长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）高等代数选讲——第六章 线性空间

第六章，线性空间 一，基本知识点 6.1映射设M与'是两个非空集合，如果对M中每个元素a,按照某一法则g都有M'中一个确定的 元素a与之对应，则称a为集合M到r的一个映射.如果M中的元素a通过映射a与M中的元素d对应，就 记为a(a)=d,此时称a'为a在映射a下的像，称a为d在映射a下的原像 映射a(M)CM',若a(M M',映射o就称为满射或映上的.若a1≠a2一a1)≠a2小.则称o为单 射或1一1的.若σ既是单射又是满射，则称。为双射或1-1对应. 6.2线性空间设V是一个非空集合，P是一个数域在集合V的元素之间定义了称为加法的运算，在数 域P与V的元素之间定义了称为数乘的运算.如果对于任意a,B∈V都有a+B∈V,又对任意k∈P和a∈ V,都有aeV,且加法与数乘运算满足如下八条规则（对任意a,B,y∈V和k,1∈P: 110+B=B40 2)0+3别+= a+(3+) 存在零元素0EV,使 +0=a (4)存在a的负元素B∈V,使a+B=0: (5)1a=a: (6)k(la)=(kl0a: 7k+八0=k0+la 6.3维数和基设V是数域P上的线性空间.如果V中有n个元素a 更多日的钱性无关的元素测除是，线空的数记为 …,an线性无关，但v中没有 称1,2，…，an是V的一组基 设a∈V,则称a1,2…,an,a线性相关，于是a可由a1,02,…,an唯一线性表出a=a1a+a22+…+ anan称系数a1,a2,…,an为a在基a1,a2,…,an下的坐标，记为(a1,2,…,any如果在V中可以找到任 意多个线性无关的元素则称V为无限维线性空间. 64一些常见的线性空间基与维数 1）pn={(a1,a anla,∈Pt=1,2.…,n}是n维的线性空间，且e1=(1,0.…,0),2= 9% 0,1, =(0,0…,1)是pm的一组基 P(i=1,…,mj=1,…,n}是mn维的线性空间，且E,i= 1,…,mj-1,…,n)是Pmxn的一组基； 3)Pn={ao+a1x+…+a-1xn-la,∈P(i=0,1,…,n-1)}是n维的线性空间，且1，，…，xn-1 是Prn的一组基； )数域P上一元多项式的全体P是无限维线性空间，因为对任意自然数N,P中的元素1，工，·，xN都 是线性无关的. 6,5坐标.过渡拒连。基变换与坐标变换 ()在数域P上n维线性空间V中，m个线性无关的向量1，e2…,en称为V的一组基，若va∈V,则有a= a1十a2c2十…+ann,数组(a1,02, ,an)称为a在基c1,2,…,n下的坐标 (②)设a1…,0n与1，…，8n是线性空间V的两组基，则 第1页

18Ÿ, Ç5òm ò, ƒ£: 6.1 N MÜM0¥¸áöò8‹,XJÈM•záÉa, UÏ,ò{Kσ —kM0•òá(½ Éa 0ÜÉÈA, K°σè8‹MM0òáN. XJM •ÉaœLNσÜM0•Éa 0ÈA,“ Pèσ(a) = a 0 , dû°a 0èa3Nσeî, °aèa 03Nσeî. Nσ(M) ⊂ M0 ,eσ(M) = M0 ,Nσ“°è˜½N˛. ea1 6= a2 =⇒ σ(a1) 6= σ(a2), K°σè¸ ½1 − 1. eσQ¥¸q¥˜,K°σèV½1 − 1ÈA. 6.2 Ç5òm V ¥òáöò8‹,P¥òáÍç.38‹V ÉÉm½¬ °è\{$é,3Í çPÜV ÉÉm½¬ °èͶ$é. XJÈu?øα, β ∈ V —kα + β ∈ V ,qÈ?øk ∈ P⁄α ∈ V ,—kα ∈ V ,Ö\{ÜͶ$é˜vXel^5K£È?øα, β, γ ∈ V ⁄k, l ∈ P): (1)α + β = β + α; (2)(α + β) + γ = α + (β + γ); (3)3"É0 ∈ V ,¶α + 0 = α; (4)3αKÉβ ∈ V,¶α + β = 0; (5)1α = α; (6)k(lα) = (kl)α; (7)(k + l)α = kα + lα; (8)k(α + β) = kα + kβ; K°V èÍçP˛Ç5òm.Ç5òmÉè°èï˛. 6.3 ëÍ⁄ƒ V ¥ÍçP˛Ç5òm. XJV •knáÉα1, α2, · · · , αnÇ5Ã',V •vk çıÍ8Ç5Ã'É,K°V ¥nëÇ5òm,V ëÍPèdimV , q°α1, α2, · · · , αn¥V ò|ƒ. α ∈ V ,K°α1, α2, · · · , αn, αÇ5É',u¥αådα1, α2, · · · , αn çòÇ5L—α = a1α1 + a2α2 + · · · + anαn °XÍα1, α2, · · · , αn èα 3ƒα1, α2, · · · , αneãI,Pè(α1, α2, · · · , αn) 0 .XJ3V •å±È? øıáÇ5Ã'É,K°V èÃÅëÇ5òm. 6.4 ò ~ÑÇ5òmƒÜëÍ 1) P n = {(α1, α2, · · · , αn)|ai ∈ P(i = 1, 2, · · · , n)}¥nëÇ5òm, Öε1 = (1, 0, · · · , 0), ε2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , εn = (0, 0, · · · , 1) ¥P nò|ƒ; 2) P m×n = {A = (aij )m×n|aij ∈ P(i = 1, · · · , m; j = 1, · · · , n)}¥mnëÇ5òm,ÖEij , i = 1, · · · , m; j = 1, · · · , n) ¥P m×n ò|ƒ; 3) P[x]n = {a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 |ai ∈ P(i = 0, 1, · · · , n − 1)} ¥n ëÇ5òm,Ö1, x, · · · , xn−1 ¥P[x]nò|ƒ; 4) ÍçP˛òıë™NP[x]¥ÃÅëÇ5òm,œèÈ?øg,ÍN,P[x]•É1, x, · · · , xN— ¥Ç5Ã'. 6.5 ãI, Lfi› , ƒCÜÜãICÜ (1) 3ÍçP˛nëÇ5òmV •,náÇ5Ã'ï˛ε1, ε2, · · · , εn°èV ò|ƒ,e∀α ∈ V , Kkα = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, Í|(a1, a2, · · · , an)°èα3ƒε1, ε2, · · · , εneãI. (2) α1, · · · , αn Üβ1, · · · , βn ¥Ç5òmV ¸|ƒ, K 1 1 ê

