习题解答 第二章行列式 习题2-1 1.判别下列映射哪些是单映射，哪些是满映射，哪些是可逆映射？ ()f:C-一R (②)V为几何空间，？为一固定的单位向量，映射 a:V V @a(@)=7-2(@.)e (3)f:N一N m+1 解(1)非单，非满，不可逆 (②)单，满，可逆 (②)单，非满，不可逆 2.设∫为集合S到集合S的映射，9为集合S到集合S”的映射，证明 (1)如果gf为单映射.则f为单映射： (②)如果为g时满映射，则g为满映射 证明(1)对任意的s1,2∈S,如f(s1)=f(52),则gf(s1)=9f(s2).因gf是单映射，故1=2，从 而f是单映射 (2)对任意的s”∈S”,因gf是满映射，故存在s∈S,使gf(s)=s”,从而s=f(s)∈S,使 9s=”,故9是满映射 3.设f为集合S到集合S的可逆映射，g为集合S到集合S"的可逆映射，则gf为集合S到集合 S"的可逆映射且(g)1=∫1g1 证明因为f与g都可逆，所以f1g1是集合S”到S的一个映射，且 (f1g1)(gf)-f-1(g1g)f-f-11sf-f1f=1s, (gf)(f-1g-1)=g(ff-1)g-1=g1sg-1=99-1=1s" 习题2-2 1.设： p=(3号8891）9=(（2893) 求9，pqp,并把 分表示皮对换的乘 1234567 解四=(（56312：4P'9p=（7号11326)p=(a3340472650, 9=-(12)(25)(56)(64)(47)(73).(后面两个表示式不唯一. 2计算下列置换的，逆序数并确定其奇偶性 四(346612 1
2–1 1. | F]GHF], GH-F], GH> F]? (1) f : C −→ R a 7−→ |a| (2) V "'pq, −→e "HI / , F] σ : V −→ V −→a 7−→ σ( −→a ) = −→a − 2(−→a · −→e ) −→e (3) f : N −→ N n 7−→ n + 1 : (1) n, n-, U> . (2) , -, > . (2) , n-, U> . 2. f " T S T S 0 F], g " T S 0 T S 00 F], ST: (1) gf "F], J f "F]; (2) " gf -F], J g "-F]. : (1) s1, s2 ∈ S, f(s1) = f(s2), J gf(s1) = gf(s2). ! gf F], ! s1 = s2, C % f F]. (2) s 00 ∈ S 00 , ! gf -F], !1k s ∈ S, ' gf(s) = s 00 , C% s 0 = f(s) ∈ S 0 , ' g(s 0 ) = s 00 , ! g -F]. 3. f " T S T S 0 > F], g " T S 0 T S 00 > F], J gf " T S T S 00 > F], ? (gf) −1 = f −1 g −1 . : !" f B g m> , #$ f −1 g −1 T S 00 S HfF], ? (f −1 g −1 )(gf) = f −1 (g −1 g)f = f −1 1S0f = f −1 f = 1S, (gf)(f −1 g −1 ) = g(ff −1 )g −1 = g1S0g −1 = gg−1 = 1S00 . 2–2 1. : p = µ 1 2 3 4 5 6 7 3 5 4 7 6 2 1 ¶ , q = µ 1 2 3 4 5 6 7 2 5 1 7 6 4 3 ¶ . s pq, p −1 qp, WN p, q *J. : pq = µ 1 2 3 4 5 6 7 5 6 3 1 2 7 4 ¶ , p−1 qp = µ 1 2 3 4 5 6 7 7 5 4 1 3 2 6 ¶ , p = (13)(34)(47)(25)(56), q = (12)(25)(56)(64)(47)(73). (7f )U,H). 2. xg YJ ?, Wd < &: (1) µ 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 1 2 ¶ ; · 1 ·
(681&8g) o(G88215） 135.2m-11 解（①）逆序数是8集 (②)逆序数是20，集 (3)逆序数是11.奇 (④逆序数是n,奇集性同n的奇集性. 3.计算下列排列的逆序数，并确定其奇集性 (1)5317246: (2384576192 (3)246813579 (4987654321. 解(1①)逆序数是9，奇. (2)逆序数是18，集 (3)逆序数是10.奇. (4④逆序数是36，集 4.确定i及k,使 (1)237864k5成集排列 (2)469k12752成奇排列 解：(1)i=1.k=9. (2)i=8,k=3. 5.计算下列排列的逆序数 (1)135…(2m-1)(2m)(2n-2…642 (2)(2m+1)(2n)(2n-1)…321. 解()n(n-1). (②)n(2n+1). 6.已知置换p的逆序数为a,求p1的逆序数 解a. 7.已知排列12…n的逆序数为a,求工n工n-1…2r1的逆序数 解因为的造序数十n西的限序数=，而n1…的逆序 数=n的顺序数所以-11的逆序数=二二a ·8。正明对任何不超过二的正整数，必存在逆序数为k的n阶列 证明对k用数学归纳法。 首先，当k=1时，213…n的逆序数为1 假定结论对k-1成立(k≤)，即存在n阶排列 i1i2·… 1) 其逆序数为k-1,则必存在j<k,使与<（否则此排列的逆序数为二.从而在方k之间必有 两个相邻的编号j≤r<r+1≤k,使r<ir+1.作排列 i…ir-1ir+1irir+2…in 2
