北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第七章 欧氏空间 第二节 标准正交基

第二节标准正交基 设V是一个n维欧氏空间，在V中取定一个 基为 12 则对于V中任意两个向 量 和，有 a=xa+x,a+…+x,an=∑x,a B=ha+y+…+yan=∑a 从而由内积的性质，得 a,=2a2a,=22,a 1

第二节 标准正交基 设V 是一个n 维欧氏空间，在V 中取定一个 基为 1 , 2 , …, n，则对于V 中任意两个向 量 和 ，有 = = + + + = n i x x xn n xi i 1  11 2 2 ...   = = + + + = n i n n i i y y y y 1  11 2 2 ...   从而由内积的性质，得    = = = = = = n i n j n i n j i i j j i j i j x y x y 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , )    ,   

上式表明 与的内积可以通过基向量之间 的内积以及向量在这个基下的坐标来表示。 若令 (a,aj）=(,j=1,2,…,n0 记 (a1,1)(a1,a2）. (a,a) (a2,a1）(a2,a2).… (a2,an） A- (an,a) (a,a).() 011 12 n L21 L22 … A2n An2 回

上式表明 与 的内积可以通过基向量之间 的内积以及向量在这个基下的坐标来表示。 若令 ( , ) a (i, j , ,...,n)  i  j = ij = 1 2 记               = ( , ) ( , ) ... ( , ) ............................................... ( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) n n n n n n A                   1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = n n nn n n a a a a a a a a a ... ........................ ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1

则 与 的内积可表示 (a,B)=X'AY 其中 X=(c,x2…,x),Y=(0y1,y2,Jyn) 分别为 在基 1 2,n下的坐标 向量， 称陈A为基 21,3,4是岭度量梅阵的 一个基，其度量矩阵为 2 -3 0 1 -3 6 0 -1 A= 0 0 13 9 1 -1 9

则 与 的内积可表示 为 X AY T (, ) = 其中 T n T n X (x , x ,...,x ) ,Y ( y , y ,..., y ) = 1 2 = 1 2 分别为 ， 在基 1 , 2 , …, n下的坐标 向量， 称矩阵A 为基 1 , 2 , …, 例1 设 1， 2， 3， 4是欧氏空间 n 的度量矩阵。V 的 一个基，其度量矩阵为 ,               − − − − = 7 9 1 1 9 13 0 0 1 0 6 3 1 0 3 2 A

a=a1+a3-2a4,B=2c1+a3-3a4 是V中的两个向量，试求（，)， 解 (a,B)=X'AY(2 -3 0 1 =(1,0,1,-2） 03 6 0 -1 20, 0 13 9 9 7 =(0,-1, -5,-4) 201 =7 3 回

是V 中的两个向量，试求（ , ）.  = 1 +3 − 2 4  = 21 +3 − 3 4 , 解 X AY T (, ) = ( )               −               − − − − = − 3 1 0 2 7 9 1 1 9 13 0 0 1 0 6 3 1 0 3 2 1, 0, 1, 2 ( ) 7 3 1 0 2 0 1 5 4 =               − = , − , − , −

容易看出，如果度量矩阵A是单位矩阵E, 那末向量内积的表达形式最简单。 定义5在欧氏空间V中，一组非零的两两正交 的向量组称为欧氏空间的一个正交向量组。 定义6在n维欧氏空间V中，由n个两两正交 的非零向量组成的正交向量组称为正交基，由 单位向量构成的正交基称为标准正交基。 对一组正交基单位化就得到一组标准正交 基。设 13 233 n是一个标准正交基，由 定义，有 1,i=i a,a,)=dg=0,i≠j

容易看出，如果度量矩阵 A 是单位矩阵E, 那末向量内积的表达形式最简单。 定义5 在欧氏空间V 中，一组非零的两两正交 的向量组称为欧氏空间的一个正交向量组。 定义6 在n 维欧氏空间 V 中，由 n 个两两正交 的非零向量组成的正交向量组称为正交基，由 单位向量构成的正交基称为标准正交基。 对一组正交基单位化就得到一组标准正交 基。设 1 , 2 , …, n 是一个标准正交基，由 定义，有     = = = i j i j i j ij , , ( , ) 0 1   

因此，一组基为标准正交基的充要条件是： 它的度量矩阵为单位矩阵。 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内 积简单地表示出来。设 a=xa+x,a+…+xa,-∑xa 则(a,a)=(a,∑xa)=∑x(aa,)=y 于是，a=(a1,a)a1+(a2,a)a2+…+(an,a)am ->(a)a

因此，一组基为标准正交基的充要条件是： 它的度量矩阵为单位矩阵。 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内 积简单地表示出来。设 = = + + + = n i x x xn n xi i 1  11 2 2 ...   则   = = = = = n i n i j j xi i xi j i xj 1 1 ( ,) ( ,  ) ( , ) 于是，         n   n = ( , ) + ( , ) + ... + ( , ) 1 1 2 2 = = n i i i 1 ( ,)

在标准正交基下，向量的内积有特别简单 的表达式。设 0=X101+X202+.+xn0m B=ya1+Jy'2a2+…+ynn 于是，(a,B)=XTAY=XTEY=XrY =x1y1+x2Jy2+…+xmyn 定理2设 1 299 n是n维欧氏空间V的一 个标准正交基，若 (f1,f2,Bn)=(a1,a2,xn)A, 王王王 则向量组，2，，n是V的一个标准正交基 的充要条件是A为一个正交矩阵，即ATA=E

在标准正交基下，向量的内积有特别简单 的表达式。设  = x + x  + + xn n ... 1 1 2 2 n n  = y11 + y2 2 + ... + y  于是， X AY X EY X Y T T T (, ) = = = n n = x y + x y + ... + x y 1 1 2 2 定理 2 设 1 , 2 , …, n是n 维欧氏空间V 的一 个标准正交基，若 ( , ,..., ) ( , ,..., )A, 1  2  n = 1  2  n 则向量组 1 , 2 , …, n 是V 的一个标准正交基 的充要条件是A为一个正交矩阵，即ATA = E