a1a1+a21a2+…+ana a11a12·a1n 2=a1201+02202+··+an20, 其中A 021022 02 ∈PnXn称为由基a1,…,a 8+...+a a1a2.。am 到基8， ,n的过渡矩阵.于是(3…，月)=(a1,… …,anA ()()过渡矩阵为可逆矩阵 ()设a1,…,an是数域P维上n线性空间V的基，，…，n是V的一组向量，AE pnxn,且（，…，n)= (a1,…,a)A,则，…，3n是V的基当且仅当A为可逆矩阵. ()若A为基a1,·,an到基B1,·,8的过波矩阵，B为基1，·，8n到基1，·，m的过渡矩阵，C为 基B,...B到基0 ,an的过渡矩阵，则AB基Q1 n到 ,n的过渡矩阵，AC=CA=E. (4)设向量在基。 0与8 ,B下的坐标分别为X (1, ..mnY.Y (,,n)A为 基a1…,an到基月1，…，An的过渡矩阵，则X=AY 6.6线性子空间 ()设 V是数域P上的线性空间，W是V的非空子集，若W关于V的加法和数量乘法也做成P上的线性空 间，称W是V的子空间. (2)设W是线性空间V的非空子集，则W是V的子空间当且仅当下列条件同时成立：(1)a,B∈Wa+ BeW:(②)∀k∈PaeW,kaeW. (③)V是数域P上的线性空间，a,…,a,∈V,令W={kak:∈P,则W是V的子空间，并且W是 含a1,…,a,是最小子空间，称为由a1,…,a,生成的子空间，记为W=L(a1,…,a.向量组a,…,a,的 极大线性无关组为W的一组基.而且W的维数等于向量组 a.的秩 (④V的两个子 ,0a ,d)当且仅当两向量组0 0,与，…，等价 (⑤)设w是数域P上n维线性空间V的 个m维子空间，a1,…,m是W的一组基，那么这组向量必定可 以扩充为整个空间的基.即在V中可以找到n-m个向量am+1,…,am,使得a1…,an是V的一组基. 6.7子空间的交与和 (1)如果%与%是线性空间V的两个子空间，那么集合%n巧={aa∈，a∈}与y+= {a1+a2a1∈M,a2∈2}是V的子空间，称yn为听与的交，听+与的和. (2)设K,,W都是子空间，则WC,Wc2→Wcn2,WM,W→W)+ 倒)对于子空间与，则。 K-V ==店+ (维数公式)如果，是V的两个子空间，那么im()+im()=dim(+)+dim(n (⑤)如果维线性空间V中两个子空间M,的维数之和大于n,那么M,必含有非零的公共向量. 6.8子空间的直和 (1)设W,V是线性空间V的子空间，如果和W+中每个向量a的分解式a=a+a2,a1EV,a2EV2 是唯一的，这个和就称为直和，记为+ (②)设V是数域P上的线性空间，W与W2是y的子空间.则@W1+W2是直和=（间零元素的分解式是 唯一的即若0」 (甜)Wn形=0. 个子空间则必存在的子空间.使-U W,称W为U在V中的直和补 (④设，，…，V,都是线性空间V的子空间，如果和++…+V,中每个向量α的分解式a=a1+ 2+…+a,∈Vi=1,2,…,),是唯一的，这个和就称为直和记为%+十…+V. (⑤)，，·，V,是V的一些子空间，则)W=∑是直和=()零向量的表法是唯一的=()n 层=o=12,=Gv)dim(W)=En 第2页