(2) µ 1 4 5 6 3 2 8 7 6 8 5 4 7 2 1 3 ¶ ; (3) µ 2 5 4 3 9 8 6 7 1 6 3 1 2 7 9 8 5 4 ¶ ; (4) µ 1 3 5 · · · 2n − 1 2 4 6 · · · 2n 2 4 6 · · · 2n 1 3 5 · · · 2n − 1 ¶ . : (1) ? 8, . (2) ? 20, . (3) ? 11, . (4) ? n, &C n &. 3. xg K ?, Wd < &: (1) 5317246; (2) 384576192; (3) 246813579; (4) 987654321. : (1) ? 9, . (2) ? 18, . (3) ? 10, . (4) ? 36, . 4. d i h k, ' (1) 237i864k5 * K ; (2) 469k1i752 *K . : (1) i = 1, k = 9. (2) i = 8, k = 3. 5. xg K ?: (1) 135 · · ·(2n − 1)(2n)(2n − 2)· · · 642; (2) (2n + 1)(2n)(2n − 1)· · · 321. : (1) n(n − 1). (2) n(2n + 1). 6. YJ p ?" a, s p −1 ?. : a. 7. K x1x2 · · · xn ?" a, s xnxn−1 · · · x2x1 ?. : !" x1x2 · · · xn ? +xnxn−1 · · · x2x1 L? = n(n − 1) 2 , % xnxn−1 · · · x2x1 ? = x1x2 · · · xn L?, #$ xnxn−1 · · · x2x1 ? = n(n − 1) 2 − a. ∗8. ST: UMN n(n − 1) 2 r+ k, @1k ?" k n yK . : k OPD. Q , b k = 1 R, 213 · · · n ?" 1; 1 "# k − 1 *+ µ k 6 n(n − 1) 2 ¶ , 1k n yK i1i2 · · ·in (1) < ?" k − 1, J@1k j < k, ' ij < ik ()JOK ?" n(n − 1) 2 ), C%k j, k 9q@G 7fe(RY j 6 r < r + 1 6 k, ' ir < ir+1. /K i1 · · ·ir−1ir+1irir+2 · · ·in, · 2 ·
换此排列的逆序数=排列()的逆序数+1=k 由归纳法原理知结论成整。 *9.在论哪n阶骨则中，分别哪多映个逆序数结1,2,3的置则 解：由排列与置则的关系，我们只证归排列确定相唯的明即可 当k-1时，因任意逆序数结1的排列都可以由排列123…n交则两个相邻的数而得何，故逆序数 结1的排列个数等其乃()=n-1. 由其任些n阶排列都可以由n-1阶排列明加数n而得何.故当k-2时，逆序数结2的排列可由 定述方否得何： (a)12…n-2n-1-12…n-3nn-2n-1: b)i1i2…in-1(逆序数1)-一i1i2…in-2nin-1 (c)i1i2…in-1(G逆序数2)-一i1i2…in-1n. 论以逆序数结2的排列个数结 P(m)=1+(n-1)+P(n-1) 由此可得 P(n-1)=1+P(n-2)+P(n-2) P(3)=1+P(2)+P(2) 论以B(=(m-2)+(m-1)+…+2=-2n+1】 当n=3时，类似其阶乘的不论，可得 P(m)-1+B(n-1)+B(m-1)+P(n-1), 论以 B(m）-乃(n-1)=-2n+1) 由此可得B(m=nn2-7 6 习对2-3 1.确定定列集列否的项学乘论带的并量： (1)a31a12a23a44: (2)a31a23a14a42a65a56 解()+ (2)+ 2.定列各项奇否结五阶集列否的项（包括并）？ (1）-21a34a15a23a52 (2)+a32a15a24a53a41 解()不奇 (2)奇. 3.写出四阶集列否中论哪带负置序包已因子a23的项 解：-110g202ga4,-01a42023414 -411202334 4.在n阶集列否中，两存归角线阶各知素的乘积分别唯取什么并置？ 解+，(-1)→ 3
JOK ? = K (1) ? +1 = k. NPDK "#*+. ∗9. k#G n yYJ, G Ff ?" 1, 2, 3 YJ? : NK BYJ*j, {SK d e,>. b k = 1 R, ! ?" 1 K m>$NK 123 · · · n J7fe(%P, ! ? " 1 K fV$N n − 1 yK T n %P. !b k = 2 R, ?" 2 K >N S@)P: (a) 12 · · · n − 2 n − 1 −→ 12 · · · n − 3 n n − 2 n − 1; (b) i1i2 · · ·in−1 ( ? 1) −→ i1i2 · · ·in−2 n in−1; (c) i1i2 · · ·in−1 ( ? 2) −→ i1i2 · · ·in−1 n. #$ ?" 2 K f" P2(n) = 1 + P1(n − 1) + P2(n − 1). NO>P P2(n − 1) = 1 + P1(n − 2) + P2(n − 2), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P2(3) = 1 + P1(2) + P2(2), #$ P2(n) = (n − 2) + (n − 1) + · · · + 2 = (n − 2)(n + 1) 2 . b n = 3 R, klP P3(n) = 1 + P1(n − 1) + P2(n − 1) + P3(n − 1), #$ P3(n) − P3(n − 1) = (n − 2)(n + 1) 2 , NO>P P3(n) = n(n 2 − 7) 6 . 2–3 1. d ):O#VWY: (1) a31a12a23a44; (2) a31a23a14a42a65a56. : (1) +. (2) +. 2. (:)"iy ): (67WY)? (1) −a21a34a15a23a52; (2) +a32a15a24a53a41. : (1) U. (2) . 3. ~%ly )#GV9Y?6 ! a23 :. : −a11a32a23a44, −a31a42a23a14, −a41a12a23a34. 4. k n y ), 715ty( X,z/0WY? : +, (−1) n(n−1) 2 . · 3 ·
