长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第十八讲 参数估计和假设检验

第十八讲参数估计和假设检验 一.考试内容与要求 1.考试内容， 点估计的概念、估计量与估计值、矩估计法、最大似然估计法（以上为数 、三共同要 求)·估计量的评选标准，区间估计的概念、单个正态总体的均值和方差的区间估计、两个 正态总体的均值差和方差比的区间估计、显著性检验、假设检验的两类错误、单个及两个正 态总体的均值和方差的假设检验（以上为数一的要求） 2试要求， (1)理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.（数一，三） (2)掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然估计法.（数一，三） (3)了解估计量的无偏性、有效性和一致性的概念，并会验证估计量的无偏性.（数一） (4)理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总 体的均值差和方差比的置信区间.（数一） (5)理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两 类错误（数 (6)掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。（数一） 二.考试内容解析 无偏性 点估计 矩估计 →估计量的评选标准有效性 极大似然估计 一致性 从样本推断总体 区间估计 假设检验 (一)参数估计 1.点估计 (1),估计量、估计值 用来做估计的统计量称为估计量.估计量是一个随机变量，它所取的具体值称为估计值，点估 计即是用估计量的值估计未知参数的值。 点估计问题，就是要构造一个统计量(X,,X),用它来估计未知参数日，即用 0(X,…,X）的观测值(x1,…,x)作为未知参数B的值. (2)估计量的评选标准 无偏性、有效性、相合性等 (1)无偏性：如果E(X,…,X)=O,则称(X,,X)为0的无偏估计 (ii)有效性：对于未知参数0，如果其两个估计量0，（X1,…,X)和02(X1,…,X)有

1 第十八讲 参数估计和假设检验 一.考试内容与要求 1.考试内容： 点估计的概念、估计量与估计值、矩估计法、最大似然估计法（以上为数一、三共同要 求）.估计量的评选标准，区间估计的概念、单个正态总体的均值和方差的区间估计、两个 正态总体的均值差和方差比的区间估计、显著性检验、假设检验的两类错误、单个及两个正 态总体的均值和方差的假设检验（以上为数一的要求） 2.考试要求： （1）理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.（数一，三） （2）掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然估计法.（数一，三） （3）了解估计量的无偏性、有效性和一致性的概念，并会验证估计量的无偏性.（数一） （4）理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总 体的均值差和方差比的置信区间.（数一） （5）理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两 类错误.（数一） （6）掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.（数一） 二.考试内容解析                 →                     无偏性 矩估计 点估计 估计量的评选标准 有效性 极大似然估计 一致性 从样本推断总体 区间估计 假设检验 （一） 参数估计 1.点估计 （1）.估计量、估计值 用来做估计的统计量称为估计量.估计量是一个随机变量，它所取的具体值称为估计值.点估 计即是用估计量的值估计未知参数的值. 点估计问题，就是要构造一个统计量  ( X X 1 , , n ) ,用它来估计未知参数  ，即用  ( X X 1 , , n ) 的观测值  ( x x 1 , , n ) 作为未知参数  的值. （2）估计量的评选标准 无偏性、有效性、相合性等. （i）无偏性：如果 E X X   ( 1 , , n ) = ,则称  ( X X 1 , , n ) 为  的无偏估计. （ii）有效性：对于未知参数  ，如果其两个估计量  1 ( X X 1 , , n ) 和  2 ( X X 1 , , n ) 有

D0≤D02,则称a,比02更有效 (ii)相合性：对于未知参数0，如果其一个估计量(X,…,X)P→0，则称其为8的 相合估计量。 (3)矩估计法 矩估计法是用样本矩估计相应的总体矩从而得到参数估计的一种估计方法矩估计法不需要 知道总体分布 设总体X的分布中包含有未知参数日，02，，0，则其分布函数可以表成 F(x,0,02,…,0n)它的k阶原点矩y4=E(Xk=L2,…,m)中也包含了未知参数 日，8，…，0，即y=v(g,0,…,0.又设x1,x2,…,xn为总体X的n个样本值，其 样本的k阶原点矩为 空女=2m 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即 s@4…0)2 ⑧，4…)=Σ安。 n .@4d-2 由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(,02，…，0)即为参数(0,02，…，0n）的 矩估计量。 若0为0的矩估计，g(x)为连续函数，则g()为g()的矩估计. 考试大纲中只要求涉及一阶矩和二阶矩，即1或2的情形. (4)最大似然估计法 最大似然估计法要求事先知道总体分布的数学形式。 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f八x日，8，…，0)，其中 日，日，…，0n为未知参数.又设x,x,,xn为总体的一个样本，称

