习题解答 第四章矩阵的秩与矩阵的运算 习题4-1 1.设向量3可由向量组a1,a2,…,a。线性表示，但不能由a1,a2,·,a。-1线性表示.证明：向量 组a1,a2,…,a,与向量组a1,a2,…,a-1,3等价 证明：由假设，存在1，…，a,∈K使得 g-a1a1+a2a2+…+aa 如果a,=0,则3可以被a1,2,·,a,-1线性表示，与假设矛盾，因此a,≠0.于是 a=-11---1a-1, a。 即a,可以由1,2…，a,-1,3线性表示.从而向量组a1,2,…,a,可被a1,a2,…,a。-1,8线性表示 另一方面，根据假设，向量组a1,a2,…,a,-1,B可以被向量组a1,a2,…,a,线性表示，因此这两个向量 组等价 *2.(替换定理设向量组1,2，…，0，线性无关，且可由向量组1，风，…，品线性表示，证明 存在，…，的一个置换，民a…,：使向量组a4,2,…,0,+民+a…,民与向量组 ,32…,3等价(r=1,…,s) 证明因为a1,a2,…,a,线性无关，且可由向量组3,2，…，3线性表示，故s≤t。 下面用归纳法证明替换定理。 ()设s=1. 因为可由，…，A线性表示，故存在a:∈使得1=∑a4.而a线性无关，即a1≠0，所 以a1,…,a,不全为零.必有a似≠0(1≤1≤t).则 因此向量组1，，…，-1，+1…，月与向量组，2，…，A等价 令房，=，民=，，民=-1，+1=+1，…，民=，即得结论 ()假定结论对s-1成立考家s个线性无关的向量a1,a2,·,a。 因a1,2,…,g-1线性无关由归纳假设，存在1，…，A的一个置换马，…，月，使 {1,…,ar,月+1…，3.}兰{月，…，}(r=1,…,5-1). 又aa可由，…，线性表示所以a。可以由a1,…,Qa-1,3.,·,3.线性表示.故存在，k∈K, i=1,…,8-1,k=8,…,t使得 a,=∑ka4+∑lk月 1
4–1 1. β >N B α1, α2, · · · , αs t& , qUcN α1, α2, · · · , αs−1 t& . ST: B α1, α2, · · · , αs B B α1, α2, · · · , αs−1, β V. : N1, 1k a1, · · · , as ∈ K 'P β = a1α1 + a2α2 + · · · + asαs. as = 0, J β >$I α1, α2, · · · , αs−1 t& , B145, !O as 6= 0. $N α1, α2, · · · , αs−1, β t& . C% B α1, α2, · · · , αs >I α1, α2, · · · , αs−1, β t& . H@, =>1, B α1, α2, · · · , αs−1, β >$I B α1, α2, · · · , αs t& , !Ow7f BV. ∗2. () B α1, α2, · · · , αs t&,*, ?>N B β1, β2, · · · , βt t& . ST: 1k β1, β2, · · · , βt HfYJ βi1 , βi2 , · · · , βit , ' B α1, α2, · · · , αr, βir+1 , βir+2 , · · · , βit B B β1, β2, · · · , βt V (r = 1, · · · , s). : !" α1, α2, · · · , αs t&,*, ?>N B β1, β2, · · · , βt t& , ! s 6 t. PDSTJ . (i) s = 1. !" α1 >N β1, · · · , βt t& , !1k ai ∈ K 'P α1 = Pt i=1 aiβi . % α1 t&,*, α1 6= 0, # $ a1, · · · , at U3"o. @G al 6= 0 (1 6 l 6 t). J βl = 1 al α1 − Xt i=1 i6=l ai al βi , !O B α1, β1, · · · , βl−1, βl+1, · · · , βt B B β1, β2, · · · , βt V. I βi1 = βl , βi2 = β1, . . . , βil = βl−1, βil+1 = βl+1, . . . , βit = βt, P"#. (ii) 1 "# s − 1 *+. s ft&,* α1, α2, · · · , αs. ! α1, α2, · · · , αs−1 t&,*, NP1, 1k β1, · · · , βt HfYJ βj1 , · · · , βjt , ' {α1, · · · , αr, βjr+1 , · · · , βjt } ∼= {β1, · · · , βt} (r = 1, · · · , s − 1). Q αs >N β1, · · · , βt t& , #$ αs >$N α1, · · · , αs−1, βjs , · · · , βjt t& . !1k ki , lk ∈ K, i = 1, · · · , s − 1, k = s, · · · , t, 'P αs = Xs−1 i=1 kiαi + Xt k=s lkβjk . · 1 ·