5.证明：∑5gm(12…in)=0(m≥2). 证明因为在全积n(n≥2)阶排列中，奇集排列邻置一半，所以在{sgn(12in)川i1,2,in}中， 正负号邻置一半.因此〉刀 sgn(ii2…in)=0. 6.按定义计算下列行列式： 1a00b1 10100 0022 ②3003 900h 4004 1ax000 100…011 0ax00 00.20 (300ax0 (4④ 000a z000a 0 n-1. In 0 … 1010.··00 1aa··a 002…00 02a…a (6003.a 000…0n-1 0 (1)acfh+bdeg-adeh-befg. l000… (2)0. ③)a+x° (4(-1)n (5)(-1)n-1n (6n 习归2-4 1.用初带行变换将下列矩阵变为上三角形矩阵 /3 1201 /04101 410-302 (2) 2-1-211 _3 3 -1 6 3 -1 -5 7 2 -7 48187\ 04101 解：(1) 0000 40000 /32-1 2 0 1 0-14 -11-1 5 (200-16 38 5 -23 0 0 0 0 2.用初带列变换将下列矩阵变为下三角形矩阵 …4…
5. ST: X i1i2···in sgn(i1i2 · · ·in) = 0 (n > 2). : !"k3n (n > 2) yK , K (YHZ, #$k{sgn(i1i2 · · ·in) | i1, i2, · · ·in}, r9Y(YHZ. !O X i1i2···in sgn(i1i2 · · ·in) = 0. 6. [ Mxg ): (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 0 b 0 c d 0 0 e f 0 g 0 0 h ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 0 0 0 0 2 2 3 0 0 3 4 0 0 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a x 0 0 0 0 a x 0 0 0 0 a x 0 0 0 0 a x x 0 0 0 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 · · · 0 1 0 0 · · · 2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 n − 1 · · · 0 0 n 0 · · · 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 0 · · · 0 0 0 0 2 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 n − 1 n 0 0 · · · 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (6) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a a · · · a 0 2 a · · · a 0 0 3 · · · a . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . : (1) acfh + bdeg − adeh − bcfg. (2) 0. (3) a 5 + x 5 . (4) (−1) n(n−1) 2 n!. (5) (−1)n−1n!. (6) n!. 2–4 1. \V =Jv ]^="y456]^: (1) 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 ; (2) 3 2 −1 2 0 1 4 1 0 −3 0 2 2 −1 −2 1 1 −3 3 1 3 −9 −1 6 3 −1 −5 7 2 −7 ; : (1) 4 8 18 7 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . (2) 3 2 −1 2 0 1 0 −1 4 −11 −1 5 0 0 −16 38 5 −23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2. \V =Jv ]^=" 456]^: · 4 ·
2 -30 2 10 11 403 -1 -15 1 -8-5 12 1 3 -789 13 /2 0 0 1 8 理() -35 -540 0 0 3 0 (2)-1 1 4 0 1 6 0 00 3-4-1400/ 意归2-5 1.计算定列行列否 ab ac ae 3111 (1)id -od (2) 1311 b时cf-ef 1131 1113 1111 1234 1248 2341 13927 3412 141664 1-a 11 1 1 1 (5) (6) 1 1+b a2a2 a a3 a3 11 11-b a3 a3 as a a4 as aa as aa a 理：(l)4 abedef. (2)48 (3)12 (4160 (⑤)a2 (6)(a-a)(a-a2(a-as)(a-a4) 2.术明定列等否： sin2 a cos2 a cos(2a)I (1)sin2 3 cos2 3 cos(28)=0: Isin27 cos27 cos(27) b+cc+aa+b l 6+””+a" 5