2 D D   1 2  ,则称 1 比  2 更有效. （iii）相合性：对于未知参数  ，如果其一个估计量 ( 1 , , ) P   X X n ⎯⎯→ ,则称其为  的 相合估计量. （3）矩估计法 矩估计法是用样本矩估计相应的总体矩从而得到参数估计的一种估计方法.矩估计法不需要 知道总体分布. 设总体 X 的分布中包含有未知参数    m , , , 1 2  ，则其分布函数 可以表成 ( ; , , , ). 1 2 m F x     它的 k 阶原点矩 v E(X )(k 1,2, ,m) k k = =  中也包含了未知参数    m , , , 1 2  ，即 ( , , , ) k k 1 2 m v = v     .又设 n x , x , , x 1 2  为总体 X 的 n 个样本值，其 样本的 k 阶原点矩为 = n i k i x n 1 1 (k =1,2,  , m). 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即 有                = = =    =    =    =    n i m m m i n i m i n i m i x n v x n v x n v 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 . 1 ( , , , ) , 1 ( , , , ) , 1 ( , , , )              由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 ( , , , ) 1 2        m 即为参数（    m , , , 1 2  ）的 矩估计量. 若   为  的矩估计， g(x) 为连续函数，则 ) ˆ g( 为 g( ) 的矩估计. 考试大纲中只要求涉及一阶矩和二阶矩，即 m=1 或 2 的情形. （4）最大似然估计法 最大似然估计法要求事先知道总体分布的数学形式. 当总体 X 为连续 型随机 变量时 ，设其 分布密 度为 ( ; , 2 , , ) 1 m f x     ，其中    m , 2 , , 1  为未知参数.又设 n x , x 2 , , x 1  为总体的一个样本，称

L0,0,0.)=1/00,0.) 为样本的似然函数，简记为L. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{X=x=p(x0,0,…,O),则 L(x,x,…,xn0,0,…,0)=Πpx8,0,…,0n) 为样本的似然函数。 若似然函数(x1,x,,xn日，0，…，日)在日日，…日n处取到最大值，则称 合1,0：，…，0n分别为0，0，…，0的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 ain L 80,lo.o. =0,i=1,2,…,m 若0为0的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(⊙)为g()的极大似然估计. 2.区间估计 (1)置信区间 对于总体X,其未知参数为0，设X,…,Xn是样本，对于给定的α(0<a<I),如果两个 统计量0=8(X,…,X)和02=82(X,…,X)满足： P0<0<)=1-a 则称随机区间(01,02为未知参数0的置信度为1-α的置信区间.A:和82分别称为置信下 限与置信上限. (2)置信区间的求取方法： 设x,x2,,x,为总体X的一个样本，在置信度为1一a下，我们来确定未知参数0的置信 区间[0,02].具体步骤如下 (i)选择一个样本及未知参数0的函数T=f(X;),但是其分布与0无关，且未知参数0 可以用样本和T表出，即=g(X,T)是T=f(X;)的反函数 (ii)由置信度1-a,根据T的分布选取两个常数a与b,使得P(a<T<b)=1-a (iii)导出置信区间0,02)

3 ( , , , ) ( ; , , , ) 1 1 2  1 2 = = n i m i m L     f x     为样本的似然函数，简记为 Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为 { } ( ; , 2 , , ) 1 m P X = x = p x     ，则 称 ( , , , ; , , , ) ( ; , , , ) 1 1 2 1 2  1 2 = = n i n m i m L x x  x     p x     为样本的似然函数. 若似然 函数 ( , 2 , , ; , 2 , , ) 1 n 1 m L x x  x     在 m     1 , 2 ,, 处取 到最大 值， 则称 m     1 , 2 ,, 分别为    m , 2 , , 1  的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量. i m L i i i n 0, 1,2, , ln = =      =  若   为  的极大似然估计， g(x) 为单调函数，则 ) ˆ g( 为 g( ) 的极大似然估计. 2.区间估计 （1）置信区间 对于总体 X ，其未知参数为  ，设 1 , , X X n 是样本，对于给定的   (0 1   ) ,如果两个 统计量   1= , , 1 1 ( X X n ) 和   2= , , 2 1 ( X X n ) 满足： P(    1 2   = − ) 1 则称随机区间 ( 1 2 ， ) 为未知参数  的置信度为 1− 的置信区间.1 和  2 分别称为置信下 限与置信上限. （2）置信区间的求取方法： 设 1 2 , , , n x x x 为总体 X 的一个样本，在置信度为 1− 下，我们来确定未知参数  的置信 区间 [ , ] 1  2 .具体步骤如下： （i）选择一个样本及未知参数  的函数 T f X = ( ; ) ,但是其分布与  无关，且未知参数  可以用样本和 T 表出，即 = ; g X T ( ) 是 T f X = ( ; ) 的反函数. （ii）由置信度 1− ，根据 T 的分布选取两个常数 a 与 b ，使得 P a T b (   = − ) 1  （iii）导出置信区间 ( 1 2 ， )