   β1 = a11α1 + a21α2 + · · · + an1αn β2 = a12α1 + a22α2 + · · · + an2αn · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · βn = a1nα1 + a2nα2 + · · · + annαn , Ÿ•A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . as1 as2 · · · asn   ∈ P n×n °èdƒα1, · · · , αn ƒβ1, · · · , βnLfi› . u¥(β1, · · · , βn) = (α1, · · · , αn)A. (3) (i) Lfi› èå_› ; (ii) α1, · · · , αn¥ÍçPë˛nÇ5òmV ƒ, β1, · · · , βn¥V ò|ï˛, A ∈ P n×n , Ö(β1, · · · , βn) = (α1, · · · , αn)A , Kβ1, · · · , βn ¥V ƒÖ=Aèå_› . (iii) eAèƒα1, · · · , αnƒβ1, · · · , βnLfi› , Bèƒβ1, · · · , βnƒγ1, · · · , γnLfi› , Cè ƒβ1, · · · , βn ƒα1, · · · , αn Lfi› , KAB ƒα1, · · · , αnγ1, · · · , γnLfi› , AC = CA = E. (4) ï˛ξ3ƒα1, · · · , αnÜβ1, · · · , βneãI©OèX = (x1, · · · , xn) 0 , Y = (y1, · · · , yn), Aè ƒα1, · · · , αnƒβ1, · · · , βnLfi› , KX = AY . 6.6 Ç5fòm (1) V ¥ÍçP˛Ç5òm,W¥V öòf8,eW'uV \{⁄Ͳ¶{èâ§P˛Ç5ò m,°W¥V fòm. (2) W¥Ç5òmV öòf8,KW¥V fòmÖ=e^á”û§·:(1) ∀α, β ∈ W, α + β ∈ W; (2) ∀k ∈ P, ∀α ∈ W, kα ∈ W. (3) V ¥ÍçP˛Ç5òm,α1, · · · , αs ∈ V , -W = { Ps i=1 kiαi |ki ∈ P}, KW¥V fòm,øÖW¥ ¹α1, · · · , αs¥Åfòm,°èdα1, · · · , αs)§fòm,PèW = L(α1, · · · , αs). ï˛|α1, · · · , αs 4åÇ5Ã'|èWò|ƒ. ÖWëÍuï˛|α1, · · · , αsù. (4) V ¸áfòmL(α1, · · · , αs) = L(β1, · · · , βk)Ö=¸ï˛|α1, · · · , αsÜβ1, · · · , βk d. (5) W¥ÍçP˛nëÇ5òmV òámëfòm,α1, · · · , αm ¥Wò|ƒ,@o˘|ï˛7½å ±*øèáòmƒ. =3V •å±Èn − máï˛αm+1, · · · , αn,¶α1, · · · , αn¥V ò|ƒ. 6.7 fòmÜ⁄ (1) XJV1ÜV2¥Ç5òmV ¸áfòm, @o8‹V1 ∩ V2 = {α|α ∈ V1, α ∈ V2} ÜV1 + V2 = {α1 + α2|α1 ∈ V1, α2 ∈ V2} ¥V fòm, °V1 ∩ V2èV1ÜV2, V1 + V2V1ÜV2⁄. (2) V1, V2, W—¥fòm,KW ⊂ V1, W ⊂ V2 =⇒ W ⊂ V1 ∩ V2, W ⊃ V1, W ⊃ V2 =⇒ W ⊃ V1 + V2. (3) ÈufòmV1ÜV2, KV1 ⊂ V2 V1 ∩ V2 = V1 V1 + V2 = V2. (4)(ëÍ˙™)XJV1, V2¥V ¸áfòm,@odim(V1) + dim(V2) = dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2). (5)XJnëÇ5òmV •¸áfòmV1, V2ëÍÉ⁄åun,@oV1, V27¹kö"˙
ï˛. 6.8 fòmÜ⁄ (1) V1, V2¥Ç5òmV fòm,XJ⁄V1 + V2•záï˛α©)™α = α1 + α2, α1 ∈ V1, α2 ∈ V2 ¥çò,˘á⁄“°èÜ⁄,PèV1 u V2. (2) V ¥ÍçP˛Ç5òm,W1ÜW2¥V fòm,K(i) W1 + W2¥Ü⁄ (ii) "É©)™¥ çò,=e0 = α1 + α2, α1 ∈ W1, α2 ∈ W2, Kêkα1 = α2 = 0. (iii) W1 ∩ W2 = {0}. (3) U¥Ç5òmV òáfòm,K73V fòmW,¶V = U u W, °WèU3V •Ü⁄÷. (4) V1, V2, · · · , Vs—¥Ç5òmV fòm,XJ⁄V1 + V2 + · · · + Vs•záï˛α©)™α = α1 + α2 + · · · + αs, αi ∈ Vi(i = 1, 2, · · · , s), ¥çò,˘á⁄“°èÜ⁄.PèV1 u V2 u · · · u Vs. (5) V1, V2, · · · , Vs¥V ò fòm,K(i)W = PVi¥Ü⁄ (ii)"ï˛L{¥çò (iii) Vi ∩ P j6=i Vj = {0}(i = 1, 2, · · · , s); (iv)dim(W) = Pdim(Vi). 1 2 ê

6.7商空间设V是数域P上线性空间，W是V的子空间，a∈V.记a+W=a+B∈W,7= {a+Wa∈V),则T为数域P上线性空间，称为V关于W的商空间. ()若a,BeV,则a+W=月+W=a-3∈W (2②)若dim =m,dim 01 ,n是W 一组基，将其扩充为V的一组基a,…,am,am+1…,an 则am+1+W,…,an+W为7的一组基，于是dimV+dimW=dimV. 二典型例题与解题技巧 %s1两a-(08)m-()m-(:）a-(任） = 10 (①)求由基 3,到基，2，，的过渡矩阵 (②)求8= 4)在装a1,.a.下的坐标 ()求在基a4,2,g,与基，，，下有相同坐标的矩阵 解(1)取P2x2的基E1,E12,E2,E2,则有(a1,02,0g4）=(E1,E2,E21,E22)C,(问，2，，)= 1111 1011 0111 0111 (E11.E12,E21,E2)C2,其中C1 .C2 于是 0011 1110 0001 1101 (1,,,34)=(@ 03 C-IC= (a1,2,a3,a4)C,即由基 1,a2,3,a4到基1,，，的过 100 波矩阵为C=C一1C2 -1 0 0 0 01-1 1 10 (2)设A∈p2x2在基a1,a2,3,4与基尻，2，房，月，下的坐标为r=(国1,2,3，y,则由坐标变换公式 得x=Cz,即(E-C)r=0,可求得该线性方程组的通解为1=0,2=0，=k,x4=0(k∈)，于是在 基1，a2,ag,a4与基31，B2,,B:下有相同坐标的矩阵为A=kag=k /11Y 10k∈. 例62()证明：在Pn中，多项式-(c-am）…(c-a4-)x-4+)…(c-an)i-1,…,n)是 组基a,a2, a。是互不相同的数. (②)在()中，取a1,a2,…,an是全体n次单位根，求由基1， -1到基h,2,…,n的过渡矩阵 证()设k方+k22+…+km=0.令x=1,代入上式并注意2(a)=…=fn(a1)=0.而f(a)十 0,得1=0.同理，将红=a2,…,x=am分别代入前一式可得==…=kn=0,故i,…,fn线性无 关而Pzn是n维的，于是i,…,fn是一组基. 2)取a,=1.0%=三，...，a.=n-1其中E=co52红+isim2红，则有 ==1++x2++xn-1 1 e-2红+ -32+…ter-2+x- =2=e-2+en-+en-6x2+…+r2+x-1 ,。 第3页