(1) 2 1 −30 5 1 0 4 − 1 − 3 −2 10 −11 −1 1 −15 8 ; (2) 1 −1 2 3 4 2 1 −1 2 0 −1 2 1 1 3 1 5 − 8 − 5 −12 3 −7 8 9 13 . : (1) 2 0 0 0 1 19 0 0 −3 −35 −54 0 −1 −30 27 0 . (2) 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 −1 1 14 0 0 1 6 0 0 0 3 −4 −14 0 0 . 2–5 1. xg ) : (1) ¯¯¯¯¯¯ ab ac ae bd −cd ed bf cf −ef ¯¯¯¯¯¯ ; (2) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯; (3) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 1 1 1 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (4) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯; (5) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 + a 1 1 1 1 1 − a 1 1 1 1 1 + b 1 1 1 1 1 − b ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (6) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 1 1 1 1 a1 a a2 a2 a2 a2 a2 a a3 a3 a3 a3 a3 a a4 a4 a4 a4 a4 a ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯. : (1) 4abcdef . (2) 48. (3) 12. (4) 160. (5) a 2 b 2 . (6) ( a − a 1)( a − a 2)( a − a 3)( a − a 4). 2. ST V) : (1) ¯¯¯¯¯¯ sin 2 α cos 2 α cos(2 α ) sin 2 β cos 2 β cos(2 β ) sin 2 γ cos 2 γ cos(2 γ ) ¯¯¯¯¯¯ = 0; (2) ¯¯¯¯¯¯ b + c c + a a + b b 0 + c 0 c 0 + a 0 a 0 + b 0 b 00 + c 00 c 00 + a 00 a 00 + b 00 ¯¯¯¯¯¯ = 2 ¯¯¯¯¯¯ a b c a0 b0 c0 a 00 b 00 c 00 ¯¯¯¯¯¯; · 5 ·
(a+1)2 (a+2)2 (a+3)2 26+1 6+2 (b+3) (3) c2(c+1)2 （c+2)2 (c+3)2 -0. P(d+1)2 (d+2)2(d+3) sin2 a-cos2 a cos2 a cos(2a) 1-cos(2a)cos2 a cos(2a) 证明：(1)定边 sin2 3-cos2 B cos2 B cos(28) =-c0s(23)cos2gcos(23=0. sin2 -cos2 cos(2) -c0s(2y）c0s2ycos(2) a+b+c c+a a+b+c -b -C (2)定边=2a'+N+ 人4 +以 =20+H+人 h! -=列边 +n+n+nan+n aw+b+ 3 2a+14a+46a+91 |a22a+126 225+14b+46b+9 (3)定边 2e+1+4e+922e+1?6 2 =0. 2 2d+1 4d+46d+9 习归2-6 1.计算行列式 a 12 3 D- -10 c023 d1-1-2 的第一列邻知素的首数以任式 解：A1=-1,A21=1,Ag1=2,A1=2. 2.求行列式 014 的全部知素的首数以任式 解：A1-7,A12=-12,A13=3,A21-6,A22-4,A23--1,A31=-5,A32-5,Agg-5. 3.计算下列邻行列式 12 : a b c 0 1 112 b a c d (②-13-51 b a d c 3-312 21035 1111 r y z t (4) 2221 2212 x3110 2122 a 0 o () h 解0 (2)-53. (3)-x3-x2-x+2
(3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 c 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. : (1) 8 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sin2 α − cos2 α cos2 α cos(2α) sin2 β − cos2 β cos2 β cos(2β) sin2 γ − cos2 γ cos2 γ cos(2γ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − cos(2α) cos2 α cos(2α) − cos(2β) cos2 β cos(2β) − cos(2γ) cos2 γ cos(2γ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. (2) 8 = 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a + b + c c + a a + b a 0 + b 0 + c 0 c 0 + a 0 a 0 + b 0 a 00 + b 