上述选取置信区间的方法可能会导致置信区间不唯一，于是对于对称分布（如正态分布，1一 分布)及一些常用的非对称分布（如X2.分布和F-分布），我们通常按如下原则选取a与b: PT≥)=PTsa)-号 (3)单个正态总体参数的置信区间 (a)已知方差，估计均值： Goln am盒千小1-a )号抽星台区向-会+A别 (b)未知方差，估计均值： ①选择样本函数=二上《- SIn Gi查表找分位数p1≤二上s1-a n' “√n (c)方差的区间估计： (1)选择样本函数=-S x2(n-1. D查表找分位数r≤-≤元-1-a 学超口的灵区间受受 (4)两个正态总体参数的置信区间 设总体X~N(4o),Y~N(,o)(X,X,…,X)和(Y,…,Yn)分别是来自总 体X和Y的简单随机样本，，Sx，了，S号分别是相应的样本均值和方差，并且两组样本 相互独立. (i)当σ和σ己知时，4-4的置信度为1-a的置信区间为

4 上述选取置信区间的方法可能会导致置信区间不唯一，于是对于对称分布（如正态分布， t − 分布）及一些常用的非对称分布（如 2  - 分布和 F − 分布），我们通常按如下原则选取 a 与 b ： ( ) ( ) 2 a P T b P T a  =  = （3）单个正态总体参数的置信区间 （a）已知方差，估计均值： （i）选择样本函数 ~ (0,1). / 0 N n x u  −  = (ii) 查表找分位数 1 . / 0      = −          − −  n x P （iii）导出置信区间       − + n x n x 0 0 ,     （b）未知方差，估计均值： （i）选择样本函数 ~ ( 1). / − − = t n S n x t  (ii)查表找分位数 1 . /     = −          − −  S n x P （iii）导出置信区间       − + n S x n S x  ,  （c）方差的区间估计： （i）选择样本函数 ~ ( 1). ( 1) 2 2 2 − − = n n S w   （ii）查表找分位数 1 . ( 1) 2 2 2 1     = −          −  n S P （iii）导出  的置信区间       − − S n S n 2 1 1 , 1   （4）两个正态总体参数的置信区间 设总体 ( ) 2 X N ~   1 1 ， ， ( ) 2 Y N ~   2 2 ， , ( X X X 1 2 , , , m ) 和 (Y Y 1 , , n ) 分别是来自总 体 X 和 Y 的简单随机样本， X ， 2 X S , 2 , Y SY 分别是相应的样本均值和方差，并且两组样本 相互独立. （i）当 2 1 和 2  2 已知时，   1 2 − 的置信度为 1− 的置信区间为

-i层gi+ (ii)当σ=o=o2未知时，4-42的置信度为1-a的置信区间为 其中， S:=(m-1)S+(n-1)S m+n-2 (ii)当4，么时，二的置信度为1-a的置信区间为 2(X-4 2(K-4) Fe (m,n).- ,F2(n,m) m∑(g,-)2司 m(g,-4)2 (v)当4和凸未知时， 牙的量台皮机-a价置份区间为 (a-a--m- (二)假设检验 1.基本概念： (1)假设：关于总体的论断或命题、猜测或推测等就是假设.两个二者必居其一的假设 H。,H,其中一个称为原假设或零假设，常以H。表示，另一个则称为备择假设，常以H,表 示 (2)假设检验：就是根据样本，按照某种法则，确定在原假设H。与备择假设H,之中接受 其一 (3)两类错误：当原假设H。为真时，我们却拒绝了H。,即认为备择假设H,是正确的， 则称为第一类错误。当H。不正确时，我们却接受了H。,即认为H。是正确的，则称为第二 类错误 (④)显著性检验：对于一个假设检验法则，当样本容量取定后，我们无法同时使其犯两类 错误的概率都很小，在此情况下，我们总是控制其犯第一类错误的概率，使其不大于给定的 a(0<a<).这种检验问题称为显著性检验问题，给定的数a称为显著性水平，一般取 为0.1,0.05,0.01等值