6.7 ˚òm V ¥ÍçP˛Ç5òm, W¥V fòm, α ∈ V . Pα + W = {α + β|β ∈ W}, V = {α + W|α ∈ V }, KV èÍçP˛Ç5òm, °èV 'uW˚òm. (1) eα, β ∈ V , Kα + W = β + W α − β ∈ W; (2) edimV = m, dimV = n, α1, · · · , αm ¥Wò|ƒ, ÚŸ*øèV ò|ƒα1, · · · , αm, αm+1, · · · , αn, Kαm+1 + W, · · · , αn + W èV ò|ƒ, u¥dimV + dimW = dimV . ;.~KÜ)KE| ~6.1 P 2×2¸|ƒèα1 = 1 0 0 0 ! , α2 = 1 1 0 0 ! , α3 = 1 1 1 0 ! , α4 = 1 1 1 1 ! , β1 = 1 0 1 1 ! , β2 = 0 1 1 1 ! , β3 = 1 1 1 0 ! , β4 1 1 0 1 ! , (1)¶dƒα1, α2, α3, α4ƒβ1, β2, β3, β4Lfi› ; (2) ¶β = 1 2 3 4 ! 3ƒα1, α2, α3, α4eãI. (3) ¶3ƒα1, α2, α3, α4܃β1, β2, β3, β4ekÉ”ãI› . )(1)P 2×2ƒE11, E12, E21, E22, Kk(α1, α2, α3, α4) = (E11, E12, E21, E22)C1, (β1, β2, β3, β4) = (E11, E12, E21, E22)C2, Ÿ•C1 =   1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1   , C2 =   1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1   . u¥ (β1, β2, β3, β4) = (α1, α2, α3, α4)C −1 1 C2 = (α1, α2, α3, α4)C, =dƒα1, α2, α3, α4ƒβ1, β2, β3, β4L fi› èC = C −1 1 C2 =   1 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 1 −1 1 1 0 1   . (2)A ∈ P 2×2 3ƒα1, α2, α3, α4܃β1, β2, β3, β4eãIèx = (x1, x2, x3, x4) 0 ,KdãICÜ˙™ x = Cx,=(E − C)x = 0,å¶TÇ5êß|œ)èx1 = 0, x2 = 0, x3 = k, x4 = 0(k ∈ ∀R), u¥3 ƒα1, α2, α3, α4܃β1, β2, β3, β4ekÉ”ãI› èA = kα3 = k 1 1 1 0 ! (k ∈ R). ~6.2 (1) y²: 3P[x]n•,ıë™fi = (x − a1)· · ·(x − ai−1)(x − ai+1)· · ·(x − an)(i = 1, · · · , n)¥ò |ƒa1, a2, · · · , an¥pÿÉ”Í. (2) 3(1)•,a1, a2, · · · , an¥Nng¸†ä,¶dƒ1, x, · · · , xn−1ƒf1, f2, · · · , fnLfi› . y (1)k1f1 + k2f2 + · · · + knfn = 0. -x = a1,ì\˛™ø5øf2(a1) = · · · = fn(a1) = 0, f1(a1) 6= 0,k1 = 0.”n,Úx = a2, · · · , x = an©Oì\cò™åk2 = k3 = · · · = kn = 0, f1, · · · , fnÇ5à '. P[x]n¥në,u¥f1, · · · , fn¥ò|ƒ. 2)a1 = 1, a2 = ε, · · · , an = ε n−1 ,Ÿ•ε = cos 2π n + isin 2π n .Kk f1 = x n−1 x−1 = 1 + x + x 2 + · · · + x n−1 f2 = x n−1 x−ε = ε n−1 + ε n−2x + ε n−3x 2 + · · · + εxn−2 + x n−1 f3 = x n−1 x−ε 2 = ε n−2 + ε n−4x + ε n−6x 2 + · · · + εx2 + x n−1 · · · 1 3 ê

n=品=e+e2红+ex2+…+en-lxn-2+xn-l /1en-1n-2,., 2n-2 en-4 ..2 故由基1，工，…，n-1到基，2，，n的过渡矩阵为 e2…en-l 1 11 例6.3设a1,a2,·,an是数域P上得n维线性空间V的一个基，是由a1+a2+…+an生成的子空间 ={a1+k +…+knanlk1+k2+…+kn=0,keP1≤i≤n. 正是v的子空：-2 例6.4P为数域，在p4中m1=(1,1,0.2=(1,0,01,g=(（1,1,-1,1).月=(1,20,1)，=0,1,1,0， 求L(a1:a2,g)+L(8,3)和L(a1,a2,as)nL(3,)的维数和一组基. 110 1002 解(a1,a2,ag,,3)= 10121 010-1-1 其极大线性无关组 00-101 0010-1 11110 0000 0 是0.0 2,或1，a,或,,.它们都是L ,02,a3)+L(3,2)的基，因而L(a1,2,a3)+ L(A,)的维数为 下面求L(a,,)nL(,)的基和维数 首先给出P的一组基1=(1,0,0,0，e2=(0,1,0,0),63=(0,0,1,0),©4=(0,0,0,1，而 11110 10121 (a1,02,ag,月，2)=(e1e2,83,e4)4,其中A= 00-101 11 11 对a∈L(a1,a2,ag)nL(,2),设a=1a r39 欢，则 1 0=工1a1+x2a2+x3ag-h31-22=(a1,2,ag,月1,32) (1:e2,g,4) 有A ,解此方程组得基础 L(a1,2,a3nL(,2)的维数为2，它 /0 的 -组基是月1,2或-2a+a2,-2a1+2+a 例6.5设a1,2,…,n是n维线性空间的一组基，A是一个n×s矩阵，（问，2，·，月，）=(a1,02,…an)A. 第4页