00 + c 00 c 00 + a 00 a 00 + b 00 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a + b + c −b −c a 0 + b 0 + c 0 −b 0 −c 0 a 00 + b 00 + c 00 −b 00 −c 00 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 8. (3) 8 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 2a + 1 4a + 4 6a + 9 b 2 2b + 1 4b + 4 6b + 9 c 2 2c + 1 4c + 4 6c + 9 d 2 2d + 1 4d + 4 6d + 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 2a + 1 2 6 b 2 2b + 1 2 6 c 2 2c + 1 2 6 d 2 2d + 1 2 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. 2–6 1. xg ) D = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 2 3 b −1 0 1 c 0 2 3 d 1 −1 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =H ( XQ$). : A11 = −1, A21 = 1, A31 = 2, A41 = 2. 2. s ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 2 3 2 1 0 1 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3| XQ$). : A11 = 7, A12 = −12, A13 = 3, A21 = 6, A22 = 4, A23 = −1, A31 = −5, A32 = 5, A33 = 5. 3. xg ( ): (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b c d a b d c b a c d b a d c ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 2 −1 −4 2 0 1 2 1 −1 3 −5 1 2 3 −3 1 2 1 2 1 0 3 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 x 0 1 1 x 2 1 0 1 x 3 1 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z t 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 0 b 0 c d 0 0 e f 0 g 0 0 h ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . : (1) 0. (2) −53. (3) −x 3 − x 2 − x + 2. · 6 ·
(4-5r+2y+2z+2. (⑤)(ah-bg)(cf-ed. 习归2-7 1.用克拉默法则解下列线性方程组： x1+2x2+3xg+4x4=0, 3z1+2r2+x4=5 9 x1+2+2x+34=0， 2z1+3x2+x3=1, E1+5x2+r3+2x4=0. (21+x2+3x3-11: +2r2+33-2r4=6, 1+52+5 2红1 2一 +2=G r4=- -14 2x1+x2+2x3-3缸4=8， x1-3x2-6r3 =-11 3) 31+2x2-3+2z4=4, -22++2x4=9 2x1+3r2+23+x4= x1+42+7x3+64=20 解(1)14=12,1B1=24,1B2=-24,B3=36,x1=2,x2=-2,3=3 (2)4川--20，lB1l-lB2l-lB3l-lBl-0,x1-x2-x3-x4-0. (3)1A=12,1B1=12,B2=24,|B✉=-12,1B4=-24,T1=1,x2=2,x3=-1,x4=-2. (4)14川=-9,1B1=-9,B2=18,1B3l=-27,lB4=-9,x1=1,x2=-2,x3=3,x4=1. 2.求一个当次多项式fe),使f)-1,f(-1)-9,f2)-3. 解：fe)=2x2-4红+3. 3.证明齐次线性方程组 (1+2+…+n=0, 2x1+2x2+·+2"xn=0. （nx1+n2x2+…+n"xm=0 仅有零解 证明：因为 11…1 4= 22…2m =1l2…nl≠0 n n2 变据阵论72，排方程只有零解 习归2-8 1.将下列行列式按拉普拉确定理相个，以求下列行列式的即 1560.0.0 15600 a 0 b 0 (1)01560 0 c o d 00156 y o z o 00015 7