5 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 X Y z X Y z , m n m n           − − + − + +     （ii）当 222  1 2 = = 未知时，   1 2 − 的置信度为 1− 的置信区间为 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 X Y t m n S X Y t m n S 2 , 2 m n m n         − − + − + − + + − +   其中， ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 m S n S X Y S m n  − + − = + − （iii）当 1 ， 2 时， 2 1 2 2   的置信度为 1− 的置信区间为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 , , , m m i i i i n n i i i i n X n X F m n F n m m Y m Y       − = = = =   − −         − −         （iv）当 1 和 2 未知时， 2 1 2 2   的置信度为 1− 的置信区间为 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1, 1 , 1, 1 X X Y Y S S F m n F n m S S   −     − − − −   （二）假设检验 1.基本概念： （1）假设：关于总体的论断或命题、猜测或推测等就是假设.两个二者必居其一的假设 0 1 H H, ,其中一个称为原假设或零假设，常以 H0 表示，另一个则称为备择假设，常以 H1 表 示. （2）假设检验：就是根据样本，按照某种法则，确定在原假设 H0 与备择假设 H1 之中接受 其一. （3）两类错误：当原假设 H0 为真时，我们却拒绝了 H0 ，即认为备择假设 H1 是正确的， 则称为第一类错误.当 H0 不正确时，我们却接受了 H0 ，即认为 H0 是正确的，则称为第二 类错误. （4）显著性检验：对于一个假设检验法则，当样本容量取定后，我们无法同时使其犯两类 错误的概率都很小，在此情况下，我们总是控制其犯第一类错误的概率，使其不大于给定的   (0 1   ) .这种检验问题称为显著性检验问题，给定的数  称为显著性水平，一般取  为 0.1，0.05，0.01 等值

在进行显著性检验时，常选用一个统计量T,称为检验统计量：当T在某个区域W上 时，就拒绝H。,否则不能拒绝H。,称区域W为H,的拒绝域而拒绝域W的选取是通过 控制其第一类错误概率而进行的。 一个显著性检验的基本步骤可以概括为： ()根据实际问题，确定原假设H。和备择假设H (ii)规定显著性水平a(0 U2ua {T≥ta(n-l} Us-u) {Ts-.(n-l月 其中u,(n-1)分别是正态分布及t(n-l)分布的上a分位点。 (2)正态总体方差的检验 当总体均值4=，已知时，用检验统计量石：当4未知时，用检验统计量X,具体见下 表 假设 H。的拒绝域 HoH 未知 =4已知 6

6 在进行显著性检验时，常选用一个统计量 T ，称为检验统计量；当 T 在某个区域 W 上 时，就拒绝 H0 ，否则不能拒绝 H0 ，称区域 W 为 H0 的拒绝域.而拒绝域 W 的选取是通过 控制其第一类错误概率而进行的. 一个显著性检验的基本步骤可以概括为： （i） 根据实际问题，确定原假设 H0 和备择假设 H1 . （ii）规定显著性水平   (0 1   ) （iii）建立检验准则，即确定检验统计量及 H0 的拒绝域 W . （iv）根据样本值判断是否拒绝 H0 . 2.一个正态总体均值和方差的假设检验 设总体 ( ) 2 X N ~   ， ， 1 , , X X n 是来自总体 X 的简单随机样本， X 为样本均值， 2 S 为样本方差， 2 0 0  , 为已知常数.记 0 0 X U n   − = ， X 0 T S n −  = ， ( ) 2 2 2 0 n S 1   − = ， ( ) 2 2 0 0 2 0 1 1 n i i   X  = = −  （1） 正态总体均值的检验 当总体方差 2 2  = 0 时，用下表中的 U 检验；当 2  未知时，用下表中的 t 检验. 假 设 H H 0 1  H0 的拒绝域 U 检验 t 检验     =   0 0        0 0        0 0 U u   2 U u   U u  −   ( ) 2 T t n 1  −  T t n  −  ( 1) T t n  − −  ( 1) 其中 u t n   , 1 ( − ) 分别是正态分布及 t n( −1) 分布的上  分位点. （2） 正态总体方差的检验 当总体均值   = 0 已知时，用检验统计量 2 0 ；当  未知时，用检验统计量 2  ，具体见下 表： 假 设 H H 0 1  H0 的拒绝域   = 0 已知  未知