由于a1,…,a。线性无关，故l,…,山不全为零设第一个不为零的是h,则h≥.从而月。可以 由a1,…,a,月1…，.线性表示.令民=，民，=1，，3-1=.-1，月+1=月+1，， =,则 {a1…,a,3+1,3}兰{，…，} 由归纳法原理可知结论成立 3.设向量组a1,02,…,a,的秩为r,a,0a…,an是它的一个部分组.证明如果1，a2,…,0。 可由aaa…,a,线性表出，则aa…,,是a,a2,…,a,的一个极大线性无关组 证明：作为向量组的部分组，a4,…,.当然可以被a,…,a,线性表示.因此这两个向量组等 价，从而有相同的秩.于是由命题1.9可知向量组Q1,,,线性无关，由推论1.8可知它是极大线性 无关组 4.设a1,2,…,4与a1,a2,…,a,a4+1,a+2,…,a,有相同的秩证明a1,a2,…,a4与a1,a2 …,a。等价. 证明：根据假设，有 L(a1,·,ae）CL(a1,,04,0+1,·.a.), 又因这两个向量组有相同的秩，因此它们张成的线性子空间有相同的维数，从而相等再利用命题11 可知这两个向量组线性等价. 5.对下列向量组。将1扩充成向量组的一个极大无关组： (1)1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2)a3=(3,0,7,14).a4=(1,-1,2,0,a5=(2,1,5,6j: (2)a1=(1,-1.0.1.1),a2=2.1.3.-1.0),a3=(3,0.3.0,1),04=(1,-1,1,-1.1),a5= (-1,-5,-6,53),6=(2,1,2,1,0). 解：(1)a1,2,a4 (2)a4,a2,a4 6.设向量组{a1,a2,…,a},{,2,…,3},{a1,a2,…,a,,2,,3}的秩分别是r1,T2,r3 证明 max{r1,2}≤r3≤r1+r2. 证明由于向量组{1…，a,},{,…,}都可由向量组{a1,…,a,,…,}线性表示，故 rh≤r3,T2≤r3, 从而 max{r1.r2}≤r3 设0…，，是1，…，a的一个极大线性无关组。月1…，是，…，的一个极大线性无 关组。则 {a1…0,月，…，3}兰{a…,0n,月…，月n2} 所以 r3=rank{a4,…,a41,,…,月n}≤rn+r2. 7.设向量组{a,a2,…,a小，{2，…，}，{a1+,2+2,…,a+月}的秩分别是1,r2, 3.证明：r3≤r1+r2 证明：因为{a1+…,a+}可由{a1,…,a,…,，}线性表示，因此它的秩 3≤rank{a1,…,a,,…,3,}≤rank{a1,…,a}+rank{,…,,}=rn1+r2 2
N s. C% βjh >$ N α1, · · · , αs, βjh+1 , · · · , βjt t& . I βis = βjh , βi1 = βj1 , . . . , βis−1 = βjs−1 , βis+1 = βjs+1 , . . . , βit = βjt , J {α1, · · · , αs, βis+1 , · · · , βit } ∼= {β1, · · · , βt}. NPDK> "#*+. 3. B α1, α2, · · · , αs " r, αi1 , αi2 , · · · , αir 8Hf|B. ST: α1, α2, · · · , αs >N αi1 , αi2 , · · · , αir t&%, J αi1 , αi2 , · · · , αir α1, α2, · · · , αs Hf ;t&,*B. : /" B|B, αi1 , · · · , αir b>$I α1, · · · , αs t& . !Ow7f BV , C%GeC r. B αi1 , · · · , αir t&,*. N^# 1.8 > 8 ;t& ,*B. 4. α1, α2, · · · , αt B α1, α2, · · · , αt, αt+1, αt+2, · · · , αs GeC . ST: α1, α2, · · · , αt B α1, α2, · · · , αs V. : =>1, G L(α1, · · · , αt) ⊆ L(α1, · · · , αt, αt+1, · · · , αs), Q!w7f BGeC , !O8.*t&pqGeCF, C%eV. 37a 1.1, > w7f Bt&V. 5. B, v α1 0* BHf ;,*B: (1) α1 = (1, −1, 2, 4), α2 = (0, 3, 1, 2), α3 = (3, 0, 7, 14), α4 = (1, −1, 2, 0), α5 = (2, 1, 5, 6); (2) α1 = (1, −1, 0, 1, 1), α2 = (2, 1, 3, −1, 0), α3 = (3, 0, 3, 0, 1), α4 = (1, −1, 1, −1, 1), α5 = (−1, −5, −6, 5, 3), α6 = (2, 1, 2, 1, 0). : (1) α1, α2, α4. (2) α1, α2, α4. 6. B{α1, α2, · · · , αs}, {β1, β2, · · · , βt}, {α1, α2, · · · , αs, β1, β2, · · ·, βt} r1, r2, r3. ST: max {r1, r2} 6 r3 6 r1 + r2. : NN B {α1, · · · , αs, β1, · · · , βt} t& , ! r1 6 r3, r2 6 r3, C% max{r1, r2} 6 r3. αi1 , · · · , αir1 α1, · · · , αs Hf ;t&,*B, βj1 , · · · , βjr2 β1, · · · , βt Hf ;t&, *B, J {α1, , · · · , αs, β1, · · · , βt} ∼= {αi1 , · · · , αir1 , βj1 , · · · , βjr2 }, #$ r3 = rank{αi1 , · · · , αir1 , βj1 , · · · , βjr2 } 6 r1 + r2. 