)W+W2=W2: 证明：(1)台(2)以及(1)→(3)都是显然的. (3)→()：W+W2-W2→WW+W2-W2 2.求由向量生成的子空间和由向量属生成的子空间的交与和的基与维数 /=,31,的 01=(3.-1.-3.-5) a2=(1,0,1,2 =(6-2,-3-40 3
η1 = 1, 1 + √ 5 2 , Ã 1 + √ 5 2 !2 , · · · ∈ F, η2 = 1, 1 − √ 5 2 , Ã 1 − √ 5 2 !2 , · · · ∈ F. Q η1, η2 t&,*, % dim F = 2, #$ η1, η2 u* F z. (3) HI E ϕ = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·) ∈ F, !O1k c1, c2 ∈ R, ' ϕ = c1η1 + c2η2. C% ( 0 = c1 + c2 1 = c1 1 + √ 5 2 + c2 1 − √ 5 2 -P c1 = √ 5 5 , c2 = − √ 5 5 , NO>PHI E Pr:f) Dn = √ 5 5 Ã 1 + √ 5 2 !n−1 − Ã 1 − √ 5 2 !n−1 . 9. #J n yKL, -<( ( $hM5:H5 X9:meV n y@^, 6 1 8 7 5 3 2 9 4 oHf4yN^. (1) ST: 2 y3 n yN^ T Mn []^DBU Du* R yHft&pq; (2) s M3 F. : (2) 3 F, z": 1 −1 0 −1 0 1 0 1 −1 , 0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 5–2 1. W1, W2 t&pq V pq, ST$ 4f#}V: (1) W1 ⊆ W2; (2) W1 ∩ W2 = W1; (3) W1 + W2 = W2. : (1) ⇔ (2) $h (1) ⇒ (3) m. (3) ⇒ (1): W1 + W2 = W2 ⇒ W1 ⊆ W1 + W2 = W2. 2. sN αi *pq:N βi *pqB:zBF. (1) ( α1 = (1, 3, 1, −1) α2 = (1, 0, 1, 2); ( β1 = (3, −1, −3, −5) β2 = (5, −2, −3, −4); · 3 ·
②a=1,01,0 ∫月=(0,1,0.1) a2=(1.1.0.1: 3=(0,1,1,0 a1=(1,0,2,0,) (3){2=(2,0,1,1) ∫=(3.3,1，-2) =(10.-1.1 32=(1,3,0,-3) 解：把由向量生成的子空间和由向量A生成的子空间分别记为W,W2 (1)dim(Wi+W2)=3,dim WinW2 =1, W1+W2的基a1,a2, W1nW3的基：(3，-2,3,8)(=(-2a+112)=-46+33: (2)dim(Wi+Wa)=4,dim=0, W1+W2的基：a1,a2.31,: (3)dim(Wi+W2)=3,dim Win W2=1, W1+W的基a1,a2,尻， WnW2的基(2,0,1,1(=a2=-2) 3.设W,W,W2都是向量空间V的子空间，且 WiS W2,WnWi W nW2:W+W1=W+W2. 证明：W1=W2. 证明dimW+dimW=dim(W+W)+dim(WnW) dim W dim W2 dim(W+W2)+dim(Wn W2), 所以上式右端相等.可得dimW=dimW2.又因WSW2,所以形=W2 4.设V,巧是n维线性空间V的两个子空间.并且满足 dim(+V2)dim(vin V)+1, 证明c或%C 证明：因为dim(%nV2)≤dimV≤dim(%+)-dim(Wn)+l,两个等号中必有一个成 立.如果左边等号成立，则因n巧S,可得n=片，从而二.如果右边等号成立，则因 S片+2，可得M=巧+2，从而吃S作. 5.设V-K4,a1-(1,2,1,2),a2-(2.1,2,1),W-L(a1,a2).求子空间W在V中的一个补空 间 解：设a3=(0,0,1,0),a=(0,0,0,1,则因a1,a2,a3,a4线性无关所以L(0,0,1,0,(0,0,0,1》 是W在V中的一个补空间 6。证明：每一个n维线性空间都是n个一维子空间的直和 证明：设V为n维线性空间，a,…,an是V的基令W=L(a),则V=W+W+…+Wn 又，n=dimV=∑”dimW,所以 V=W⊕…⊕Wn 7.证明：n维线性空间V的每一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交 证明：设W是V的真子空间，则r=dimW<dimV=n,取W的一个基a1,··,a,,将其扩充成 V的基a1,…,am.取如下的n-r个n一1维线性子空间 y=(a1,…,a-1,a+1,…,an,j=r+1,…,n 4