(4) −5x + 2y + 2z + 2t. (5) (ah − bg)(cf − ed). 2–7 1. _`aDJ- t&@AB: (1) 3x1 + 2x2 + x3 = 5, 2x1 + 3x2 + x3 = 1, 2x1 + x2 + 3x3 = 11; (2) x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0, x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0, x1 + 5x2 + x3 + 2x4 = 0, x1 + 5x2 + 5x3 + 2x4 = 0; (3) x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6, 2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 8, 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4, 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 4; (4) 2x1 + x2 − 5x3 + x4 = −14, x1 − 3x2 − 6x3 = −11, − 2x2 + x3 + 2x4 = 9, x1 + 4x2 + 7x3 + 6x4 = 20. : (1) |A| = 12, |B1| = 24, |B2| = −24, |B3| = 36, x1 = 2, x2 = −2, x3 = 3. (2) |A| = −20, |B1| = |B2| = |B3| = |B4| = 0, x1 = x2 = x3 = x4 = 0. (3) |A| = 12, |B1| = 12, |B2| = 24, |B3| = −12, |B4| = −24, x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = −2. (4) |A| = −9, |B1| = −9, |B2| = 18, |B3| = −27, |B4| = −9, x1 = 1, x2 = −2, x3 = 3, x4 = 1. 2. sHfbH :) f(x), ' f(1) = 1, f(−1) = 9, f(2) = 3. : f(x) = 2x 2 − 4x + 3. 3. STHt&@AB x1 + x2 + · · · + xn = 0, 2x1 + 22x2 + · · · + 2nxn = 0, · · · · · · · · · · · · nx1 + n 2x2 + · · · + n nxn = 0 cGo-. : !" |A| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 · · · 1 2 22 · · · 2 n . . . . . . . . . . . . n n2 · · · n n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1!2! · · · n! 6= 0, =>^# 7.2, K@A{Go-. 2–8 1. v )[`c`d ef, $s ): (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 b 0 0 c 0 d y 0 x 0 0 w 0 z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; · 7 ·
11000 2 34000 (3 3 1016000 10111 41123 -3161149 00 00b 0 a0… 6 a b h a 00b…a00 0b0 0a0 b00 00a2 理：(1)按变1,2括行展开 1560 1160 1060 156 (2)(ar bu)(cz dw). (3)按变1,2,3行展开 111111 排否=234 123 =-2 31016149 (④哪些按中间括行展开 排香=（2-）D-)==(a2- 2.计算定列行列否们值 1 0 0 -11-a1 2 0 0 -1 1 (1) 0 0 1-an-1 0 -1 1-am -100… 00 n-1 -10…00 (2) n-20 x-1…00 0 0 0.x -1 0 0, a aa 3 -d -d -0 I
(3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 0 0 0 2 3 4 0 0 0 3 10 16 0 0 0 −1 1 0 1 1 1 −2 4 1 1 2 3 −3 16 1 1 4 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 b 0 a 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 b 0 0 0 a . . . . . . . . . . . . . . b 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b b a . . . . . . 0 0 b . . . . . . . . . . . . . . a 0 0 0 b 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 a 0 b 0 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2n . : (1) [= 1, 2 7 ef: K) = ¯ ¯ ¯ ¯ 5 6 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 6 0 1 5 6 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (−1)7 ¯ ¯ ¯ ¯ 5 0 1 6 ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 6 0 0 5 6 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (−1)8 ¯ ¯ ¯ ¯ 6 0 5 6 ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 6 0 0 5 6 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 665. (2) (ax − by)(cz − dw). (3) [= 1, 2, 3 ef: K) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 2 3 4 3 10 16 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 2 3 1 4 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −2. (4) GH[q7 ef: K) = (a 2 − b 2 )D2(n−1) = · · · = (a 2 − b 2 ) n . 