7. B {α1, α2, · · · , αs}, {β1, β2, · · · , βs}, {α1 + β1, α2 + β2, · · · , αs + βs} r1, r2, r3. ST: r3 6 r1 + r2. : !" {α1 + β1, · · · , αs + βs} >N {α1, · · · , αs, β1, · · · , βs} t& , !O8 r3 6 rank{α1, · · · , αs, β1, · · · , βs} 6 rank{α1, · · · , αs} + rank{β1, · · · , βs} = r1 + r2. · 2 ·
8.设向量组a1,2,…,0,的秩为r,a1,aa,·,am为它的一个部分组.证明 rank{a1,aa,…,a4n}≥r+m-s. 证明设a1,…,m的秩等于t则它的一个极大无关组0，…，a是1，…，a。的线性无关组 它可被扩充为1，…，a,的一个极大线性无关组。而这些扩充的向量不可能是α1，…，am的向量。否 则与极大无关组矛盾.而1，…，a,中共有s一m个不属于a,…,an的向量，其中选出r一t个不同 的向量添加到，…，0，以生成a,…,的一个极大线性无关组，从而 r-t≤s-m 移项得 Tank{ai,··,ai=t≥T+m-8. 9.已知两个向量组有相同的秩，且其中一个可以被另一个线性表示.证明：这两个向量组等价 证明设向量组四)可被向量组（四）线性表示，它们生成的线性子空间分别记为L1,L2.则L1二L2, 又因它们有相同的秩，因此它们生成的线性子空间有相同的维数，从而工-L2,即（四与（四）等价 习题4-2 1.求下列矩阵的秩 14100 /21112 3242 1041 (1) (2) 4113 1-11-5 2371/ 208-2/ /1001 /2031-1 010-1 1 12121 (3) 1-11 ( 3-250-3 00 1 1 -1 1023 2.求下列向量组的秩与极大线性无关组： ()a1=3.2,-1,-3,-2,a2=2,-1,3,1,-3,g=(1,-4,7,5,40,04=(1,-7,11,9,5) (20m=(1,-1,1,1,1),02=(1,1,-1,1,1),a3=(1,1,1,-1,1),a4=(1,1,1,1,-1),5= (1,1,1,1.1 (3)a1=(2,-1,3,-2,40,a2=(4,-2,5,1,7),a3=(2,-1,1,8,2),a4=(2,-1,2,3,3: (4④4=(1,3,3,5).2=(3,2，-5,1)3=(2,3.0,4，a4=(5,4,-7,1),as=(3,5,1,7 解：(1)秩4，a1,a2,a3,a4 (2)秩5，a1,a2,a3a4,a5 (3)跌2.a1.a2. (4)秩3，a1,2,a4. 3求向量组a1=(-3,1,1,1),a2=(1,-3,1,1),a3=(1,1,-3,1,a4=(1,1,1,-3)的所有极大线 性无关组 解：任意3个向量都构成极大线性无关组。 4.求下列向量组所张成的子空间的基与维数 (1)a1=(4,-5,2,6,a2=(2,1,3,2,ag=(2,-6,-1,4),4=(2,13,5,-6 3
8. B α1, α2, · · · , αs " r, αi1 , αi2 , · · · , αim "8Hf|B. ST: rank{αi1 , αi2 , · · · , αim} > r + m − s. : αi1 , · · · , αim VI 0" α1, · · · , αs Hf ;t&,*B, %wH 0 U>c αi1 , · · · , αim , ) JB ;,*B45. % α1, · · · , αs (G s − m fU r + m − s. 9. 7f BGeC , ?$IHft& . ST: w7f BV. : B(I) >I B(II) t& , 8*t&pq "L1, L2. J L1 ⊆ L2. Q!8GeC , !O8*t&pqGeCF, C% L1 = L2, (I) B (II) V. 4–2 1. s ]^ : (1) 1 4 10 0 3 2 4 2 4 1 1 3 2 3 7 1 (2) 2 1 11 2 1 0 4 −1 1 −1 1 −5 2 0 8 −2 (3) 1 0 0 1 1 0 1 0 −1 1 1 −1 1 3 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 (4) 2 0 3 1 −1 1 2 1 2 1 3 −2 5 0 −3 −1 1 0 2 3 : (1) 2; (2) 2; (3) 4; (4) 3. 