(2) ( α1 = (1, 0, 1, 0) α2 = (1, 1, 0, 1); ( β1 = (0, 1, 0.1) β2 = (0, 1, 1, 0); (3) α1 = (1, 0, 2, 0,) α2 = (2, 0, 1, 1) α3 = (1, 0, −1, 1); ( β1 = (3, 3, 1, −2) β2 = (1, 3, 0, −3). : NN αi *pq:N βi *pq " W1, W2. (1) dim(W1 + W2) = 3, dim W1 ∩ W2 = 1, W1 + W2 z: α1, α2, β1, W1 ∩ W2 z: (3, −2, 3, 8) ³ = 1 3 (−2α1 + 11α2) = −4β1 + 3β2 ´ ; (2) dim(W1 + W2) = 4, dim W1 ∩ W2 = 0, W1 + W2 z: α1, α2, β1, β2; (3) dim(W1 + W2) = 3, dim W1 ∩ W2 = 1, W1 + W2 z: α1, α2, β1, W1 ∩ W2 z: (2, 0, 1, 1)(= α2 = β1 − β2). 3. W, W1, W2 m pq V pq, ? W1 ⊆ W2, W ∩ W1 = W ∩ W2, W + W1 = W + W2. ST: W1 = W2. : dim W + dim W1 = dim(W + W1) + dim(W ∩ W1), dim W + dim W2 = dim(W + W2) + dim(W ∩ W2), #$y) aeV. >P dim W1 = dim W2. Q! W1 ⊆ W2, #$ W1 = W2. 4. V1, V2 n Ft&pq V 7fpq, W?-. dim(V1 + V2) = dim(V1 ∩ V2) + 1, ST: V1 ⊆ V2 D V2 ⊆ V1. : !" dim(V1 ∩ V2) 6 dim V1 6 dim(V1 + V2) = dim(V1 ∩ V2) + 1, 7fVY@GHf* +. 8VY*+, J! V1 ∩ V2 ⊆ V1, >P V1 ∩ V2 = V1, C% V1 ⊆ V2. 8VY*+, J! V1 ⊆ V1 + V2, >P V1 = V1 + V2, C% V2 ⊆ V1. 5. V = K4 , α1 = (1, 2, 1, 2), α2 = (2, 1, 2, 1), W = L(α1, α2). spq W k V HfOp q. : α3 = (0, 0, 1, 0), α4 = (0, 0, 0, 1), J! α1, α2, α3, α4 t&,*, #$ L((0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1)) W k V HfOpq. 6. ST: sHf n Ft&pqm n fHFpq.:. : V " n Ft&pq, α1, · · · , αn V z. I Wi = L(αi), J V = W1 + W2 + · · · + Wn. Q, n = dim V = Pn i=1 dim Wi , #$ V = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wn. 7. ST: n Ft&pq V sHfpqm Pf n − 1 Fpq. : W V pq, J r = dim W < dim V = n. z W Hfz α1, · · · , αr, v< 0* V z α1, · · · , αn. z n − r f n − 1 Ft&pq Vj = L(α1, · · · , αj−1, αj+1, · · · , αn), j = r + 1, · · · , n. · 4 ·
则因 B=∑aaey一a=0 i=1 B-∑a,ae∩y一a+1==an=0=Bew =+1 即W=. 8.设%与吃分别是齐次线性方程组 1+2+…+xn=0与1=x2=…=n 的解空间 证明：Kn=V⊕V%. 证明(a)对任意的a=(a1,…,an)∈Km,令 1a =1 Ca,…n 则3e,7∈，且a=g+所以K品⅓+2 (b)如果a=(a1,…,an)∈n,则 ∑a:=0 01=a2=·=0 解得@1=a2=…=au=0,即a=0.所以n=0. 综上可得K"=⊕ 9.设W={A∈M(K)1AF=A,W2={A∈Mn(K)IAT=-A. 证明M(K)-形⊕W2. 证明：(a)对任意的n阶矩阵A∈Mn(K),有 A=2(A+A)+2(A-A), 而(4+A)∈W,(A-AT)∈W2,所以M(K)=W+W2: b)设AEWinw.则 -A=AT=A, 由2A=0可得A=0.所似Wn形2=0. 最终得到M.(K)=W1ΦW2. 10.设A∈Mn(K)且A2=A,令 ={X∈K"|AX=0,=(X∈Km|AX=X. 证明：K-巧⊕ 证明(a)设a∈K",则a=(a-Aa)+Aa.而 A(a-Aa)=Aa-A2a=Aa-Aa=0,所以a-Aa∈M, A(Aa)-A2a=Aa,所以Aa∈， 从而K”=巧+： 5
