第三节 正定二次型 惯性定理 正定二次型的概念 三 正定二次型的判别 小结 上页
第三节 正定二次型 • 一， 惯性定理 • 二， 正定二次型的概念 • 三， 正定二次型的判别 • 四， 小结
一、 惯性定理 个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质. 上页 区回
一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
定理1（惯性定理）设有实二次型∫=xTAx,它的秩 为”，有两个实的可逆变换 x=Cy 及 x=P7 使∫=+k2++,子 ( 及∫=1+2经+…+1， (4, 则k,k2,,k,中正数的个数与 1,…,2r中正数的个数相等
( ) ( ) 1 2 1 ( ) , , 2 2 2 0 , 1 1 2 2 2 2 2 0 , 1 1 2 2 , , , , , . 1 r T f x Ax r x Cy x Pz f k y k y k y k r r i f z z zr r i k k k r = = = = + + + = + + + 定理 惯性定理 设有实二次型 它的秩 为 有两个实的可逆变换 及 使 及 则 中正数的个数与 中正数的个数相等
二、正（负）定二次型的概念 定义1设有实二次型f(x)=xTAx,如果对任何 x≠0，都有f(x)>0(显然f(0)=0),则称f为正定二 次型，并称对称矩阵4是正定的如果对任何x≠0 都有f(x)<0,则称为负定二次型并称对称矩阵 A是负定的. 例如∫=x2+4y2+16z2为正定二次型 f=-x-3x3 为负定二次型
2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 二、正(负)定二次型的概念 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T = = 例如
三、正（负）定二次型的判别 定理2实二次型=xTAx为正定的充分必要条 件是：它的标准形的个系数全为正 证明设可逆变换=Gy使 f=f)-2明 充分性 设k>0(i=1,,n)任给x≠0， 则y=C-x≠0， 故 f(x)=2ky片>0
证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i = 任给 x 0, y = C x 0, 则 -1 故 ( ) 0. 2 1 = = i n i i f x k y 三、正(负)定二次型的判别 : . 2 件 是 它的标准形的 个系数全为正 定 理 实二次型 为正定的充分必要条 n f x Ax T =
必要性 假设有k,≤0，则当=e,(单位坐标向量时， f(Ce,)=k,≤0. 显然Ce,≠0，这与f为正定相矛盾. 故k>0(i=1,,n) 推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正. 湖回
必要性 0, 假设有ks 则当 (单位坐标向量)时, s y = e ( ) = 0. Ces ks f 0, 显然Ces 这与 f 为正定相矛盾. 故 k 0(i 1, ,n). i = 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式为正，即 411>0, 01112 >0,2 :>0; L21 L22 m 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 11 (- :>0,(r=1,2,…,n) 这个定理称为霍尔维茨定理
0, a11 0, 21 22 11 12 a a a a , 0; 1 11 1 n nn n a a a a ( 1) 0, ( 1,2, , ). 1 1 1 1 r n a a a a r rr r r − = 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 A A 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 A
正定矩阵具有以下一些简单性质 1.设A为正定实对称阵则AT,A,A*均为正 定矩阵； 2.若A,B均为n阶正定矩阵则A+B也是正定 矩阵 上页 回
正定矩阵具有以下一些简单性质 ; 1. , A , , T 1 定矩阵 设A为正定实对称阵则 A − A 均为正 . 2. , , 矩 阵 若A B均 为n阶正定矩阵 则A+ B也是正定
例1 判别二次型 f(x1,x2,x)=5x2+x+5x3+4xx2-8xx3-4x2x3 是否正定 解 f(x,x2,x)的矩阵为 -4-2 5 它的顺序主子式 2 -4 5>0, 2 1 -2 =1>0, -2 故上述二次型是正定的
例1 判别二次型 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 5x + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x 是否正定. 解 f (x1 , x2 , x3 )的矩阵为 , 4 2 5 2 1 2 5 2 4 − − − − 它的顺序主子式 5 0, 1 0, 2 1 5 2 = 1 0, 4 2 5 2 1 2 5 2 4 = − − − − 故上述二次型是正定的
例2 判别二次型 f(x1,x2,x3)=2x+4x3+5x号-4xx3 是否正定 解用特征值判别法， 20-2 二次型的矩阵为A= 0 4 -205 令2E-A=0→21=1，九2=4,23=6. 即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型
例2 判别二次型 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = 2x1 + 4x + 5x − 4x x 是否正定. 解 二次型的矩阵为 , 2 0 5 0 4 0 2 0 2 − − A = 用特征值判别法. 令 E − A = 0 1, 4, 6. 1 = 2 = 3 = 即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型