2. s B B ;t&,*B: (1) α1 = (3, 2, −1, −3, −2), α2 = (2, −1, 3, 1, −3), α3 = (1, −4, 7, 5, 4), α4 = (1, −7, 11, 9, 5); (2) α1 = (1, −1, 1, 1, 1), α2 = (1, 1, −1, 1, 1), α3 = (1, 1, 1, −1, 1), α4 = (1, 1, 1, 1, −1), α5 = (1, 1, 1, 1.1); (3) α1 = (2, −1, 3, −2, 4), α2 = (4, −2, 5, 1, 7), α3 = (2, −1, 1, 8, 2), α4 = (2, −1, 2, 3, 3); (4) α1 = (1, 3, 3, 5), α2 = (3, 2, −5, 1), α3 = (2, 3, 0, 4), α4 = (5, 4, −7, 1), α5 = (3, 5, 1, 7). : (1) 4, α1, α2, α3, α4. (2) 5, α1, α2, α3, α4, α5. (3) 2, α1, α2. (4) 3, α1, α2, α4. 3 s B α1 = (−3, 1, 1, 1), α2 = (1, −3, 1, 1), α3 = (1, 1, −3, 1), α4 = (1, 1, 1, −3) #G ;t &,*B. : 3 f mu* ;t&,*B. 4. s B#.*pqzBF: (1) α1=(4, −5, 2, 6), α2=(2, 1, 3, 2), α3=(2, −6, −1, 4), α4=(2, 13, 5, −6); · 3 ·
(2)1=(1,0,0,1,-1),a2=(0,1,0,2,1),03=(0.0,1,-1,-2,a4=(1,1,1,2,-2). 解(1)维数3，基a1,a2,a4 (2)维数3，基1,2,3 5.求下列矩阵的秩 1 aa a () a2b1a2b2…a2b (②) a1a…aa 解：（①）因为此矩阵的子意两行都线性相关，因此秩≤1.而此矩阵的秩等于0的充分必要条件是所 有的ab=0.如(a1,…,an)≠0，则必有(b1,…,bn)=0,如(b1,…,bn)≠0则必有(a1,…,an)=0. 因此当(a1…,an)=0或（亿1，…，bn)=0时，秩为0，否则，秩为1. (②)当a=1时，秩为1当a=1元时，秩为n-1(n>1片其余情形，秩为n 6.设 W={a1,…,a,0,…,0)Ta∈K,i=1…,r}Km 证明：dimW=r 证明：设 11= 则1，a2,…,a,线性无关，且对子意的 0 有a=a1a1+…+a,a,所以dimW=r 7.设a1,2,…,a,线性无关=a6=l,令A=(a证明 rank{,2,·,3}=rank A. 证明：(设3，…，是，…，3的一个极大线性无关组。考察A的列向量组1，…，则 (g…月.)=(1…ah1…) 如果宫=0，则 (k (…月) =(a1…a)h1…) =0 k 即名=0由于…，8线性无关因此=…==0，即，…m线性无关所以 rank(4≥t=ank{,…,d,}
(2) α1 = (1, 0, 0, 1, −1), α2 = (0, 1, 0, 2, 1), α3 = (0, 0, 1, −1, −2), α4 = (1, 1, 1, 2, −2). : (1) F 3, z α1, α2, α4. (2) F 3, z α1, α2, α3. 5. s ]^ : (1) a1b1 a1b2 · · · a1bn a2b1 a2b2 · · · a2bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . anb1 anb2 · · · anbn ; (2) 1 a a · · · a a a 1 a · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a a · · · a 1 . : (1) !"O]^7 mt&e*, !O 6 1. %O]^ V 1); t = rank{β1, · · · , βs}. · 4 ·
()设，…，是A的列向量组的极大线性无关组，则由∑k.=0可得 (a1…a,( …) 由于1，…，Qn线性无关，必须有 由，…，.的线性无关性可得= ==0,即…，.线性无关，因而 rank{a,…,,}≥t=rank(A) 最终得到 rank{,…,,}=rank(A) 8.设A∈Mm.n(K).已知A的第i1,i2,·,i,行组成A的行向量组的极大线性无关组，A的第 1,2,…,.列组成A的列向量组的极大线性无关组证明 aiti dijz ditj r≠0. ah…a 证明：适当交换矩阵的行与列，可设矩阵的前π行与前π列分别为矩阵的行向量组与列向量组的 极大线性无关组。从而矩阵可经初等行变换化为 /01,1a1.2 1,n B= r.1ar.2·ar,n 00…0 00.0/ 因矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量的线性关系，故矩阵B的前r列仍为B的列向量组的极大线 性无关组.从而B可经初等列变换化为 /a11a12 aL.r 0... 0 C= a,1ar2ar0…0 00…00…0 00..00.0/ 因为rank(C)=rank(B)=r,所以 a1,1a12··a1.r ≠0. dr.1 dr.2…arr 习题4-3 1.讨论下列含参量线性方程组的解的情况，并求解 …5