fn = x n−1 x−εn−1 = ε + ε 2x + ε 3x 2 + · · · + ε n−1x n−2 + x n−1 dƒ1, x, · · · , xn−1ƒf1, f2, · · · , fnLfi› è   1 ε n−1 ε n−2 · · · ε 1 ε n−2 ε n−4 · · · ε 2 . . . . . . . . . . . . 1 ε ε2 · · · ε n−1 1 1 1 · · · 1   . ~6.3 α1, α2, · · · , αn¥ÍçP˛nëÇ5òmV òáƒ,V1¥dα1 + α2 + · · · + αn)§fòm, V2 = {k1α1 + k2α2 + · · · + knαn|k1 + k2 + · · · + kn = 0, ki ∈ P, 1 ≤ i ≤ n}. y²: (1) V2¥V fòm; (2) V = V1 ⊕ V2; ~6.4 PèÍç,3P 4•α1 = (1, 1, 0, 1), α2 = (1, 0, 0, 1), α3 = (1, 1, −1, 1), β1 = (1, 2, 0, 1), β2 = (0, 1, 1, 0), ¶L(α1, α2, α3) + L(β1, β2) ⁄L(α1, α2, α3) ∩ L(β1, β2) ëÍ⁄ò|ƒ. ) (α1, α2, α3, β1, β2) =   1 1 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 −1 0 1 1 1 1 1 0   −→   1 0 0 2 2 0 1 0 −1 −1 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0   Ÿ4åÇ5Ã'| ¥α1, α2, α3½α1, α2, β2½α1, α3, β1½α1, β1, β2.ßÇ—¥L(α1, α2, α3) + L(β1, β2)ƒ,œ L(α1, α2, α3) + L(β1, β2)ëÍè3. e°¶L(α1, α2, α3) ∩ L(β1, β2)ƒ⁄ëÍ. ƒk,â—P 4ò|ƒ:ε1 = (1, 0, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0, 0), ε3 = (0, 0, 1, 0), ε4 = (0, 0, 0, 1), (α1, α2, α3, β1, β2) = (ε1, ε2, ε3, ε4)A, Ÿ•A =   1 1 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 −1 0 1 1 1 1 1 0   . È∀α ∈ L(α1, α2, α3) ∩ L(β1, β2),α = x1α1 + x2α2 + x3α3 = y1β1 + y2β2, K 0 = x1α1 + x2α2 + x3α3 − y1β1 − y2β2 = (α1, α2, α3, β1, β2)   x1 x2 x3 −y1 −y2   = (ε1, ε2, ε3, ε4)A   x1 x2 x3 −y1 −y2   ,  kA   x1 x2 x3 −y1 −y2   = 0,)dêß|ƒ:)X:   −2 1 0 1 0   ,   −2 1 1 0 1   . œdL(α1, α2, α3)∩L(β1, β2)ëÍè2,ß ò|ƒ¥β1, β2½−2α + α2, −2α1 + α2 + α3. ~6.5 α1, α2, · · · , αn¥nëÇ5òmò|ƒ,A¥òán×s› , (β1, β2, · · · , βs) = (α1, α2, · · · , αn)A. 1 4 ê

证明：L(3,32,…,月，)的维数等于A的秩. 证令amk(4)=r不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1,其余s-r列构成 的矩阵记为A2,则A=(A1,A2),且rank(A) rank(A) r.因为(,2, (a1,02 an)A,所 2 以(31,2，…，8r)=(1,02,…,0n)A1.设k11+22+…+存3，=0，即(，2，…，品) 是(a, 0,从而A =0,由ramk(A)=r知，该方程组只有零解，故，…，，线 性无关 任取36=1，…，s)将A的第j列添在A1的右边，构成的矩阵记为B,则(，…，A,月)=(Q1,…,an)B h 设品+…+，.++1 0,即(，…，品，月》 0,于是(a1,…,an)B 从而B =0,由rank(B)=r知该方程组有非零解，故3，…，品，B,G=1,·,)线性相关.这 表明A,…,B的极大线性无关组为，…，.于是dimL(,…,B)=r=rank(A. 例6.6（设R的两组基为a1=(1,2-1,0),a2=(1,1,0,0),a=(（1,-1,2,1,4=(0,1,1,-1 (（1,2,3,4),=(-2,1,-43,=8,-4-1,2),8A4=(43,-2,-1),求由a,a2,a3a4到8，，3，的过 渡矩阵A (2)设4中a1=(1,2,1,0),02=(-1,1,1,1),03=(0,3,2,1)生成的子空间为%，31=(2，-1,0,1)，3= 1,-1,3,7)生成的子空间为%，分别求5+，n的一组基. 1-234 111 解由题设知(，2,,)=(a1,a2,g,a4)4于是 432-1 /217-14-9 所以A= -32-262422 12 例6.7设V是由次数不超过4的一切实系数一元多项式组成的线性空间，对于V中任意多项式P工)除 以r2-1得商式及余式分别为Q(回)及)，即P()=Q(2-1)+R,R()=0或)的次数< 设p是从V到V得-一个映射使得P)=R). ()证明，是V的一个线性变换： (2)求关于V的基1，x,x2,x3,x的矩阵. 第5页