σ2=2≠ s zin(n)U fx'szi(n-1) {x6≥xan(} U{x2≥xa2(n-l} 2≤o2>d {x石≥xa(n} {x≥xm-l明 G220002四 {U≥w} {T2t.(m+n-2} 4≥凸行4<马 {U≤-wa} {T≤-a(m+n-2} (2)方差比的检验 当4，山已知时，用检验统计量厂。：当4，山2均未知时，用检验统计量F, 假设 H。的拒绝域 H。)H 4,凸已知 4,凸2未知 Fs F-an(m.n)U {F≤Fa(m-l,n-1)U {E≥Fn(m,n} {F≥F(m-l,n-l}

7 2 2 2 2     =   0 0 2 2 2 2        0 0 2 2 2 2        0 0  ( )  ( ) 2 2 0 1 2 2 2 0 2 n n        −   ( ) 2 2 0 n      ( ) 2 2 0 1 n    −  ( )  ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 1 n n        − −  −  ( ) 2 2 n 1    −   ( ) 2 2 1 n 1    − − 3.两个正态总体均值和方差的检验 设总体 ( ) 2 X N ~   1 1 ， ， ( ) 2 Y N ~   2 2 ， ， 1 , , X X m 和 1 , , Y Y n 是分别来自总体 X 和 Y 的样本，且两个样本相互独立. X 和 Y 分别为样本均值， 2 X S 和 2 Y S 分别是样本方差，定 义 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 X Y XY m S n S S m n − + − = + − 2 2 1 2 X Y U m n   − = + ， 1 1 XY X Y T S m n − = + ， 2 2 X Y S F S = ， ( ) ( ) 2 1 1 0 2 2 1 m i i n j j n X F m Y   = = − = −   （1） 均值差的检验 当 2 2 1 2  , 均已知时，用 U 检验；当 222  1 2 = = 未知时，用 t 检验. 假 设 H H 0 1  H0 的拒绝域 U 检验 t 检验     1 2 1 2 =       1 2 1 2        1 2 1 2    U u   2 U u   U u  −   ( ) 2 T t m n 2  + −  T t m n  + −  ( 2) T t m n  − + −  ( 2) （2） 方差比的检验 当 1 2  , 已知时，用检验统计量 F0 ；当 1 2  , 均未知时，用检验统计量 F . 假 设 H H 0 1  H0 的拒绝域 1 2  , 已知 1 2  , 未知 2 2 2 2     1 2 1 2 =    ( )  ( ) 0 1 2 0 2 , , F F m n F F m n    −   ( )  ( ) 1 2 2 1, 1 1, 1 F F m n F F m n    − − −  − −

o≤o?o>o {E≥E(m,n} {F≥F(m-l,n-1)} o≥oi9o0),X,,Xn是样本，求0矩，0L 其它 似然函数为(0)=广fc)= 00时，L()单调递减，要使L()最大，必须8尽量小 但02mx年，故0L=m2xX (4=BX-号数0=24放0E=2R 号x2 例3.设总体X~f(x)=B (0,其它 其中0>0,0，μ为未知参数，X,Xn为样本，求0L, 解：似然函数为L(0,=/)= 1 0,其它

8 2 2 2 2     1 2 1 2    2 2 2 2     1 2 1 2    F F m n 0   ( , ) F F m n 0 1  − ( , ) F F m n  − −  ( 1, 1) F F m n  − − 1− ( 1, 1) 三.例题详解 例 1. 设总体 2 X N~ ( , )   ， 1 2 , ,..., X X X n 为样本，求 （1） 2  , 的矩估计 （2） 2  , 的极大似然估计 解：（1）  矩 = X ， 2 2  ˆ 矩 = B （2）  L = X ， 2 2 ˆ  L = B 例 2. 设 X U~ (0, )  ，( 0)   ， 1 , , X X n 是样本，求  矩 ， L 解：（1） 1 , 0 ( ) 0, x f x       =    其它 似然函数为 1 1 1 ,0 , , ( ) ( ) 0, n n n i i x x L f x    =     = =     其它 显然当   0 时， L( )  单调递减，要使 L( )  最大，必须  尽量小 但 1 max i i n  x    ，故 1 L max i i n  X   = （2） 1 2 EX   = = 故 1   = 2 ，故  矩 = 2X 例 3. 设总体 1 , ~ ( ) 0, x e x X f x     −  −   =    其它 其中     0, , 为未知参数， 1 , , X X n 为样本，求 L,   L 解：似然函数为 1 ( ) 1 1 1 ( , ) ( ) , , , 0, n i i x n i n n i L f x e x x       = − − =    = =      其它