(ii) γj1 , · · · , γjt A B ;t&,*B, JN Pt i=1 kiβji = 0 >P (α1 · · · αr)(γj1 · · · γjt ) k1 . . . kt = (βj1 · · · βjt ) k1 . . . kt = 0, NP k1 = · · · = kt = 0, βj1 , · · · , βjt t&,*, !% rank{β1, · · · , βs} > t = rank(A). P rank{β1, · · · , βs} = rank(A). 8. A ∈ Mm,n(K). A = i1, i2, · · · , ir B* A B ;t&,*B, A = j1, j2, · · · , jr B* A B ;t&,*B. ST: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ai1,j1 ai1,j2 · · · ai1,jr ai2,j1 ai2,j2 · · · ai2,jr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . air,j1 air,j2 · · · air,jr ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. : ;bJ]^ B , >]^O r BO r "]^ BB B ;t&,*B. C%]^>j\V =JL" B = a1,1 a1,2 · · · a1,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar,1 ar,2 · · · ar,n 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 , !]^\V =JUj\V =JL" C = a1,1 a1,2 · · · a1,r 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar,1 ar,2 · · · ar,r 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 0 · · · 0 . !" rank(C) = rank(B) = r, #$ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1,1 a1,2 · · · a1,r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar,1 ar,2 · · · ar,r ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. 4–3 1. U# ^ t&@AB-!, Ws-. · 5 ·
(au1+ba2+x3=1 （(0+3)1+2+2=入 (1) 1+abr2+3=b (2 1+(A-1)z2+3=2 x1+b2+ar3=1 (3(A+1)z1+x2+(A+3)z3=5: ax1+bc2+2r3=1 (3) a1+(2b-1)x2+3rg=1 ax1+bz2+(b+3)xg=2b-1. 解()当a-1(a+2≠0时有解x1=a-+可=驰a子=a-+可 当a=b=-2时，有解x1=x3=-1-2x2 当a=b-1时，有解西1=1-x2-: 其余情形无解 (②倒当入≠0，入≠1时有解五=+公-也，2=+入也，=2入+西 当入=1时有解：1=2-x3,x2=-7+2x3 当入=0时无解： ③当a0,b≠士1时有解=品，=泽，-2 当b=1时有解：2=1-a1,3=0: 当a=0,b=5时有解：2=-了，3=号，1为任意数 其余情形无解 2.利用线性方程组的理论证明：如果直线 L1: Aix+By+C2+D1=0 A2x+B2+Cz+D为=0 与直线 A3+B3!+C3z+D3=0 Aux+Bay+Caz+Da=0 相交，那么 A1 A2 A3 A B1 B2 B3 Ba c-0. 解：根据例3.3的解如果L1与2相交，那么线性方程组 Air+Buy+Cz=-DI =-D为 A3x+B3y+C32=-D3 A+Bay+C:=-Da 有唯一解，从而rank(A)=rank(A)=3,这里A与A分别是上述方程组的系数矩阵与增广矩阵.因此行 列式14=0， -D1 B1 B2 Bs B4 A2 B2 C2 -D2 =0 C1 C2 Cs Ca As B3 C3 -D3 D1 D2 D3 Da A Ba C -Da 3.求三个平面Ax+By+C2+D,=0(位=1,2,3)分别满足下列关系的充要条件. ()有一个公共点： (2②)有一条公共直线： 6
(1) ax1 + bx2 + x3 = 1 x1 + abx2 + x3 = b x1 + bx2 + ax3 = 1; (2) (λ + 3)x1 + x2 + 2x3 = λ λx1 + (λ − 1)x2 + x3 = 2λ 3(λ + 1)x1 + λx2 + (λ + 3)x3 = 5; (3) ax1 + bx2 + 2x3 = 1 ax1 + (2b − 1)x2 + 3x3 = 1 ax1 + bx2 + (b + 3)x3 = 2b − 1. : (1) bb(a−1)(a+2) 6= 0RG-: x1= a − b (a − 1)(a + 2) , x2= ab + b − 2 b(a − 1)(a + 2) , x3 = a − b (a − 1)(a + 2) ; b a = b = −2 R, G- x1 = x3 = −1 − 2x2; b a = b = 1 R, G- x1 = 1 − x2 − x3; j 3.3 -, L1 B L2 e, 0t&@AB A1x + B1y + C1z = −D1 A2x + B2y + C2z = −D2 A3x + B3y + C3z = −D3 A4x + B4y + C4z = −D4 G,H-, C% rank(A) = rank(A˜) = 3, w A B A˜ yS@ABj]^B ]^. !O ) |A˜| = 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 D4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 B1 C1 −D1 A2 B2 C2 −D2 A3 B3 C3 −D3 A4 B4 C4 −D4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. 3. s4f Aix + Biy + Ciz + Di = 0 (i = 1, 2, 3) -. *j0&12. (1) GHff(; (2) GH1f(.t; · 6 ·