y²:L(β1, β2, · · · , βs)ëÍuAù. y -rank(A) = r.ÿîòÑ5,AcrÇ5Ã',øÚ˘r§› PèA1,Ÿ{s − r§ › PèA2,KA = (A1, A2),Örank(A1) = rank(A) = r. œè(β1, β2, · · · , βs) = (α1, α2, · · · , αn)A,§ ±(β1, β2, · · · , βr) = (α1, α2, · · · , αn)A1. k1β1 + k2β2 + · · · + krβr = 0,=(β1, β2, · · · , βr)   k1 k2 . . . kr   = 0, u ¥(α1, · · · , αn)A1   k1 k2 . . . kr   = 0, l A1   k1 k2 . . . kr   = 0, drank(A1) = r,Têß|êk"),β1, · · · , βrÇ 5Ã'. ?βj (j = 1, · · · , s)ÚA1jV3A1m>,§› PèBj , K(β1, · · · , βr, βj ) = (α1, · · · , αn)Bj . l1β1 + · · · + lrβr + lr+1βj = 0,=(β1, · · · , βr, βj )   l1 . . . lr lr+1   = 0,u¥(α1, · · · , αn)Bj   l1 . . . lr lr+1   = 0, l Bj   l1 . . . lr lr+1   = 0, drank(Bj ) = r Têß|kö"), β1, · · · , βr, βj ,(j = 1, · · · , s) Ç5É'. ˘ L²β1, · · · , βs 4åÇ5Ã'|èβ1, · · · , βr.u¥dimL(β1, · · · , βs) = r = rank(A). ~6.6 (1) R4¸|ƒèα1 = (1, 2, −1, 0), α2 = (1, 1, 0, 0), α3 = (1, −1, 2, 1), α4 = (0, 1, 1, −1); β1 = (1, 2, 3, 4), β2 = (−2, 1, −4, 3), β3 = (3, −4, −1, 2), β4 = (4, 3, −2, −1), ¶dα1, α2, α3, α4β1, β2, β3, β4L fi› A. (2) R4•α1 = (1, 2, 1, 0), α2 = (−1, 1, 1, 1), α3 = (0, 3, 2, 1))§fòmèV1,β1 = (2, −1, 0, 1), β2 = (1, −1, 3, 7))§fòmèV2, ©O¶V1 + V2, V1 ∩ V2ò|ƒ. ) dK(β1, β2, β3, β4) = (α1, α2, α3, α4)A, u¥   1 −2 3 4 2 1 −4 3 3 −4 −1 −2 4 3 2 −1   =   1 1 1 0 2 1 −1 1 −1 0 2 1 0 0 1 −1   A, §±A = 1 2   22 17 −14 −9 −32 −26 24 22 12 5 −4 −5 4 −1 −8 −3   . ~6.7 V ¥dgÍÿáL4òÉ¢XÍòıë™|§Ç5òm,ÈuV •?øıë™P(x)ÿ ±x 2 − 1˚™9{™©OèQ(x)9R(x), =P(x) = Q(x)(x 2 − 1) + R(x), R(x) = 0½R(x)gÍ< 2. ϕ¥lV V òáN¶ϕ(P(x)) = R(x). (1) y², ϕ¥V òáÇ5CÜ; (2) ¶ϕ'uV ƒ1, x, x2 , x3 , x4› . 1 5 ê

例刚6.8四设是数城F上1+2-=0的解空间，是数城F上2-4=0的解空间，证明 2+x3=0 听⊕2. (②)设，分别是齐次线性方程组1+…+=0与1=型=…=xn的解空间，证明：M,,Fm作 为数域F上的线性空间满足Fm=Y⊕2 证明：以()为例解方程 =0得基础解析为61=1,10叭，所以4=L(6方 x3=0的基础解析为 2t0y,6=.0以所以M= 因为水，6=2，所以6a,线性无关，所以为F的一组基，因此产=(，= ⑤6.g1设4是数域P上的n×n矩阵V是与4可交换的n×n矩阵的全休 (证明：V对矩阵加法以及矩阵与P中数的数量乘法构成P上的一个线性空间 10 (m)若A=011 ,求V的一组基底与维数 001 证明)令W为P上所有m×n矩阵构成的线性空间，V是W的子集.由AOm=OnA知V非空.对任 意B.CEvkep有 新去出的￥设wB-@ 及矩阵与P中数的数量乘法封闭，故V是W的子空间，因而也 是P上的一个线性空间. (2)设B=()3×3∈V,由AB=BA可得 b11=B2=bg=a,b21=bg1=b32=0,b21=b2s=b 于是B= 0 a b a,b,cE P. 反之形如 代的3级万 阵B与A可交换.故V由 切形如B的3级方阵组成.又 B=a010 +6 001 +c000 001 000 000 100 0101/0011 )10 000 线性无关，故它们作成V的一组基，因此im()=3 000 000 例6.10设V是数域P上的线性空间，，是V的两个非平凡的子空间.证明：存在a∈V使得a MU.等价的说法：若店与？是V的两个真子空间.则MU及是V的真子空间当且仅当MU=V. 例6.11设W,W是V的子空间，a4,a2∈V满足aW2,a2∈W,a2W.证明 ()对任何数1+k22；（②）最多只有一个x使 证(1)若a+ka2是W2,则a=(a1+ka2)-ka2∈W2,矛盾 第6页

~6.8 (1) V1¥ÍçF˛ ( x1 + x2 − x3 = 0 x2 + x3 = 0 )òm,V2¥ÍçF˛x2−x3 = 0)òm,y²:F 3 = V1 ⊕ V2. (2) V1, V2©O¥‡gÇ5êß|x1 + · · · + xn = 0Üx1 = x2 = · · · = xn)òm, y²:V1, V2, F nä èÍçF˛Ç5òm˜vF n = V1 ⊕ V2. y²: ±(1)è~, )êß ( x1 + x2 − x3 = 0 x2 + x3 = 0 ƒ:)¤èξ1 = (1, 1, 0)0 , §±V1 = L(ξ1); x2 − x3 = 0ƒ:)¤èξ2 = (−1, 1, 0)0 , ξ3 = (1, 0, 1)0 , §±V1 = L(ξ2, ξ3); œè|ξ1, ξ2, ξ3| = 2, §±ξ1, ξ2, ξ3Ç5Ã', §±èF 3ò|ƒ, œdF 3 = L(ξ1, ξ2, ξ3) = V1 ⊕ V2. ~6.9 (1) A¥ÍçP˛n × n› , V ¥ÜAåÜn × n› N. (i) y²: V È› \{±9› ÜP•ÍͲ¶{§P˛òáÇ5òm; (ii) eA =   1 1 0 0 1 1 0 0 1  , ¶V ò|ƒ.ÜëÍ. y² (1) -WèP˛§kn × n› §Ç5òm, V ¥Wf8.dAOn = OnAV öò. È? øB, C ∈ V, k ∈ Pk A(B + C) = AB + AC = BA + CA = (B + C)A, A(kB) = k(AB) = (kB)A, §±B + C, kB ∈ V ,œdV È› \{±9› ÜP•ÍͲ¶{µ4,V ¥Wfòm, œ è ¥P˛òáÇ5òm. (2) B = (bij )3×3 ∈ V , dAB = BAå b11 = B22 = b33 = a, b21 = b31 = b32 = 0, b21 = b23 = b. u¥B =   a b c 0 a b 0 0 a  , a, b, c ∈ P. áÉ/X˛„/™3?ê BÜAåÜ. V dòÉ/XB3?ê |§. q B = a   1 0 0 0 1 0 0 0 1   + b   0 1 0 0 0 1 0 0 0   + c   0 0 1 0 0 0 0 0 0  ,   1 0 0 0 1 0 0 0 1   ,   0 1 0 0 0 1 0 0 0   ,   0 0 1 0 0 0 0 0 0   Ç5Ã', ßÇä§V ò|ƒ, œddim(V ) = 3. ~6.10 V ¥ÍçP˛Ç5òm,V1, V2 ¥V ¸áö²Öfòm.y²: 3α ∈ V ¶α 6∈ V1 ∪ V2. d`{: eV1 ÜV2 ¥V ¸á˝fòm.KV1 ∪ V2 ¥V ˝fòmÖ=V1 ∪ V2 = V . ~6.11 W1, W2 ¥V fòm, α1, α2 ∈ V ˜vα1 6∈ W2, α2 ∈ W2, α2 6∈ W1. y² (1) È?¤Ík, α1 + kα2 6∈ W2; (2) Åıêkòák¶α1 + kα2 ∈ W1. y (1) eα1 + kα2 6∈ W2, Kα1 = (α1 + kα2) − kα2 ∈ W2, gÒ. 1 6 ê