J! β = Xn i=1 aiαi ∈ Vj ⇐⇒ aj = 0, β = Xn i=1 aiαi ∈ \n j=r+1 Vj ⇐⇒ ar+1 = · · · = an = 0 ⇐⇒ β ∈ W. W = Tn j=r+1 Vj . 8. V1 B V2 Ht&@AB x1 + x2 + · · · + xn = 0 B x1 = x2 = · · · = xn -pq. ST: Kn = V1 ⊕ V2. : (a) α = (a1, · · · , an) ∈ Kn, I β = Ã a1 − 1 n Xn i=1 ai , a2 − 1 n Xn i=1 ai , · · · , an − 1 n Xn i=1 ai ! , γ = Ã 1 n Xn i=1 ai , 1 n Xn i=1 ai , · · · , 1 n Xn i=1 ai ! , J β ∈ V1, γ ∈ V2, ? α = β + γ. #$ Kn = V1 + V2. (b) α = (a1, · · · , an) ∈ V1 ∩ V2, J Xn i=1 ai = 0, a1 = a2 = · · · = an -P a1 = a2 = · · · = an = 0, α = 0. #$ V1 ∩ V2 = 0. Qy>P Kn = V1 ⊕ V2. 9. W1 = {A ∈ Mn(K) | AT = A}, W2 = {A ∈ Mn(K) | AT = −A}. ST: Mn(K) = W1 ⊕ W2. : (a) n y]^ A ∈ Mn(K), G A = 1 2 (A + A T) + 1 2 (A − A T), % 1 2 (A + AT) ∈ W1, 1 2 (A − AT) ∈ W2, #$ Mn(K) = W1 + W2. (b) A ∈ W1 ∩ W2, J −A = A T = A, N 2A = 0 >P A = 0. #$ W1 ∩ W2 = 0. P Mn(K) = W1 ⊕ W2. 10. A ∈ Mn(K) ? A2 = A, I V1 = {X ∈ Kn | AX = 0}, V2 = {X ∈ Kn | AX = X}. ST: Kn = V1 ⊕ V2. : (a) α ∈ Kn, J α = (α − Aα) + Aα. % A(α − Aα) = Aα − A 2α = Aα − Aα = 0, #$ α − Aα ∈ V1, A(Aα) = A 2α = Aα, #$ Aα ∈ V2, C% Kn = V1 + V2. · 5 ·
(b)设a∈yn2,则因a∈，有Aa=0,由a∈2，有Aa=a.于是a=0,即Yn2=0. 因此K=⊕ 11.设K”=⊕，其中，为K"的两个非平凡的子空间. 证明：一定存在唯一的幂等矩阵（即A2=A的矩阵）A∈M(K),使 M={X∈KIAX=0h,={X∈K"IAX=X} 证明：取的一个基a1,…,ar以及的一个基ar+1,…,an:则a4,…,am是K"的基.定义 Km上的线性变换为： -{8in 把线性变换财在K的自然基下的矩阵记为A.由的定义可得P=以，相应地有42=A 对任意的X∈K”,有X=公a,a,则 Ax=(区aa-a)=4a 因此 AX=0→ 2aa4=0a=0r+1i6nXe. AX=X∑ 所以A是满足条件的幂等矩阵. 再证唯一性：如果B∈M(K),使得 BX=0X∈.BX=XX∈6 则因=⊕，可得 (A-B)X=0, 所以A-B=0,从而A=B. 12.设A∈Mn(K),E为n阶单位方阵.令 ={X∈KI(A-E)X=0,={X∈K"I(A+E)X=0 证明：K=©3→A2=E. 证明：（→）K"=⊕→n=dim+dim→n=(n-rank(A-E)+(m-rank(A+ E)→n=rank(A-E)+rank(A+E)→A2-E(题4-8.12). ()对任意的a∈Kn. a=(A+E)a-(A-E)a. 因为 (A-E)(A+E)o-(-E)o-0. 所以号(4+E)a∈M.又因 (A+E)-(A-E)--j(AP-E)o-0 所以-号(A-E)a∈. 因此K"-+