(3)三个平面平行： (4④)三个平面构成三棱那. 解：考交非齐一线要方程与 Aix+By+Ci:=-D A2x+Bau+Coz=-D2 、A3x+B3则+C3z=-D3 它的例数矩阵与增广矩阵分别记为A与A (1)三个平面有一个个共点→方程与(*)有唯一满→rank(A)=rnk(A)=3→A≠0. (2)三个平面有一条个共足线一方程与()有满，而且(*)的导而方程与的基础满例只含一个 果量←rank(A)=rank(A)=2. (3)三个平面平行一先=各-会≠品1≤i<j≤3 (④三个平面构成三棱那←一方程与()无满，而(，)的导而方程与的基础满例含一个果量 ←→ramk(4)=2,rank(A)=3,而且A中任意两行都不成相例. 习题4-4 1.判别下列哪些映射为线要映射？ ()在果量空间V中，()=a,其中a为固下果量 (②)d:K2-一K3 (,)-一(-1,2,3) (3).M:K3 -→3 (1,2,)-一(21+2-3，-x2+,1+2r2-xg) (4):K3-→K2 (,,2)-一(c2+2-2,) (⑤)(x81+ye2+2g3)=(任+)91+(c-y+z)e2+(g-z)e3,其中81,2，e3为线要空间V的基 (6)几何空间R2中，？为平面按逆时针方果绕原点旋转45°的变换 解：()如a=0,是：如a≠0，不是 (2)不是 (3)是 (④不是 ()是 (6)是 2.对于上题中的线要映射，求而它的在相唯基下的矩阵（如未指明基，则取自分基）， 解：()a=0时为零矩阵 /21 1 3)0-11 1 1 110 同)1-11 01 450 o（an4 in 450 7
(3) 4f ; (4) 4f u*4 . : nHt&@AB A1x + B1y + C1z = −D1 A2x + B2y + C2z = −D2 A3x + B3y + C3z = −D3 (∗) 8j]^B ]^ " A B A˜. (1) 4f GHff( ⇐⇒ @AB (∗) G,H- ⇐⇒ rank(A) = rank(A˜) = 3 ⇐⇒ |A| 6= 0. (2) 4f GH1f(.t ⇐⇒ @AB (∗) G-, %? (∗) %@ABz-j{ Hf ⇐⇒ rank(A) = rank(A˜) = 2. (3) 4f ⇐⇒ Ai Aj = Bi Bj = Ci Cj 6= Di Dj 1 6 i < j 6 3. (4) 4f u*4 ⇐⇒ @AB (∗) ,-, % (∗) %@ABz-j Hf ⇐⇒ rank(A) = 2, rank(A˜) = 3, %? A 7 mU*ej. 4–4 1. | GHF]"t&F]? (1) k pq V , A(ξ) = α, < α "I ; (2) A : K2 −→ K3 (x, y) 7−→ (−1, 2, 3) (3) A : K3 −→ K3 (x1, x2, x3) 7−→ (2x1+x2−x3, −x2+x3, x1+2x2−x3) (4) A : K3 −→ K2 (x, y, z) 7−→ (x 2 + y 2 − z, xy) (5) A(xε1 + yε2 + zε3) = (x + y)ε1 + (x − y + z)ε2 + (y − z)ε3, < ε1, ε2, ε3 "t&pq V z; (6) 'pq R 2 , R " [ R!@ "K 45◦ =J. : (1) α = 0, ; α 6= 0, U. (2) U. (3) . (4) U. (5) . (6) . 2. <yat&F], s%8ke,z ]^ (z-Tz, Jzgz). : (1) α = 0 R"o]^. (3) 2 1 −1 0 −1 1 1 2 −1 . (5) 1 1 0 1 −1 1 0 1 −1 . (6) µ cos 45◦ − sin 45◦ sin 45◦ cos 45◦ ¶ . · 7 ·
3.设为向量空间到向量空间3的线性映射，a1,a2,…,am∈，(a)=,i=1,2,·,m. 证明如果，，…，m线性无关，则a1,a2,,am也线性无关 证明：设k1a1+ka2+…+kmam=0,则 (k1a+k2a2+…+kmam)=0 →a)+k2.a)+…+km(am)=0 →k101+k32+..·+km3m=0. 由于，2，…，m线性无关可得k1=k2=…=km=0,从而a1,a2,…,m线性无关 4.下面图中的(1)(7)都是图(O)经过整系数矩阵的线性变换而得到的.图(O)中标出了原点O及 基向量，.试通过确定基向量在图()()中的象以及它们关于，的坐标（均为整数）以写出相应 线性变换的矩阵。 44 △△ P 44 44 p (0) (1) (2) (3) (4) 第4题图 解四（日） a() (6 () () 5.有一个边长为1的立方体的每个表面都贴上了相同的浮雕马的平面图.广告设计师决定采用 第三章8所述的斜二测投影画出它的立体图（如附图）.他发现只要对正面的图形作两个线性变换就能 8