(2)设有k,l使得a1+ka2,1+la2∈W1,则(k-l)2∈W1.因为a2W1,所以k-1=0.于是k=l 例6.12设W,W2,…,W,是线性空间V的s个非平凡子空间，则存在aeV使得a度形，i=1,…,s 证对s运用归纳法证明.当s=1时，结论显然成立.假定对s-1时结论成立，即存在a∈V使得α度 W.i=1.··,s-1.对s的情形.若a4V.则结论成立：若a∈V.则存在6dV.考虑所有6+ka,有 上题B+kaW,且最多只有一个k使得B+ka∈W,i=,· ·,s-1.取为异于k1,…,k,-1的任意值 则=B+即为所求 例6.13设K,是数域P上的n维线性空间V的子空间，且dim(+2)=dim(%n)+1,证明：或 者=-+，吃=hn或者=h+,y=Mn 证因为dim(%+2)=dimM+dim-din(n),所以由dim(+)=dim(n)+1得dimM+ dimk-dim(Mn2)=dim(n)+1,于是dimM-dim(%n2)+dim3-dim(%n)=1,因 此dimW-dim(Wn)=1且dim5-dim(Kn)=0或者dim-dim(Wn)=1且dimV-dim(Wn )=0. 若d击m-dim(%n)=1且dim-dim(Mn)=0,则=n,于是,因此=+ =Mn2;若dim巧-dim(%n)=1且imM-dim(Kn)=0,同理可得%=M+2,=Mn%. 例6.14对于F的任一子空间W,存在一个齐次线性方程组Az=0使得W为A :0的解空间 01 证取W的一个基1，…，a,其中a4=(a1,a2,…,an),i=1,…,n,作A 设A=0的 解空间SA的基为品1，…，月-，其中 2 作B b12 则AB'=0 61.n-r 62.n- 于是BA'=0,所以每个a4∈SB,于是WSSB,这里SB为Bx=0的解空间.因为r(B)=n-r,所 以dimSg=r,而dimW=r,于是W=Sa 例6.15V是数域P上的n维线性空间，a1,2,…,an为V的一组基，月，2，…，An∈V.若（问，风2，…，3n) (a1,a2,…,n)4,则L(81,32,…,Bn)=r(4. 证设r(④=n.则存在可逆矩阵PQ使得P4Q=(E0）】 00 令(m,2,…,n)=(a1,a2,…,an)P-1, 由a1,a2,…,an线性无关及P-1可逆得1,2，…，n线性无关. 因高a-P-PA0-6m(后8）Q- …,0…,0Q-1 所以r(a,2,…,)=rm,2,…,)=r=r(.即(，2，…，n)=r(A 例6.16设a1,,o.为线性空间V的k个两两不同的线性变换.则存在a∈V使得o1(a,2(a)…,ok(a)也 两两不同。 证明令%={a∈Va(o)=a(a},ij=1,…,k,则0∈，因此%非空且为v的子空间.由于 当i≠时，a:≠a,所以存B∈V使得a()=a(),所以V%是V的真子空间.于是存在？V,使得a∈V使 得aVi,j=l,…,k.因此o,(a)=o(a 例6.17任何维线性空间V的真子空间均可表示成若干个n-1维子空间的交 第7页