2. xg ): (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a1 0 · · · 0 0 −1 1 − a1 a2 · · · 0 0 0 −1 1 − a2 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 − an−1 an 0 0 0 · · · −1 1 − an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n −1 0 0 · · · 0 0 n − 1 x −1 0 · · · 0 0 n − 2 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0 0 · · · x −1 1 0 0 0 · · · 0 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x a a · · · a a −a x a · · · a a −a −a x · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −a −a −a · · · −a x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; · 8 ·
z工刃·y 之之工…yw a+bb 0 0 0 aa+bb… 0 0 0 a a+b… 0 0 ,(a≠b: 0 0+6 2 023 a a+b 4 H 345. n-1n1.n-3n-2 n-2n-1 解(1)各集加到第1集，得D=(-1)n+2.(-1)”=1. (②)算第1集线，各集乘以x加到定些集 D=(-1+1(1+2 edots+n"-1)(-1)m-1=1+2x+…+nx"- laaa·aal x-aaa.aa -a Ta. aa 0z a...aa (3)Dn=-a aa 0 -az…aa -a 0 -d-a. a a 论000 Dn=a(+a)"-1+(-a)Dn-1, Dn =DT=a(x-a)"-1+(+a)Dn-1 消去Dn-1,得 D=e+a°+-ar (④在似其阶默，可得 Dn=2e-）-1+(-z)D-1 e Dn DI=v(-)"1+()D-1. 当y≠z时，由阶两否消去Dn-1,得 D.=)"-:) …9
(4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y y · · · y y z x y · · · y y z z x · · · y y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z z z · · · x y z z z · · · z x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a + b b 0 · · · 0 0 a a + b b · · · 0 0 0 a a + b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , (a 6= b); (6) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 3 · · · n − 1 n 2 3 4 · · · n 1 3 4 5 · · · 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n − 1 n 1 · · · n − 3 n − 2 n 1 2 · · · n − 2 n − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . : (1) ( = 1 , P D = (−1)n+2 · (−1)n = 1. (2) g= 1 t, ( $ x H : D = (−1)n+1(1 + 2xcdots + nxn−1 ) · (−1)n−1 = 1 + 2x + · · · + nxn−1 . (3) Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a a a · · · a a −a x a · · · a a −a −a x · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −a −a −a · · · −a x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x − a a a · · · a a 0 x a · · · a a 0 −a x · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 −a −a · · · −a x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a a a · · · a a 0 x a · · · a a 0 0 x · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (x − a)Dn−1, #$ Dn = a(x + a) n−1 + (x − a)Dn−1, Q, Dn = DT n = a(x − a) n−1 + (x + a)Dn−1, Dn−1, P Dn = 1 2 [(x + a) n + (x − a) n ]. (4) klP Dn = z(x − y) n−1 + (x − z)Dn−1. Q Dn = DT n = y(x − z) n−1 + (x − y)Dn−1. b y 6= z R, Ny7) Dn−1, P Dn = y(x − z) n − z(x − y) n y − z . · 9 ·