故nL=-nln0-月之x-) -8+2-m {-0 (2) 由(2)知nL关于4单增，即L(0,)关于u单增 又u≤min,故山：=minX, 男外由式令-0，得0：-之4--空3-盟 例4.设总体X的概率分布为 0 1 2 3 02201-0)02 1-20 其中8>0>0)是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3，求0的 矩估计值和极大似然估计值 解矩结计：4=成=3-0发0=兰，酸0e- 而x=3+1+30+3+1+23)-2 做货计位0版-3- 极大似然估计：似然函数L(0)=(（1-20)(201-)g=48(0-20)(1-0)2 lnL(e)=ln4+6ln9+4ln(1-28)+2ln(1-) ◆dhL@_6.82 de 01-201-日=0 得4=± 12 24g,不a-7 12 12 9

9 故 1 1 ln ln ( ) n i i L n x    = = − − −  ( ) 2 1 ln 1 ( ) (1) ln 0 2 n i i L n x L n       =  = − + −       =     由（2）知 ln L 关于  单增，即 L( , )   关于  单增 又 1 min i i n  x    ，故 1 L min i i n  X   = 另外由（1）式，令 ln 0 L   =  ，得 1 1 1 1 1 ( ) min n n L i i i L i n i i x x x n n     = = = − = −   例 4. 设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 Pk 2  2 1   ( − ) 2  1 2 −  其中 1 ( 0) 2     是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求  的 矩估计值和极大似然估计值 解：矩估计： 1   = = − EX 3 4 故 1 3 4   − = ，故 3 4 X  − 矩 = 而 ( ) 1 8 x = 3+1+3+0+3+1+2+3 =2 故矩估计值 3 2 1 4 4  − 矩 = = 极大似然估计：似然函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 4 6 L         = − − = − − 1 2 2 (1 ) 4 1 2 1 ln ln 4 6ln 4ln 1 2 2ln 1 L(    ) = + + − + − ( ) ( ) 令 ln ( ) 6 8 2 0 1 2 1 d L d      = − − = − − 得 1,2 7 13 12   = 因 7 13 1 12 2 +  不合题意，故 7 13 12  L − =

例5.设X的分布函数为 1 F(x.a.B)= -a 0,x≤a 其中参数a>0,B>1,设X,Xn为样本。 (一)当a=1时，求B的矩估计量 (二)当a=1时，求B的极大似然估计量 (三)当B=2时，求α的极大似然估计量 解：当a=1时， 在m-品 0,x≤1 故B=一 B m,…,x>1 (2)似然函数(B)=门/(x)=门x 0,其它 故当x>1i=1,m)时，L(B)>0取对数得 InL(B)-nlnB-(B+1Ix 2g2-n0 得B= n ∑nx (3)当B=2时

10 例 5. 设 X 的分布函数为 1 , ( ; , ) 0, x F x x x           −    =       其中参数     0, 1 ，设 1 , , X X n 为样本。 （一） 当  =1 时，求  的矩估计量 （二） 当  =1 时，求  的极大似然估计量 （三） 当  = 2 时，求  的极大似然估计量 解：当  =1 时， 1 , 1 ( ; ) 0, 1 x f x x x    +    =     （1） 1 1 1 1 EX x dx x       + = = = −  ，故 1 1 1    = − 故 1 X X  = − 矩 （2） 似然函数 ( ) 1 1 1 1 , , , 1 ( ) ; 0, n n n n i i i x x L f x x     + = =      = =         其它 故当 1( 1,..., ) i x i n  = 时， L( ) 0   取对数得 1 ln ( ) ln ( 1) ln n i i L n x    = = − +  令 1 ln ( ) ln 0 n i i d L n x d    = = − =  得 1 ln n i i n X  = =  L （3） 当  = 2 时