(b) α ∈ V1 ∩ V2, J! α ∈ V1, G Aα = 0, N α ∈ V2, G Aα = α. P A 2 = A, e,mG A2 = A. X ∈ Kn, G X = Pn i=1 aiαi . J AX = A ÃXn i=1 aiαi ! = Xn i=1 aiA(αi) = Xn i=r+1 aiαi . !O AX = 0 ⇐⇒ Xn i=r+1 aiαi = 0 ⇐⇒ ai = 0∀r + 1 6 i 6 n ⇐⇒ X ∈ V1, AX = X ⇐⇒ Xn i=r+1 aiαi = Xn i=1 aiαi ⇐⇒ ai = 0∀1 6 i 6 r ⇐⇒ X ∈ V2. #$ A -.12RV]^. S,H&: B ∈ Mn(K), 'P BX = 0 ∀X ∈ V1, BX = X ∀X ∈ V2, J! Kn = V1 ⊕ V2, >P (A − B)X = 0, ∀X ∈ Kn . #$ A − B = 0, C% A = B. 12. A ∈ Mn(K), E " n y/@^. I V1 = {X ∈ Kn | (A − E)X = 0}, V2 = {X ∈ Kn | (A + E)X = 0}. ST: Kn = V1 ⊕ V2 ⇐⇒ A2 = E. : (⇒) Kn = V1 ⊕ V2 =⇒ n = dim V1 + dim V2 =⇒ n = (n − rank(A − E)) + (n − rank(A + E)) =⇒ n = rank(A − E) + rank(A + E) =⇒ A2 = E (`a 4–8.12). (⇐) α ∈ Kn, α = 1 2 (A + E)α − 1 2 (A − E)α. !" (A − E) · 1 2 (A + E)α ¸ = 1 2 (A 2 − E)α = 0, #$ 1 2 (A + E)α ∈ V1. Q! (A + E) · − 1 2 (A − E)α ¸ = − 1 2 (A 2 − E)α = 0, #$ − 1 2 (A − E)α ∈ V2. !O Kn = V1 + V2. · 6 ·
当a∈n时又有 a-5(4+E)a-5(4-E)a-0+0-0, 因此n3=0.从而Km=巧⊕. 习题5-3 1.在线性空间R2中，对任意两个向量a=(a1,a2),B-(亿1，b2),定义 (a,8)=5a1b+2a1b2+2a2bh1+a2b2. 验证在此定义下R构成一个欧几里得空间 证明略 2.在线性空间Mn(R)中，定义 fAB)=Tr(ATB)VA,B∈Mn(®). 试问：∫是否Mn(®)的一个内积 解：是设A=(a,B=(,则 间fA团=Tr4r倒=店含a:=含u=fB,A). (b)f(A+B,C)=Tr((A+B)TC)=Tr(ATC+BTC)=Tr(ATC)+Tr(BTC)=f(A.C)+f(B.C). (c)f(kA.B)=Tr((kA)T B)=Tr(kATB)=kTr(ATB)=kf(A.B). @44)=T(4r=≥0，且 f(A,A）=0←→a=0,k,1=1,…,n←→A=0. 所以f是M(®)的一个内积 3.设 /10…0 0 规定 (X,Y)-XTAY VX,Y∈Rm ()证明：R”关于此定义构成一个欧几里得空间： (2)求向量61=(1,0，…，0)，2=(0,1,0，…，0)，…，n=(0,0,…,0,1)的度量矩阵 (3)具体写出这个空间的柯西-布涅柯夫斯基不等式 解：(1)路 (②)度量矩阵为A (3)设a=(a1,…,an),B=(d,…,bn,则 4.设C是一个n阶实可逆矩阵在Rm中，对任意两个列向量X,Y,规定 (X.Y)=xTCTCY 证明R”关于此定义构成一个欧几里得空间 7
b α ∈ V1 ∩ V2 RQG α = 1 2 (A + E)α − 1 2 (A − E)α = 0 + 0 = 0, !O V1 ∩ V2 = 0. C% Kn = V1 ⊕ V2. 5–3 1. kt&pq R 2 , 7f α = (a1, a2), β = (b1, b2), M (α, β) = 5a1b1 + 2a1b2 + 2a2b1 + a2b2. }SkO M R 2 u*HfS' Ppq. : i. 2. kt&pq Mn(R) , M f(A, B) = Tr(A TB) ∀A, B ∈ Mn(R). : f ) Mn(R) Hf{? : . A = (aij ), B = (bij ), J (a) f(A, B) = Tr(ATB) = Pn k=1 Pn i=1 akibki = Pn k=1 Pn i=1 bkiaki = f(B, A). (b) f(A+B, C) = Tr((A+B) TC) = Tr(ATC +BTC) = Tr(ATC)+Tr(BTC) = f(A, C)+f(B, C). (c) f(kA, B) = Tr((kA) TB) = Tr(kATB) = k Tr(ATB) = kf(A, B). (d) f(A, A) = Tr(ATA) = Pn k=1 Pn i=1 a 2 ki > 0, ? f(A, A) = 0 ⇐⇒ aki = 0, k, i = 1, · · · , n ⇐⇒ A = 0. #$ f Mn(R) Hf{. 3. A = 1 0 · · · 0 0 2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · n . T (X, Y ) = XTAY ∀X, Y ∈ R n . (1) ST: R n * ]^. k R n , 7f X, Y , T (X, Y ) = XTC TCY ST: R n *<O Mu*HfS' Ppq. · 7 ·