3. A " pqV1 pqV2 t&F], α1, α2, · · · , αm ∈ V1, A(αi) = βi , i = 1, 2, · · · , m. ST: β1, β2, · · · , βm t&,*, J α1, α2, · · · , αm gt&,*. : k1α1 + k2α2 + · · · + kmαm = 0, J A(k1α1 + k2α2 + · · · + kmαm) = 0 ⇒k1A(α1) + k2A(α2) + · · · + kmA(αm) = 0 ⇒k1β1 + k2β2 + · · · + kmβm = 0, NP k1 = k2 = · · · = km = 0, C% α1, α2, · · · , αm t&,*. 4. (1)–(7) m (0) jN+j]^t&=J%P. (0) U%rK O h z η1, η2. rNd z k (1)–(7) #$h8*< η1, η2 WU (K"+) $~%e, t&=J]^. p 0 X X \& Pr p 0 X X \& Pr p 0 X X \& Pr p 0 X X \& Pr uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p !:F z / O η1 η2 (0) p 0 D( ( rP p 0 D( ( rP p 0 D( ( rP p 0 D( ( rP uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p (1) Pr < 0 p Pr < 0 p Pr < 0 p Pr < 0 p uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p (2) 0 p ( ( D Pr 0 p ( ( D Pr 0 p ( ( D Pr 0 p ( ( D Pr uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p (3) 0 p &\X X rP 0 p &\X X rP 0 p &\X X rP 0 p &\X X rP uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p (4) (;`s <;<; @q (;`s <;<; @q (;`s <;<; @q (;`s <;<; @q q q q q q q q q q q q q q q q s s s s s ` ( s s s s s ` ( s s s s s ` ( (5) s ` ( + f k l k l l k l p p p p p h , s ` ( + f k l k l l k l p p p p p h , s ` ( + f k l k l l k l p p p p p h , s ` ( + f k l k l l k l p p p p p h , (`s s s s s (`s s s s s (`s s s s s p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p h , p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p h , p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p h , (6) s ` ( 9 t 0 s ` ( 9 t 0 s ` ( 9 t 0 s ` ( 9 t 0 s s s s s ` ( s s s s s ` ( s s s s s ` ( 0 p t t t t t 0 p t t t t t 0 p t t t t t (7) 4 : (1) µ −1 0 0 1 ¶ . (2) µ 0 −1 1 0 ¶ . (3) µ 1 0 0 −1 ¶ . (4) µ −1 0 0 −1 ¶ . (5) µ 1 −1 1 1 ¶ . (6) µ −1 1 2 −1 ¶ . (7) µ 0 1 −2 −1 ¶ . 5. GHf8;" 1 +@sfm$yreC%&' . (x)* + =4, §8 #S-b.X%8+ (Z ). /01{&r 6/7ft&=Joc · 8 ·
得到顶面和侧面的两个图形（为什么）.如向把每个侧面的下下角取为原点，用写出顶面和右侧面的图 形对应的变则矩阵 ( 第5题图 解顶： 0 习题4-5 1.在使如空间中取直角标架0：元，了，].以，.，下分别表示空间按右手系绕工、弘、z轴旋转45 的变则 (1)以坐标的形式写出以，8，飞的表达式 (②)求以8,7在基元，方，下下的矩阵 (3)求单8，，男，过+8，男在基五，了，正下的矩阵 ④证明===名，这里表示恒同映射 解四，)=（名要y-要要+要) 红，，)= (9x+要-9x+9) ,习=（要x-要要+要， 1 0 B ,C= 0 0 1 0 (3)AB= BA= 0 ABC- - 1+ A+B= 9