(2) kk, l¶α1 + kα2, α1 + lα2 ∈ W1, K(k − l)α2 ∈ W1. œèα2 6∈ W1, §±k − l = 0, u¥k = l. ~6.12 W1, W2, · · · , Ws¥Ç5òmV sáö²Öfòm, K3α ∈ V ¶α 6∈ Wi , i = 1, · · · , s y Ès$^8B{y². s = 1û, (ÿw,§·. b½Ès − 1û(ÿ§·, =3α ∈ V ¶α 6∈ Wi , i = 1, · · · , s − 1. Èsú/, eα 6∈ Ws, K(ÿ§·; eα ∈ Ws, K3β 6∈ Ws. ƒ§kβ + kα, k ˛Kβ + kα 6∈ Ws, ÖÅıêkòáki¶β + kiα ∈ Wi , i = 1, · · · , s − 1.k0è…uk1, · · · , ks−1?øä, Kγ = β + k0=觶. ~6.13 V1, V2¥ÍçP˛nëÇ5òmV fòm,Ödim(V1 + V2) = dim(V1 ∩ V2) + 1, y²:½ ˆV1 = V1 + V2, V2 = V1 ∩ V2 ½ˆV2 = V1 + V2, V1 = V1 ∩ V2. y œèdim(V1+V2) = dimV1+dimV2−dim(V1∩V2), §±ddim(V1+V2) = dim(V1∩V2)+1dimV1+ dimV2 − dim(V1 ∩ V2) = dim(V1 ∩ V2) + 1, u¥dimV1 − dim(V1 ∩ V2) + dimV2 − dim(V1 ∩ V2) = 1, œ ddimV1 −dim(V1∩V2) = 1 ÖdimV2 −dim(V1∩V2) = 0 ½ˆdimV2 −dim(V1∩V2) = 1 ÖdimV1 −dim(V1∩ V2) = 0" edimV1−dim(V1∩V2) = 1 ÖdimV2−dim(V1∩V2) = 0, KV2 = V1∩V2, u¥V2 ⊆ V1, œdV1 = V1+V2, V2 = V1 ∩V2; edimV2 −dim(V1 ∩V2) = 1 ÖdimV1 −dim(V1 ∩V2) = 0, ”nåV2 = V1 +V2, V1 = V1 ∩V2. ~6.14 ÈuF n?òfòmW, 3òá‡gÇ5êß|Ax = 0¶WèAx = 0)òm. y Wòáƒα1, · · · , αr, Ÿ•αi = (ai1, ai2, · · · , ain), i = 1, · · · , n, äA =   α1 α2 · · · αr   , Ax = 0 )òmSAƒèβ1, · · · , βn−r, Ÿ•βj =   b1j b2j · · · bnj   , äB =   b11 b21 · · · bn1 b12 b22 · · · bn2 · · · · · · · · · · · · b1,n−r b2,n−r · · · bn,n−r   , KAB0 = 0, u¥BA0 = 0, §±záα 0 i ∈ SB, u¥W ⊆ SB, ˘pSBèBx = 0)òm. œèr(B) = n − r, § ±dimSB = r, dimW = r, u¥W = SB. ~6.15 V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, α1, α2, · · · , αn èV ò|ƒ, β1, β2, · · · , βn ∈ V . e(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)A, KL(β1, β2, · · · , βn) = r(A). y r(A) = r. K3å_› P, Q¶P AQ = Er 0 0 0 ! . -(γ1, γ2, · · · , γn) = (α1, α2, · · · , αn)P −1 , dα1, α2, · · · , αnÇ5Ã'9P −1å_γ1, γ2, · · · , γnÇ5Ã'. œè(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)P −1P AQQ−1 = (γ1, γ2, · · · , γn) Er 0 0 0 ! Q−1 = (γ1, γ2, · · · , γr, 0, · · · , 0)Q−1 . §±r(β1, β2, · · · , βn) = r(γ1, γ2, · · · , γr) = r = r(A). =L(β1, β2, · · · , βn) = r(A). ~6.16 σ1, ..., σkèÇ5òmV kḸÿ”Ç5CÜ. K3α ∈ V ¶σ1(α), σ2(α), · · · , σk(α)è ¸¸ÿ”. y² -Vij = {α ∈ V |σi(α) = σj (α)}, i, j = 1, · · · , k, K0 ∈ Vij , œdVij öòÖèV fòm.du i 6= jû, σi 6= σj , §±β ∈ V ¶σi(β) = σj (β), §±Vij ¥V ˝fòm.u¥3? ?V ,¶α ∈ V ¶ α 6∈ Vij , i, j = 1, · · · , k. œdσi(α) = σj (α). ~6.17 ?¤nëÇ5òmV ˝fòm˛åL´§eZán − 1ëfòm. 1 7 ê

证明设W是y的真子空间.如果dimW=n-l,则结论成立.因此可设dimW=r<n-2.令e1,…,c, 为W的基，将其扩充为V的基：e1,…,C,+1,·,Cn 令W=L(e…,G,e+ ,en-1).Wa L(er, W3=L(e r+2十E - …,Wn-l=e1,…,,er+1,r+2,…,n-1+en) 则wSn形，又对任意的aenW,则 a=kier+...+krer+kr+ier++...+kn-ien-1=her+...+lrer+lr+i(er+i+en)+...+In-ien-1, 由此可得t+1=0,由此k+1=0.同理可得k+2=·=kn-1=0,于是a∈W 例6.18()设f)=x+x2+x+1,fa)=x3+2x2+3江+4，V=F[4,0=L(f):9》,求V/U的 一组基 (②)设fE)是数域上F上的n次多项式，令(U)={g(r儿g(r)∈F,fr)g(x)h,求Fr/U)的维数. 练习1，令S={化，2，}，证明L(S)=形： 2,设S={AB-BA4B∈Mn(F),证明dim(L(S)=n2-1,并求L(S)的一组基 b c a c a b a b c 例6.19设a,五，c是实数.A= c a B=a b=c a b 证明：()A,B,C彼此相似（②）如果B =CB,则A至少有两个特征根为零 ()P=E(2.3).P -E(,2).PPAPP B.PP:APP C.PPPPs, 故A与B相似，A与C相似，从而A,B,C相似 c a b a b c a b cc a b ()②因为Bc=cB,即a b cbc a=be&abc b e a ca b c a b 6 e a 比较对应元素有a2+b2+c2=ab+bc+ac,即a2+2+c2-ab-bc-ac=0,两边同乘以a+b+c得a3+ +c2-3abc=0.A的特征多项式f)=3-(a+b+c)A2-(a2+2+2-b-bc-acA+a3++c3-3abc 得f)=X3-(a+b+已，故4至少有两个特征根为零。 第8页

y² W ¥V ˝fòm. XJdimW = n−1,K(ÿ§·. œdådimW = r ”¶±a+b+ca 3 + b 3+c 3−3abc = 0. AAıë™f(λ) = λ 3−(a+b+c)λ 2−(a 2+b 2+c 2−ab−bc−ac)λ+a 3+b 3+c 3−3abc. f(λ) = λ 3 − (a + b + c)λ 2 , Añk¸áAäè". 1 8 ê