证明略. 5.在标准欧几里得空间内计算给定向量的内积并求它们之间的夹角 (1)a=(1,1,1,1),3=(-1,2,4,3: (2)a=(2,-1,3,)B=3,-1,22 (3)a=(3,-1,1,-1),6=(-2,2,-2,2 (4a=(-1,1,-1,2,1),6=(31,-1,0,1) 解：(1)(a,)-8,(a,)-arc cos20. (②)(a,)=子，(a,)=arccos品 )a,)=-12,a,=要 (④(a,)=0,(a,)=号. 6.设x2+2+22=1,(z,,z∈®)，试求 2 的最小值. 解原武=-3+子十1己了+已而由柯西布湿柯夫斯基不等式 (=)‘+(（)+(广v-+-+- /1-r (-高 =3 1 1-7+1-年+-av5≥3 所以 77+>号 1 1 1 ++≥-3+号= T- 22 又当r=!=:=时上式取等号.故原式的最小值为号 7设a,662e且若a2+2+2=25,2+2+2=36,r++e=30.求++号的 解：由柯西-布涅柯夫斯基不等式， 动=ar++a=ob时(G)） ≤Va2+P+2.V2+2+2=30. 因等号成立时，(a,b,d与(a,,)成比例.设(a,b,c)=t(红，，)，代入得 30=t(x2+y2+22)=36t, 解出t=音从而牛乡牛台=吾 8
: i. 5. kUS' Ppq{xg {, Ws89q5: (1) α = (1, 1, 1, 1), β = (−1, 2, 4, 3); (2) α = ³ 1 2 , −1, 1 3 , 1 6 ´ , β = (3, −1, 2, 2); (3) α = (3, −1, 1, −1), β = (−2, 2, −2, 2); (4) α = (−1, 1, −1, 2, 1), β = (3, 1, −1, 0, 1). : (1) (α, β) = 8, hα, βi = arc cos 2 √ 30 15 . (2) (α, β) = 7 2 , hα, βi = arc cos 7 10 . (3) (α, β) = −12, hα, βi = 5π 6 . (4) (α, β) = 0, hα, βi = π 2 . 6. x 2 + y 2 + z 2 = 1, (x, y, z ∈ R), s x 2 1 − x 2 + y 2 1 − y 2 + z 2 1 − z 2 \. : K) = −3 + 1 1 − x 2 + 1 1 − y 2 + 1 1 − z 2 . %NUV–WXUYdzUV), vuut µ 1 √ 1 − x 2 ¶2 + Ã 1 p 1 − y 2 !2 + µ 1 √ 1 − z 2 ¶2 · q ( p 1 − x 2) 2 + (p 1 − y 2) 2 + (p 1 − y 2) 2 > Ã 1 √ 1 − x 2 , 1 p 1 − y 2 , 1 √ 1 − z 2 ! √ 1 − x 2) p 1 − y 2 p 1 − y 2 = 3, s 1 1 − x 2 + 1 1 − y 2 + 1 1 − z 2 · √ 2 > 3, #$ 1 1 − x 2 + 1 1 − y 2 + 1 1 − z 2 > 9 2 . x 2 1 − x 2 + y 2 1 − y 2 + z 2 1 − z 2 > −3 + 9 2 = 3 2 . Qb x = y = z = √ 3 3 Ry)zVY. !K)\" 3 2 . 7. a, b, c, x, y, z ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 = 25, x 2 + y 2 + z 2 = 36, ax + by + cz = 30. s a + b + c x + y + z . : NUV–WXUYdzUV), 30 = ax + by + cz = (a b c) x y z 6 p a 2 + b 2 + c 2 · p x 2 + y 2 + z 2 = 30. !VY*+R, (a, b, c) B (x, y, z) *ej. (a, b, c) = t(x, y, z), QRP 30 = t(x 2 + y 2 + z 2 ) = 36t, -% t = 5 6 . C% a + b + c x + y + z = 5 6 . · 8 ·