P~:D7f 6 ("/0?). NsfD 5z"K, ~%~: D 6,=J]^. t t t t t t p t t t t t t p uuuuuuP uuuuuuP t t t t t t p Puuuuuu @q q q q q q q q @ 5 : ~: Ã 1 √ 2 4 0 √ 2 4 ! , D: Ã √ 2 4 0 √ 2 4 1 ! . 4–5 1. k'pqz.5UV[O; −→i , −→j , −→k ]. A, B, C pq[ 2j"x y z E 45◦ =J. (1) $WU6)~% A, B, C P); (2) s A, B, C kz −→i , −→j , −→k ]^; (3) s AB, BA, ABC , A + B, A 4B4 kz −→i , −→j , −→k ]^; (4) ST: A 8 = B8 = C 8 = E, w E 6CF]. : (1) A(x, y, z) = µ x, √ 2 2 y − √ 2 2 z, √ 2 2 y + √ 2 2 z ¶ , B(x, y, z) = µ √ 2 2 x + √ 2 2 z, y, − √ 2 2 x + √ 2 2 z ¶ , C (x, y, z) = µ √ 2 2 x − √ 2 2 y, √ 2 2 x + √ 2 2 y, z¶ . (2) A = 1 0 0 0 √ 2 2 − √ 2 2 0 √ 2 2 √ 2 2 , B = √ 2 2 0 √ 2 2 0 1 0 − √ 2 2 0 √ 2 2 , C = √ 2 2 − √ 2 2 0 √ 2 2 √ 2 2 0 0 0 1 . (3) AB = √ 2 2 0 √ 2 2 1 2 √ 2 2 − 1 2 − 1 2 √ 2 2 1 2 , BA = √ 2 2 1 2 1 2 0 √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 1 2 1 2 , ABC = 1 2 − 1 2 √ 2 2 1 2 + √ 2 4 1 2 − √ 2 4 − 1 2 1 2 − √ 2 4 1 2 + √ 2 4 1 2 , A + B = 1 + √ 2 2 0 √ 2 2 0 1 + √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 , · 9 ·
4g=(d49 1001 (4)略. 2.计算下列矩阵的运算 /11 /1-11y (四)A=212,B=02-1 231/ 120 /a b c Ic b a 6八 求Aa,A-A-职 /34-2N /608 解（四）AB=441,AB-BA=25-2,(4+BP= 36-1 -23-8/ (2)AB= 人++由8士经+ ac+ba+cb （a-b12 AB-BA- -a-6a-) (a-6)2 (6-c)(a-b) a-9。-2 6-c(a-b) (A+B)2 -(a-b)(a+6-2c)0(a-b)(a+b-2c) -(b-ca+b-2c）0(6-c(a+b-2c) 3.计算 22112 /1-1113 (1)212 (201-1: \122/ \-101 () (6) ·(g ).o /11·…1 /λ10 ()01 (8)(En+A)",A= 00A/ /988 解四898 10
A4B4 = −1 0 0 0 −1 0 0 0 1 . (4) i. 2. xg ]^3g: (1) A = 1 1 3 2 1 2 2 3 1 , B = 1 −1 1 0 2 −1 1 2 0 ; (2) A = a b c b c a c a b , B = c b a a c b b a c ; s AB, AB − BA, (A − B) 2 . : (1) AB = 4 7 0 4 4 1 3 6 −1 , AB − BA = 3 4 −2 2 5 −2 −2 3 −8 , (A + B) 2 = 6 0 8 1 8 4 3 2 6 . (2) AB = ac + ba + cb ac + ba + cb a2 + b 2 + c 2 ac + ba + cb a2 + b 2 + c 2 ac + ba + cb a 2 + b 2 + c 2 ac + ba + cb ac + ba + cb , AB − BA = (b − c)(a − b) −(a − c)(a − b) (a − b) 2 −(a − c)(a − b) (a − b) 2 (b − c)(a − b) (a − b) 2 (b − c)(a − b) −(a − c)(a − b) , (A + B) 2 = (a − c)(a + b − 2c) 0 −(a − c)(a + b − 2c) −(a − b)(a + b − 2c) 0 (a − b)(a + b − 2c) −(b − c)(a + b − 2c) 0 (b − c)(a + b − 2c) . 3. xg: (1) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ; (2) 1 −1 1 0 1 −1 −1 0 1 3 ; (3) µ 0 1 1 1 ¶5 ; (4) µ cos θ − sin θ sin θ cos θ ¶n ; (5) ( a b c ) a b c ; (6) a b c ( a b c ); (7) λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ n ; (8) (λEn + A) n, A = 1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 . : (1) 9 8 8 8 9 8 8 8 9 . (2) −3 −2 5 3 0 −2 −2 3 −3 . (3) µ 3 5 5 8 ¶ . (4) µ cos nθ − sin nθ sin nθ cos nθ ¶ . (5) (a 2 + b 2 + c 2 ). · 10 ·