当y=z时，由及阵公式Dn=(x-m-1+(红-)Dn-,纳Dn=(c+(n-1))(x-m-1. ()令△=1，△1=a+b=2二2，，△n=a1二+，则 (a+b)△k-abAk-1=△k+. 1△1b△00· 001 △1 0.·0 0 aa+bb...0 0 aa+b-b…0 0 D,= 0 0 0 0 8 0 +6 00…aa+bm 10 0·aa+b, 1(a+b)△1-ab△0b△10·001 a a+6b...00 0 0 0...a+bb 0 00… aa+bln-1 1△2b△10…00 aa+bb…0 0 0 00 =…=4n=an+1-6+1 a+6 a-b 0…aa+bn-l (6) n-1 1123…n-1n n 1 134…n 1 Dn= 34… n(m+1) 2 n1…n-3n-2 12…n-2n- 112…n-2n- 23.·n-1 n(n+1)0 11,.,11-n 2 01-n1.1 1 1 1 1-n -nn+1) 1 2 1-n1…11n 111.. 1 1- (-1)n+卫11… 1-n 1 2 11, 1 1 10
b y = z R, Nh^f) Dn = y(x − y) n−1 + (x − y)Dn−1, P Dn = (x + (n − 1)y)(x − y) n−1 . (5) I ∆0 = 1, ∆1 = a + b = a 2 − b 2 a − b , . . . , ∆n = a n+1 − b n+1 a − b , J (a + b)∆k − ab∆k−1 = ∆k+1. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∆1 b∆0 0 · · · 0 0 a a + b b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∆1 b 0 · · · 0 0 a a + b − ab∆0 ∆1 b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (a + b)∆1 − ab∆0 b∆1 0 · · · 0 0 a a + b b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∆2 b∆1 0 · · · 0 0 a a + b b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 = · · · = ∆n = a n+1 − b n+1 a − b . (6) Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n(n + 1) 2 2 3 · · · n − 1 n n(n + 1) 2 3 4 · · · n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n(n + 1) 2 n 1 · · · n − 3 n − 2 n(n + 1) 2 1 2 · · · n − 2 n − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = n(n + 1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 3 · · · n − 1 n 1 3 4 · · · n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 n 1 · · · n − 3 n − 2 1 1 2 · · · n − 2 n − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = n(n + 1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 3 · · · n − 1 n 0 1 1 · · · 1 1 − n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 − n 1 · · · 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = n(n + 1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 · · · 1 1 − n 1 1 · · · 1 − n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 − n 1 · · · 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 = (−1) n(n + 1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 · · · 1 1 − n 1 1 · · · 1 − n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 = (−1) n(n−1) 2 n n−1 (n + 1) 2 . · 10 ·