8.在标准欧几里得空间R3中，求基1=(1,0,1)，a2=(1,1,0),g=(0,1,1)的度量矩阵 /211Y 解：A=121 112 9.在4维欧几里得空间V中，设基a1-(1.1-1,-1),a2-(1,1,1,0),Q3-(-1,1,1,1),a4- (1,0,0,-1)的度量矩阵为 /2100 、 0121 0012 (1)求基1=(1,0,0,0)，2=(0,1,0,0)，e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1)的度量矩阵 (②)求向量3=(1，-1,1，-1)，3=(0,1,1,0)的内积 (3)求一单位向量与a1,a2,g正交 解()(1,2，a3a4)=(1,e2,3,e4B 01-10 B= -1110 -101-1/ 因此基61,2,3,4得度量矩阵应为 6--号9 G=B-TAB (2)(,32)=6. (③设a=4a与a4,a2,as正交，则 (店-a j-1,2,3. 从而 =0. 解得(e1,z2,x3,x4)-(1.-2,3,-4),所以 a=a1-2a2+3ag-4a4=(-8,2,0,6 (a,a)=(a4,a)=20.因此所求的单位向量为(-4,1,0,3) 10.设1,2，…，am是欧几里得空间V的m个向量，称矩阵 G(a1,a2,…,am）= (02,1) (a2,a2) (a2,am (am:a1)(am:a2)··(am+am） 为向量组a1,a2,…,am的格拉姆(Gram)矩阵 证明：a1,a2,…,m线性无关当且仅当1G(a1,a2,…,am≠0 9
8. kUS' Ppq R 3 , sz α1 = (1, 0, 1), α2 = (1, 1, 0), α3 = (0, 1, 1) w ]^. : A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . 9. k 4 FS' Ppq V , z α1 = (1, 1, −1, −1), α2 = (1, 1, 1, 0), α3 = (−1, 1, 1, 1), α4 = (1, 0, 0, −1) w ]^" A = 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 (1) sz ε1 = (1, 0, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0, 0), ε3 = (0, 0, 1, 0), ε4 = (0, 0, 0, 1) w ]^; (2) s β1 = (1, −1, 1, −1), β2 = (0, 1, 1, 0) {; (3) sH/ B α1, α2, α3 r. : (1) (α1, α2, α3, α4) = (ε1, ε2, ε3, ε4)B, B = 1 1 −1 1 1 1 1 0 −1 1 1 0 −1 0 1 −1 , B−1 = 1 2 0 1 −1 0 2 0 0 2 −2 1 1 −2 −2 0 2 −4 . !Oz ε1, ε2, ε3, ε4 Pw ]^," G = B −TAB−1 = 6 − 1 2 − 9 2 9 − 1 2 1 1 2 −1 − 9 2 1 2 4 −7 9 −1 −7 14 . (2) (β1, β2) = 6. (3) α = P 4 i=1 xiαi B α1, α2, α3 r, J Ã αj , X 4 i=1 xiαi ! = 0, j = 1, 2, 3. C% 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 x1 x2 x3 x4 = 0. -P (x1, x2, x3, x4) = (1, −2, 3, −4), #$ α = α1 − 2α2 + 3α3 − 4α4 = (−8, 2, 0, 6). (α, α) = (α4, α) = 20. !O#s/ " ± √ 5 5 (−4, 1, 0, 3). 10. α1, α2, · · · , αm S' Ppq V m f , u]^ G(α1, α2, · · · , αm) = (α1, α1) (α1, α2) · · · (α1, αm) (α2, α1) (α2, α2) · · · (α2, αm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (αm, α1) (αm, α2) · · · (αm, αm) " B α1, α2, · · · , αm Z`[ (Gram) ]^. ST: α1, α2, · · · , αm t&,*b?cb |G(α1, α2, · · · , αm)| 6= 0. · 9 ·
证明：设有线性关系式 1a1+r202+…+xmam=0. 把这个等式分别与a1, ,am作内积可以得到变量1，…，工m的一个齐次线性方程组 (a1,a1)E1+(a1,a2)r2+··+(a1,0nEm=0 (a2,a1)1+(a2,a2)r2+…+(a2,am)zm=0 (am:a1)1+(am:02)2+...+(am:am)zm =0 其系数矩阵就是格拉姆矩阵G(α1，·，am).再利用齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可得： 1G(a1,a2,·,am川≠0→齐次线性方程组只有零解红1=…=xm=0→a1,…,am线性无关 11.设e1,2,3是三维证几列得空间V的一个明范通交基 证明：a1=(2e1+22-3,a2=(21-2+2e,a=(e1-2e2-2e3)也是V的-个明 范通交基 证明：直接验证可元，a1,2,a3都是单位向量，且两两通交.故它们是V的单位通交向量组.又因 dimV=3,它们构成V的明范通交基 12.将标准证几列得空间R4的基a1=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,0),a3=(-1,0.0,1),4=(1,1,1,-1) 化为明范通交基 解2(1,1,0,0，(1，-1,2,0,3(-1,1,1,3)，(-1,1,1，-1) 13.求齐次线性方程组 的解空间（作为标准证几列得空间R5的子空间）的一个明范通交基 解：该齐次线性方程组的一个基如解系为 2 0 通交化得 30 0 单位化后得明范通交基 -2a00.-12a-60,腰-0-a2a 238 14.证明：在证几列得空间V中，基1,2，·，m是明范通交基的充分必要条件是对V的任意向 量0=a1e1+a2e2+··+anEn,总有 (a,e)-a4 =1,2,…,n 10
: Gt&*j) x1α1 + x2α2 + · · · + xmαm = 0. NwfV)B α1, · · · , αm /{, >$P= x1, · · · , xm HfHt&@AB: (α1, α1)x1 + (α1, α2)x2 + · · · + (α1, αm)xm = 0 (α2, α1)x1 + (α2, α2)x2 + · · · + (α2, αm)xm = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (αm, α1)x1 + (αm, α2)x2 + · · · + (αm, αm)xm = 0 P: |G(α1, α2, · · · , αm)| 6= 0 ⇐⇒ Ht&@AB{Go-x1 = · · · = xm = 0 ⇐⇒ α1, · · · , αmt&,*. 11. ε1, ε2, ε3 4FS' Ppq V HfT=rz. ST: α1 = 1 3 (2ε1 + 2ε2 − ε3), α2 = 1 3 (2ε1 − ε2 + 2ε3), α3 = 1 3 (ε1 − 2ε2 − 2ε3) g V HfT =rz. : .}S> , α1, α2, α3 m/ , ?77r. !8 V /r B. Q! dim V = 3, 8u* V T=rz. 12. vUS' PpqR 4 z α1=(1, 1, 0, 0), α2=(1, 0, 1, 0), α3 = (−1, 0, 0, 1), α4 = (1, 1, 1, −1) L"T=rz. : √ 2 2 (1, 1, 0, 0), √ 6 6 (1, −1, 2, 0), √ 3 6 (−1, 1, 1, 3), 1 2 (−1, 1, 1, −1). 13. sHt&@AB ½ x1 − x2 + x3 + 3x4 − x5 = 0 x1 + 2x2 − x3 + 2x5 = 0 -pq (/"US' Ppq R 5 pq) HfT=rz. : Ht&@ABHfz-j" α1 = −1 2 3 0 0 , α2 = −2 1 0 1 0 , α3 = 0 −1 0 0 1 . rLP: −1 2 3 0 0 , − 12 7 3 7 − 6 7 1 0 , − 5 17 − 23 34 6 17 3 34 1 . /LPT=rz: √ 14 14 (−1, 2, 3, 0, 0), √ 238 238 (−12, 3, −6, 7, 0), √ 1938 1938 (−10, −23, 12, 3, 34). 14. ST: kS' Ppq V , z ε1, ε2, · · · , εn T=rz0@&12: V α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, 8G (α, εi) = ai (i = 1, 2, · · · , n). · 10 ·
